第48讲-两个基本计数原理(解析版)

第48讲两个基本计数原理考情分析了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.知识梳理1.分类加法计数原理做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.2.分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.[微点提醒]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.1.分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.2.分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.经典例题考点一分类加法计数原理的应用【例1】(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地，共有________种不同的方法.(2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________.解析(1)分三类：一类是乘汽车有8种方法；一类是乘火车有2种方法；一类是乘飞机有2种方法，由分类加法计数原理知，共有8＋2＋2＝12(种)方法.(2)当a＝0时，b的值可以是－1，0，1，2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1，0，1，2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1，0，1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1，0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.答案(1)12(2)13规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复.(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例(2)中易漏a＝0这一类.考点二分步乘法计数原理的应用【例2】(1)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为________.(2)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有______种.解析(1)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字有5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法，根据分步乘法计数原理，三位数的个数为5×5×4＝100.(2)五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性.答案(1)100(2)4554规律方法1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事.2.分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成.考点三两个计数原理的综合应用【例3】(1)用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个(用数字作答).(2)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48 B.18 C.24 D.36解析(1)当不含偶数时，有Aeq\o\al(4,5)＝120(个)，当含有一个偶数时，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝960(个)，所以这样的四位数共有1080个.(2)在正方体中，每一个表面有四条棱与之垂直，六个表面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”.答案(1)1080(2)D规律方法1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.2.解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成.[方法技巧]1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.在处理具体的应用问题时，首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情，可以避免计数的重复或遗漏.2.(1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数.(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.3.混合问题一般是先分类再分步.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.课时作业1．（2020·云南昆明一中高三其他（理））数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.两位数的回文数有11，22，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）A．40 B．30 C．20 D．10【答案】A【解析】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为，，，.如果末（首）位为，中间一位数有种可能，同理可得，如果末（首）位为或或，中间一位数均有种可能，所以有个，2．（2020·广东霞山·湛江二十一中高三月考）某中学新招聘了3位物理老师，他们将有两人被安排到高一级任教6个不同的班别，其中每位老师教3个班，另一人被安排到高二年级，任教3个不同的班别，则不同的安排方法有（）A．6种 B．60种 C．120种 D．1200种【答案】B【解析】首先从3位老师中选出一位任教高二，余下两个老师中，指定其中一个从6个班选3个来任教，所以不同的安排方法有：种.3．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高二月考（理））3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（）A．243 B．125 C．128 D．264【答案】B【解析】解：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步计数原理可得，不同的选法有种，4．（2020·山西运城·高三其他（文））中国象棋中棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线（图中楚河汉界处的“日”字没有画出），如图，马从点处走出一步，只能到达点，，中的一处则马从点出发到达对方“帅”所在的处，最少需要的步数是A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】解：由题意可知，按如图所示的走法，需要6步即可点出发到达对方“帅”所在的处，5．已知，则方程可表示不同的圆的个数为（）A．7 B．9 C．12 D．16【答案】C【解析】得到圆的方程分两步：第一步：确定a有3种选法；第二步：确定b有4种选法，由分步乘法计数原理知，共有3×4＝12（个）.6．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【解析】选女同学有3种选法，选男同学有2种选法，所以共有5种选法.7．（2020·北京理工大学附属中学通州校区高二期中）高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（）A．16种 B．18种 C．37种 D．48种【答案】C【解析】根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有种方案；则符合条件的有种，8．（2020·全国高三（理））某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（）种．A．8 B．15 C．18 D．30【答案】A【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，一是可以用分析法来证明，有3种方法，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，9．（2019·全国高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个 B．15个C．12个 D．9个【答案】B【解析】四位数之和为6的共有4种情况：（0、0、2、4）,（0、1、2、3），（1、1、2、2），（0、2、2、2）．数字为0、0、2、4且首位为2的六合数有：2004,2040,2400，共3个；同理：数字为0、1、2、3且首位为2的六合数有六个；数字为1、1、2、2且首位为2的六合数有3个；数字为0、2、2、2且首位为2的六合数有3个．所以共有15个．10．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵10000个号码中不含4、7的有84=4096，∴“优惠卡”的个数为10000-4096=5904，故选C．11．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，甲有3种，乙有两种，丙、丁各有3种，共54种．故选A12．（2020·江苏省丰县中学高二期中）将4个不同的文件发往3个不同的邮箱地址，则不同的方法种数为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】每一个文件都有三种不同的发法，共有34种不同方法.13．（2020·江苏连云港·高二期末）若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有（）A．34种 B．43种 C．种 D．种【答案】A【解析】4名学生，每人有三种可选方案，根据分步计数原理，4人共有34种方法.故选：A.14．（2020·福建福州·高三其他（理））数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有这三个数字，则不同的填法有（）A．12种 B．24种C．72种 D．216种【答案】A【解析】先填第一行，有种不同填法，再填第二行第一列，有2种不同填法，当该单元格填好后，其它单元格唯一确定．根据分步乘法计数原理，共有种不同的填法．15．（2020·湖北宜昌·高三二模（理））四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一.四色定理的内容是“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色.”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂色，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（4种颜色不一定用完），满足四色定理的不同的涂色种数为（）A．96 B．72 C．108 D．144【答案】D【解析】如图，把五块区域编号，第一步涂有4种可能，第二步涂有3种可能，第三步，又分类：按同色有种，不同色有种，共有方法数为．故选：D．16．（2020·浙江高三月考）从0，2，4，6中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_____个没有重复数字的四位偶数.【答案】198【解析】当用0时，0只能在个位，十位，百位三个位置之一.当个位为0时，从2,4,6中再取1个数字(3种方法），从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），将这取得的3个数字在十百千位任意排列，共有3!=6中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有3×3×6=54种方法；当十位或百位为0时（2种不同方法），从2,4,6中再取1个数字放置在个位(3种方法），然后从1,3,5中任取2个数字（即排除1个，有3种不同的方法），在其余两位上任意排列，共有2!=2中不同的排列方式，根据分步乘法计数原理，有2×3×3×2=36种方法；当没有用0时，从2，4，6中任取1个数字放置在个位(有3中不同的方法）；在从其余的2个非零偶数字中任取一个数字(2种不同方法），从1，3，5中任取2个数字（有3种不同方法)，将这3个数字在除个位之外的十百千3个位置上任意排列(有3!=6种不同的方法），由分步乘法计数原理方法数为3×2×3×6=108种．根据分类加法计数原理，一共有没有重复数字的四位偶数54+36+108=198个，故答案为：198.17．（2020·陕西新城·西安中学高三月考（理））汽车上有5名乘客，沿途有3个车站，每人在3个车站中随机任选一个下车，直到乘客全部下车，不同的下站方法有__________种．（用数字作答）【答案】243【解析】因为每位乘客可以在任意的车站下车，所以每位乘客下车的情况有3种，所以5名乘客下客站的方法有种．18．（2020·浙江高三其他）现有三个完全相同的骰子，每个骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6.若同时掷这三个骰子，则三个骰子朝上一面的数字之和为3的倍数的情况有_________种.【答案】20【解析】根据被3除后的余