高等数学课件

一、基本初等函數1.冪函數2.指數函數3.對數函數4.三角函數正弦函數余弦函數正切函數餘切函數正割函數余割函數5.反三角函數

冪函數,指數函數,對數函數,三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.二、複合函數初等函數1.複合函數定義:注意:1.不是任何兩個函數都可以複合成一個複合函數的;2.複合函數可以由兩個以上的函數經過複合構成.2.初等函數

由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數複合步驟所構成並可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.例1解綜上所述三、雙曲函數與反雙曲函數奇函數.偶函數.1.雙曲函數奇函數,有界函數,雙曲函數常用公式2.反雙曲函數奇函數,奇函數,四、小結函數的分類:函數初等函數非初等函數(分段函數,有無窮多項等函數)代數函數超越函數有理函數無理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)思考題思考題解答不能．一、填空題:練習題練習題答案“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：播放——劉徽一、概念的引入正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”二、數列的定義例如注意：1.數列對應著數軸上一個點列.可看作一動點在數軸上依次取2.數列是整標函數播放三、數列的極限問題:當

無限增大時,是否無限接近於某一確定的數值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什麼?如何用數學語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:如果數列沒有極限,就說數列是發散的.注意：幾何解釋:其中數列極限的定義未給出求極限的方法.例1證所以,注意：例2證所以,說明:常數列的極限等於同一常數.小結:用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.例3證例4證四、數列極限的性質1.有界性例如,有界無界定理1收斂的數列必定有界.證由定義,注意：有界性是數列收斂的必要條件.推論無界數列必定發散.2.唯一性定理2每個收斂的數列只有一個極限.證由定義,故收斂數列極限唯一.例5證由定義,區間長度為1.不可能同時位於長度為1的區間內.五.小結數列:研究其變化規律;數列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數列的性質:有界性唯一性.思考題證明要使只要使從而由得取當時，必有成立思考題解答~（等價）證明中所採用的實際上就是不等式即證明中沒有採用“適當放大”的值從而時，僅有成立，但不是的充分條件．反而縮小為練習題1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、概念的引入1、割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽一、概念的引入三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限三、數列的極限播放一、引數趨向無窮大時函數的極限通過上面演示實驗的觀察:問題:如何用數學語言刻劃函數“無限接近”.2.另兩種情形:3.幾何解釋:例1證二、引數趨向有限值時函數的極限2.幾何解釋:注意：例2證例3證例4證函數在點x=1處沒有定義.例5證3.單側極限:例如,左極限右極限左右極限存在但不相等,例6證三、函數極限的性質1.有界性2.唯一性推論3.不等式性質定理(保序性)定理(保號性)推論4.子列收斂性(函數極限與數列極限的關係)定義定理證例如,函數極限與數列極限的關係函數極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.例7證二者不相等,四、小結函數極限的統一定義(見下表)過程時刻從此時刻以後過程時刻從此時刻以後思考題思考題解答左極限存在,右極限存在,不存在.一、填空題:練習題練習題答案一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、引數趨向無窮大時函數的極限一、無窮小1.定義:極限為零的變數稱為無窮小.例如,注意1.無窮小是變數,不能與很小的數混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數.2.無窮小與函數極限的關係:證必要性充分性意義1.將一般極限問題轉化為特殊極限問題(無窮小);3.無窮小的運算性質:定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.證注意

無窮多個無窮小的代數和未必是無窮小.定理3有界函數與無窮小的乘積是無窮小.證推論1在同一過程中,有極限的變數與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.都是無窮小二、無窮大絕對值無限增大的變數稱為無窮大.特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變數,不能與很大的數混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變數,但是無界變數未必是無窮大.不是無窮大．無界，證三、無窮小與無窮大的關係定理4在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.證意義

