第三章 函数（综合测试）（解析版）

第5讲第三章函数（综合测试）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（2022春·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】解：所在的象限为第二象限，故选：B．2．（2022春·广东江门·九年级统考期末）在函数中，自变量x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：∵，∴，故选B．3．（2022春·安徽安庆·九年级统考期中）若k为任意实数，则抛物线的顶点在（）A．直线上 B．直线上 C．x轴上 D．y轴上【答案】A【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，∴顶点坐标满足直线，故顶点总在直线上．故选：A．4．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）已知点在双曲线上，则k的值为（）A．2 B．0 C．1 D．【答案】B【详解】解：∵点在双曲线上，∴，得，故选：B．5．（2022春·辽宁葫芦岛·九年级期中）如图，现要在抛物线线上找点，针对b的不同取值和所找点P的个数，三人的说法如下：甲：若，则点P的个数为0乙：若，则点P的个数为1丙：若，则点P的个数为1下列判断正确的是（

）A．甲对，乙错，丙对 B．甲错，乙错，丙对C．甲对，乙对，丙错 D．甲错，乙对，丙错【答案】C【详解】解：，∴抛物线的顶点坐标为，∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确．故选：C．6．（2022春·江苏扬州·九年级校联考期中）已知函数的图象如图所示，则一元二次方程的根的存在情况是（

