高考数学 考点一遍过 专题18 平面向量的概念及其线性运算（含解析）理试题

18平面向量的概念及其线性运算1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.一、平面向量的相关概念名称定义表示方法注意事项向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模)向量或；模或平面向量是自由向量零向量长度等于0的向量，方向是任意的记作零向量方向是任意的单位向量长度等于1个单位的向量常用表示非零向量的单位向量是平行向量方向相同或相反的非零向量与共线可记为与任一向量平行或共线共线向量平行向量又叫共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为二、向量的线性运算1．向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义、运算律2．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.【注】限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． 考向一平面向量的基本概念解决向量的概念问题应关注以下六点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量．(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.典例1设a0为单位向量，给出下列命题：①若a为平面内的某个向量，则a=|a|a0；②若a与a0平行，则a=|a|a0；③若a与a0平行且|a|=1，则a=a0.上述命题中，假命题的个数是A．0 B．1C．2 D．3【答案】D综上所述，假命题的个数是3.故选D. 1．设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是A． B．C．且 D．且方向相同考向二向量的线性运算平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.典例2如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3A．13ABC．-13【答案】D【名师点睛】高考对向量加法、减法运算的考查，重在对加法法则、减法法则的理解，要特别注意首尾顺次相接的若干向量的和为的情况.一般将向量放在具体的几何图形中，常见的有三角形、四边形（平行四边形、矩形、菱形、梯形）、正六边形等.在解决这类问题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用.当运用三角形加法法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法.2．已知的外心P满足AP=13(A． B．3C．-13典例3如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则____________.【答案】2【解析】由平行四边形法则，得，故λ=2.3．在中，N是AC边上一点，且，P是BN上的一点，若，则实数m的值为A． B．C． D．考向三共线向量定理的应用共线向量定理的主要应用：(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．【注】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．典例4已知两个非零向量a与b不共线.（1）若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a−b),求证:A,B,D（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.【答案】（1）证明见解析；（2）k=1或−1.又∵它们有公共点B,【名师点睛】利用向量证明三点共线时,一般是把问题转化为证明过同一点的两条有向线段所在的向量共线.对于第（2）问,解决此类问题的关键在于利用向量共线的条件得出ka+b=λ(a+kb),再利用对应系数相等这一条件,列出方程组,解出参数.4．已知向量,,,若三点共线,则实数k的值等于A．10 B．-10C．2 D．-21．下列命题正确的是A． B．C． D．2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于A． B．C． D．3．如图，已知AB是圆O的直径，点C、D是半圆弧的两个三等分点，AB=aA．0 B．12C．-1 D．-4．已知正方形ABCD的边长为1，AB

=a，BC

=b，AC

=c，则|a+b+c|等于A．0 B．C． D．35．已知向量是两个不共线的向量，若共线，则的值为A． B．−2C． D．26．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若，则=A． B．C． D．7．设向量=，=，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．若P为所在平面内的一点，且满足，则点P的位置为A．P在的内部 B．P在的外部C．P在AB边所在的直线上 D．P在AC边所在的直线上9．在中,D在AB上,AD:DB=1：2，E为AC中点,CD、BE交于点P连接AP.设AP=xA． B．C． D．10．设O在的内部，D为AB的中点，且，则的面积与的面积的比值为A．3 B．4C．5 D．611．已知向量a,b不平行,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,设t∈R，3a=c,2b=d,e=t(a+b),若C,D,E12．设D,E分别是的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ213．已知向量中任意两个都不共线,且与共线,与共线,则向量________.14．若O是ΔABC所在平面内一点，且满足|OB-OC15．如图，在中，为上不同于，的任意一点，点满足.若，则的最小值为________.1．（2015年高考新课标Ⅰ卷）设为所在平面内一点，，则A． B．C． D．2．（2015年高考北京卷）在中,点M,N满足=2,.若=x+y,则x=________;y=________.3．（2015年高考新课标Ⅱ卷）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．变式拓展变式拓展1．【答案】D【解析】表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是与同向即可，故选D．2．【答案】A3．【答案】B【解析】如图，因为，所以，又B,P,N三点共线，所以，则.4．【答案】C【解析】因为A、B、D三点共线,所以,所以

,所以，,应选C.考点冲关考点冲关1．【答案】D2．【答案】D【解析】因为M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,所以由向量加法的平行四边形法则得，，所以.选D.3．【答案】D【解析】连接OC、OD、CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°，且AD=AO+4．【答案】B【解析】由题意知：故选B.5．【答案】A【解析】向量共线，则存在实数满足：，据此可得：，解得.本题选择A.6．【答案】C7．【答案】A【解析】充分性：当时，，∴，∴成立，充分性成立；必要性：∵且，∴，解得，必要性不成立，故为充分不必要条件.8．【答案】D【解析】由得，，P在AC边所在的直线上.故选D.9．【答案】C【解析】因为为AC中点，所以,.因为D、P、C三点共线，所以存在实数，使得所以=.因为E、P、B三点共线,同理存在实数，使得=，所以，解得.所以=，而，所以.选C.10．【答案】B【解析】∵D为AB的中点，则，又，∴，∴O为CD的中点，又∵D为AB中点，∴，则.11．【答案】【易错分析】本题可以根据向量共线满足的条件列出等式解决,但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时,容易忽视平面向量基本定理的使用条件,出现漏解,漏掉了当a,b共线时,t可为任意实数这个解.考生应该注意向量共线与直线共线的区别,向量共线是指向量所在的直线平行或者重合,而直线共线是指它们重合.12．【答案】12【解析】由题意得DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=−16AB+23AC,所以λ1=−16,13．【答案】0【解析