關於無窮大的討論,都可歸結為關於無窮小的討論.四、小結1、主要內容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對於過程而言的.（1）無窮小（大）是變數,不能與很小（大）的數混淆，零是唯一的無窮小的數；（2）無窮多個無窮小的代數和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變數未必是無窮大.思考題思考題解答不能保證.例有一、填空題:練習題練習題答案一、極限運算法則定理證由無窮小運算法則,得推論1常數因數可以提到極限記號外面.推論2有界，二、求極限方法舉例例1解小結:解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關係,得例2解例3(消去零因數法)例4解(無窮小因數分出法)小結:無窮小分出法:以分母中引數的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然後再求極限.例5解先變形再求極限.例6解例7解左右極限存在且相等,三、小結1.極限的四則運算法則及其推論;2.極限求法;a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因數法求極限;c.無窮小因數分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.思考題

在某個過程中，若有極限，無極限，那麼是否有極限？為什麼？思考題解答沒有極限．假設有極限，有極限，由極限運算法則可知：必有極限，與已知矛盾，故假設錯誤．一、填空題:練習題二、求下列各極限:練習題答案一、極限存在準則1.夾逼準則證上兩式同時成立,上述數列極限存在的準則可以推廣到函數的極限注意:準則和準則

'稱為夾逼準則.例1解由夾逼定理得2.單調有界準則單調增加單調減少單調數列幾何解釋:例2證(舍去)二、兩個重要極限(1)例3解(2)定義類似地,例4解例5解三、小結1.兩個準則2.兩個重要極限夾逼準則;單調有界準則.思考題求極限思考題解答一、填空題:練習題二、求下列各極限:練習題答案一、無窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向於零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義:例1解例2解常用等價無窮小:用等價無窮小可給出函數的近似運算式:例如,二、等價無窮小替換定理(等價無窮小替換定理)證例3解不能濫用等價無窮小代換.對於代數和中各無窮小不能分別替換.注意例4解解錯例5解三、小結1.無窮小的比較:反映了同一過程中,兩無窮小趨於零的速度快慢,但並不是所有的無窮小都可進行比較.2.等價無窮小的替換:

求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階.思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？思考題解答不能．例當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大故當時練習題練習題答案一、函數的連續性1.函數的增量2.連續的定義例1證由定義2知3.單側連續定理例2解右連續但不左連續,4.連續函數與連續區間在區間上每一點都連續的函數,叫做在該區間上的連續函數,或者說函數在該區間上連續.連續函數的圖形是一條連續而不間斷的曲線.例如,例3證二、函數的間斷點1.跳躍間斷點例4解2.可去間斷點例5解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數的定義,則可使其變為連續點.如例5中,跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點3.第二類間斷點例6解例7解注意不要以為函數的間斷點只是個別的幾個點.狄利克雷函數在定義域R內每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.僅在x=0處連續,其餘各點處處間斷.★★在定義域R內每一點處都間斷,但其絕對值處處連續.★判斷下列間斷點類型:例8解三、小結1.函數在一點連續必須滿足的三個條件;3.間斷點的分類與判別;2.區間上的連續函數;第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振盪型.間斷點(見下圖)可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振盪型第二類間斷點oyxoyxoyx思考題思考題解答且但反之不成立.例但練習題練習題答案一、四則運算的連續性定理1例如,二、反函數與複合函數的連續性定理2嚴格單調的連續函數必有嚴格單調的連續反函數.例如,反三角函數在其定義域內皆連續.定理3證將上兩步合起來:意義1.極限符號可以與函數符號互換;例1解例2解同理可得定理4注意定理4是定理3的特殊情況.例如,三、初等函數的連續性三角函數及反三角函數在它們的定義域內是連續的.★★★定理5基本初等函數在定義域內是連續的.★(均在其定義域內連續)定理6一切初等函數在其定義區間內都是連續的.定義區間是指包含在定義域內的區間.1.初等函數僅在其定義區間內連續,在其定義域內不一定連續;例如,這些孤立點的鄰域內沒有定義.在0點的鄰域內沒有定義.注意注意2.初等函數求極限的方法代入法.例3例4解解四、小結連續函數的和差積商的連續性.複合函數的連續性.初等函數的連續性.定義區間與定義域的區別;求極限的又一種方法.兩個定理;兩點意義.反函數的連續性.思考題思考題解答是它的可去間斷點練習題練習題答案一、最大值和最小值定理定義:例如,定理1(最大值和最小值定理)在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值.注意:1.若區間是開區間,定理不一定成立;2.若區間內有間斷點,定理不一定成立.定理2(有界性定理)