）A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根C．没有实数根 D．不能确定【答案】A【详解】解：由图可得：，∵，∴，∵，∴，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：A．7．（2022春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学阶段练习）一元二次方程的两个根分别为m和n，若二次函数与x轴的交点为，则对于，的范围描述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题意可把一元二次方程的两个根m、n可看作二次函数与直线的两个交点，而二次函数与x轴的交点为，，则可得如下图象：∴由函数图象可得；故选A．8．（2022秋·九年级单元测试）西周数学家商高总练了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令m，m，若cm，cm，m，则关于的函数表达式为（）A． B． C．y=2x+1.6 D．【答案】B【详解】解：由图2可得，m，，m，m，m，，，∴，，即，，化简，得．故选：B．9．（2022春·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，二次函数的图象经过点，，与轴交于点．下列结论：①；②；③当时，随的增大而增大；④对于任意实数，总有．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【详解】解：抛物线开口向下，，对称轴，，抛物线与轴交于正半轴，，，故①正确，二次函数的图象经过点，，对称轴为，则，当，，，故②不正确，由函数图象以及对称轴为，可知，当时，随的增大而增大，故③不正确，对称轴为，则当时，取得最大值，对于任意实数m，总有，即，故④正确．10．（2022春·陕西西安·九年级期末）如图所示，抛物线与轴交于点、，对称轴与此抛物线交于点，与轴交于点，在对称轴上取点，使，连接、、、，某同学根据图象写出下列结论：①；②当时，；③四边形是菱形；④．其中正确的个数有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【详解】解：抛物线与轴交于点、，该抛物线的对称轴为，，，正确；抛物线开口向下，且抛物线与轴交于点、，当时，，正确；点、关于对称，，又，且，四边形是菱形，正确；当时，，即，错误．综上可知：正确的结论为．故选：C．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．11．（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则整数m的值为___________．【答案】3【详解】解：由题意得：，解得：，∴整数m的值为3，故答案为：3．12．（2022春·山西运城·八年级统考期末）如图，正方形的边长为，动点从正方形边上开始，沿的路径移动，设点经过的路径长为，设点、、所围成的的面积是，则与的函数关系图象如图所示，则其中所在的直线关系式为______．【答案】##【详解】解：由点的运动可知，图中段，对应了点在上运动，如图所示，此时，则，．故答案为：．13．（2022春·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分后进行了降价促销，销售金额（元）与销售量（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利______元．【答案】100【详解】解：设降价段图像的表达式为：，将代入得：，解得：，；当时，（元），故售完这100件商品可盈利（元）；故答案为：100．14．（2022春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第一三四中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B，反比例函数（，）的图象与线段AB交于点C，且．若的面积为12，则k的值为______．【答案】8【详解】解：连接，如图，∵轴于点B，，∴，∴，∴，而，∴．故答案为8．15．（2022春·山东菏泽·八年级统考期中）正方形、、、…，按如图所示的方式放置．点、、、…，和点、、，…，分别在直线和x轴上，已知点，，则点的坐标是______．【答案】【详解】解：∵，，点的横坐标为3将代入得：，解得则直线的解析式为令得点的横坐标为，纵坐标为4，即观察可知，可化为可化为可化为归纳类推得：点的坐标为，其中n为正整数则点的坐标为故答案为：．16．（2022春·江苏南京·九年级南京外国语学校校考阶段练习）如图，抛物线交x轴分别于点，，交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①；②；③；④当是等腰直角三角形时，；⑤若，则抛物线的对称轴直线上的动点P与B、D两点围成的周长最小值为．其中，正确结论的序号为________．【答案】①②④【详解】解：把，代入得到，消去c得到，故①②正确，∵抛物线的对称轴，开口向下，∴时，y有最大值，最大值∴∴，故③错误，当是等腰直角三角形时，，可以假设抛物线的解析式为，把代入得到，故④正确，如图，连接交抛物线的对称轴于P，连接，此时的周长最小，最小值＝，∵，∴周长最小值为，故⑤错误．故答案为①②④．三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022春·江苏南京·八年级南京师范大学附属中学江宁分校阶段练习）已知与成一次函数，当时，，当时，(1)求出与之间的函数关系式；(2)当时，求的值．【答案】(1)；(2)【详解】（1）设与之间的函数关系式为，当时，，当时，，，解得，与之间的函数关系式为；（2）当时，，．18．（2022春·陕西渭南·九年级统考期末）某汽车的功率为一定值，汽车行驶时的速度（米/秒）与它所受的牵引力（牛）之间满足反比例函数关系，其图像如图所示：(1)请写出这一反比例函数的解析式；(2)当它所受牵引力为牛时，汽车的速度为多少？【答案】(1)(2)米/秒【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，把代入得，，∴反比例函数的解析式为：．（2）解：把牛，代入（米/秒），∴汽车的速度为米/秒．19．（2022春·江苏南京·九年级南京市第一中学校考阶段练习）已知二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为．(1)求点、、的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；(2)设一次函数的图象经过、两点，请直接写出满足的的取值范围是___________．【答案】(1)，，，见解析(2)【详解】（1）解：对于抛物线，令，得到，解得或3，，令，得到，，，顶点．图形如图所示：（2）解：∵,,根据函数图象可知：满足的的取值范围为：．20．（2022春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学阶段练习）掷实心球是杭州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．小法投掷实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况．他以水平方向为x轴方向，1m为单位长度，建立了如图2所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的A点出手运动路径可看作抛物线，在B点处达到最高位置，落在x轴上的点C处，小法某次试投时的数据如图所示．(1)根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式；(2)根据杭州市高中招生体育考试评分标准（男生），若实心球投球距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离的长度）不小于10m，成绩为满分10分．请通过计算，判断小法此次试投的成绩是否能达到满分．【答案】(1)该抛物线的表达式为(2)小杰此次试投的成绩达到满分，理由见详解【详解】（1）解：依题意，抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为．∴设该抛物线的表达式为，抛物线过点，，解得，，该抛物线的表达式为；（2）解：令，得，解得，在轴正半轴，故舍去）．点的坐标为．，小杰此次试投的成绩达到满分．21．（2022春·上海普陀·八年级校考期中）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果决定降价销售．市场调查反映：若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价降价元（），每星期的销售量为箱．(1)求与之间的函数关系式；(2)当每箱降价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？(3)当每箱降价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？【答案】(1)(2)57(3)每箱降价为(售价)59元时，每星期的销售利润最大，最大利益为3610元【详解】（1）∵销售量y(件)=实际销售件数+降价x(元/件)×多卖出的件数由题意得：．（2）∵每星期销售利润=每箱利润×销售数量∴由题意得：整理得：，十字相乘得：，解得：(不符合题意，舍去)∴降价3元，售价为60-3=57元答：当每箱降价为57元时，每星期的销售利润达到3570元．（3）设降价元时，每星期利润为W元，，,∵，抛物线开口向下，∴当时，降价为(售价)60-1=59元，最大值为3610元，且，符合题意．∴每箱降价为(售价)59元时，每星期的销售利润最大，最大利益为3610元．22．（2022春·八年级单元测试）如图，直线与直线相交于点，与轴分别交于，两点．(1)求，的值，并结合图象写出关于，的方程组的解；(2)求的面积；(3)垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为2，直接写出的值．【答案】(1)；(2)(3)或．【详解】（1）把点代入，得，把点代入，得，，直线与直线相交于点，方程组的解为；（2），，，，，；（3）直线与直线的交点为与直线的交点为．，，即，或，或．23．（2022·全国·九年级专题练习）反比例函数，的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重合的一动点，过点P作轴，分别与、交于A、B两点．(1)当时，求；(2)延长到点D，使得，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．（用含有n的代数式表示）．【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：当时，，∴，∵A在的图象上，∴，∴，答：；（2）解：设P，则A，B，∴，①当时，，∴，∴D，设，，则，∴，即点D所形成的函数图象的表达式为；②当时，，同理可得，综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为．24．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B移动，速度为；点Q从点B开始沿边向点C移动，速度为，点P、Q分别从点A、B同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．(1)几秒时，的长度为？(2)几秒时，的面积为？(3)当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值．【答案】(1)3秒时，的长度为(2)2或4秒时，的面积为(3)当t=3时，四边形的面积最小，最小值为21【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，的长度为，依题意得：，，∴．∴，∴，∴，解得：或（负数不合题意，舍去）．∴．∴3秒时，的长度为；（2）解：设运动时间为t秒时，的面积为，依题意得：，，，∴．∵的面积为，∴．解得：或4．∴2或4秒时，的面积为；（3）四边形的面积，∴当时，四边形的面积最小，最小值为21．25．（2022·九年级单元测试）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数，，，是常数）与，，，是常数）满足，，，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数可知，，，根据，，求出，，，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面