在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界.證二、介值定理定義:幾何解釋:幾何解釋:MBCAmab證由零點定理,推論在閉區間上連續的函數必取得介於最大值與最小值之間的任何值.例1證由零點定理,例2證由零點定理,三、小結四個定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．閉區間；2．連續函數．這兩點不滿足上述定理不一定成立．解題思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.輔助函數法:先作輔助函數F(x),再利用零點定理;思考題下述命題是否正確？思考題解答不正確.例函數練習題（一）函數的定義（二）極限的概念（三）連續的概念一、主要內容函數的定義反函數隱函數反函數與直接函數之間關係基本初等函數複合函數初等函數函數的性質單值與多值奇偶性單調性有界性週期性雙曲函數與反雙曲函數1、函數的定義函數的分類函數初等函數非初等函數(分段函數,有無窮多項等函數)代數函數超越函數有理函數無理函數有理整函數(多項式函數)有理分函數(分式函數)(1)單值性與多值性:2、函數的性質(2)函數的奇偶性:偶函數奇函數yxo(3)函數的單調性:

設函數f(x)的定義域為D，區間ID，如果對於區間I上任意兩點及，當時，恒有：(1),則稱函數在區間I上是單調增加的；或(2),則稱函數在區間I上是單調遞減的；單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數。(4)函數的有界性:

設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的數l,使得對於任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為週期函數,l稱為f(x)的週期.（通常說週期函數的週期是指其最小正週期）.(5)函數的週期性:oyx3、反函數4、隱函數5、反函數與直接函數之間的關係6、基本初等函數1）冪函數2）指數函數3）對數函數4）三角函數5）反三角函數7、複合函數8、初等函數由常數和基本初等函數經過有限次四則運算和有限次的函數複合步驟所構成並可用一個式子表示的函數,稱為初等函數.9、雙曲函數與反雙曲函數雙曲函數常用公式左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質數列極限函數極限等價無窮小及其性質唯一性無窮小兩者的關係無窮大1、極限的定義左極限右極限無窮小:極限為零的變數稱為無窮小.絕對值無限增大的變數稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數為無窮大.無窮小與無窮大的關係2、無窮小與無窮大定理1在同一過程中,有限個無窮小的代數和仍是無窮小.定理2有界函數與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變數與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質定理推論1推論23、極限的性質4、求極限的常用方法a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因數法求極限;c.無窮小因數分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.5、判定極限存在的準則(夾逼準則)(1)(2)6、兩個重要極限定義:7、無窮小的比較定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小的性質9、極限的唯一性左右連續在區間[a,b]上連續連續函數的性質初等函數的連續性間斷點定義連續定義連續的充要條件連續函數的運算性質非初等函數的連續性

振盪間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類1、連續的定義定理3、連續的充要條件2、單側連續4、間斷點的定義(1)跳躍間斷點(2)可去間斷點5、間斷點的分類跳躍間斷點與可去間斷點統稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx0yx無窮型振盪型第二類間斷點0yx第二類間斷點6、閉區間的連續性7、連續性的運算性質定理定理1

嚴格單調的連續函數必有嚴格單調的連續反函數.定理28、初等函數的連續性定理3定理4

基本初等函數在定義域內是連續的.定理5

一切初等函數在其定義區間內都是連續的.定義區間是指包含在定義域內的區間.9、閉區間上連續函數的性質定理1(最大值和最小值定理)在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界.推論在閉區間上連續的函數必取得介於最大值M與最小值m之間的任何值.二、典型例題例1解例2解利用函數表示法的無關特性代入原方程得代入上式得解聯立方程組例3解將分子、分母同乘以因數(1-x),則例4解解法討論例5解例6解例7證明討論:由零點定理知,綜上,測驗題測驗題答案一、問題的提出1.自由落體運動的瞬時速度問題如圖,取極限得2.切線問題割線的極限位置——切線位置播放如圖,

如果割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.極限位置即二、導數的定義定義其他形式即★★關於導數的說明：注意:★播放2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.★2.右導數:單側導數1.左導數:★★★三、由定義求導數步驟:例1解例2解例3解更一般地例如,例4解例5解例6解四、導數的幾何意義與物理意義1.幾何意義切線方程為法線方程為例7解由導數的幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為2.物理意義非均勻變化量的暫態變化率.變速直線運動:路程對時間的導數為物體的瞬時速度.交流電路:電量對時間的導數為電流強度.非均勻的物體:品質對長度(面積,體積)的導數為物體的線(面,體)密度.五、可導與連續的關係定理凡可導函數都是連續函數.證連續函數不存在導數舉例0例如,注意:該定理的逆定理不成立.★01例如,例如,011/π－1/π例8解六、小結1.導數的實質:增量比的極限;3.導數的幾何意義:切線的斜率;4.函數可導一定連續，但連續不一定可導;5.求導數最基本的方法:由定義求導數.6.判斷可導性不連續,一定不可導.連續直接用定義;看左右導數是否存在且相等.思考題思考題解答練習題答案2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.切線問題割線的極限位置——切線位置2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.2.導函數(暫態變化率)是函數平均變化率的逼近函數.一、和、差、積、商的求導法則定理證(3)證(1)、(2)略.推論二、例題分析例1解例2解例3解同理可得例4解同理可得例5解同理可得例6解三、小結注意:分段函數求導時,分界點導數用左右導數求.思考題

求曲線上與軸平行的切線方程.思考題解答令切點為所求切線方程為和練習題練習題答案一、反函數的導數定理即反函數的導數等於直接函數導數的倒數.證於是有例1解同理可得例2解特別地二、複合函數的求導法則定理即因變數對引數求導,等於因變數對中間變數求導,乘以中間變數對引數求導.(鏈式法則)證推廣例3解例4解例5解例6解例7解三、小結反函數的求導法則（注意成立條件）;複合函數的求導法則（注意函數的複合過程,合理分解正確使用鏈導法）;已能求導的函數:可分解成基本初等函數,或常數與基本初等函數的和、差、積、商.思考題思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導，取在處可導，在處不可導，取在處可導，在處可導，練習題練習題答案一、初等函數的求導問題1.常數和基本初等函數的導數公式2.函數的和、差、積、商的求導法則設)(),(xvvxuu==可導，則（1）vuvu¢¢=¢

)(,（2）uccu¢=¢)(（3）vuvuuv¢+¢=¢)(,

（4）)0()(2¹¢-¢=¢vvvuvuvu.(是常數)3.複合函數的求導法則利用上述公式及法則初等函數求導問題可完全解決.注意:初等函數的導數仍為初等函數.例1解例2解二、雙曲函數與反雙曲函數的導數即同理例3解三、小結任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述求導法則求出.關鍵:正確分解初等函數的複合結構.思考題冪函數在其定義域內（）.思考題解答正確地選擇是（3）例在處不可導，在定義域內處處可導，練習題練習題答案一、高階導數的定義問題:變速直線運動的加速度.定義記作三階導數的導數稱為四階導數,二階和二階以上的導數統稱為高階導數.二階導數的導數稱為三階導數,二、高階導數求法舉例例1解1.直接法:由高階導數的定義逐步求高階導數.例2解例3解注意:

求n階導數時,求出1-3或4階後,不要急於合併,分析結果的規律性,寫出n階導數.(數學歸納法證明)例4解同理可得例5解2.高階導數的運算法則:萊布尼茲公式例6解3.間接法:常用高階導數公式

利用已知的高階導數公式,通過四則運算,變數代換等方法,求出n階導數.例7解例8解三、小結高階導數的定義及物理意義;高階導數的運算法則(萊布尼茲公式);n階導數的求法;1.直接法;2.間接法.思考題設連續，且，求.思考題解答可導不一定存在故用定義求練習題練習題答案一、隱函數的導數定義:隱函數的顯化問題:隱函數不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數求導法則:用複合函數求導法則直接對方程兩邊求導.例1解解得例2解所求切線方程為顯然通過原點.例3解二、對數求導法觀察函數方法:先在方程兩邊取對數,然後利用隱函數的求導方法求出導數.--------對數求導法適用範圍:例4解等式兩邊取對數得例5解等式兩邊取對數得一般地三、由參數方程所確定的函數的導數例如消去參數問題:消參困難或無法消參如何求導?由複合函數及反函數的求導法則得例6解

所求切線方程為例7解例8解四、相關變化率相關變化率問題:已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?例9解仰角增加率例10解水面上升之速率4000m五、小結隱函數求導法則:直接對方程兩邊求導;對數求導法:對方程兩邊取對數,按隱函數的求導法則求導;參數方程求導:實質上是利用複合函數求導法則;相關變化率:通過函數關係確定兩個相互依賴的變化率;解法:

通過建立兩者之間的關係,用鏈式求導法求解.思考題思考題解答不對．練習題練習題答案一、問題的提出實例:正方形金屬薄片受熱後面積的改變量.再例如,既容易計算又是較好的近似值問題:這個線性函數(改變量的主要部分)是否所有函數的改變量都有?它是什麼?如何求?二、微分的定義定義(微分的實質)由定義知:三、可微的條件定理證(1)必要性(2)充分性例1解四、微分的幾何意義MNT）幾何意義:(如圖)P五、微分的求法求法:計算函數的導數,乘以引數的微分.1.基本初等函數的微分公式2.函數和、差、積、商的微分法則例2解例3解六、微分形式的不變性結論：微分形式的不變性例4解例3解例5解在下列等式左端的括弧中填入適當的函數,使等式成立.七、小結微分學所要解決的兩類問題:函數的變化率問題函數的增量問題微分的概念導數的概念求導數與微分的方法,叫做微分法.研究微分法與導數理論及其應用的科學,叫做微分學.導數與微分的聯繫:★★導數與微分的區別:★思考題思考題解答說法不對.

從概念上講，微分是從求函數增量引出線性主部而得到的，導數是從函數變化率問題歸納出函數增量與引數增量之比的極限，它們是完全不同的概念.練習題練習題答案一、計算函數增量的近似值例1解二、計算函數的近似值例1解常用近似公式證明例2解三、誤差估計由於測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數據往往帶有誤差，而根據帶有誤差的數據計算所得的結果也會有誤差，我們把它叫做間接測量誤差.定義：問題:在實際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得?辦法:將誤差確定在某一個範圍內.通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤差與相對誤差.例3解四、小結近似計算的基本公式練習題練習題答案求導法則基本公式導數微分關系高階導數高階微分一、主要內容1、導數的定義定義2.右導數:單側導數1.左導數:2、基本導數公式（常數和基本初等函數的導數公式）3、求導法則(1)函數的和、差、積、商的求導法則(2)反函數的求導法則(3)複合函數的求導法則(4)對數求導法先在方程兩邊取對數,然後利用隱函數的求導方法求出導數.適用範圍:(5)隱函數求導法則用複合函數求導法則直接對方程兩邊求導.(6)參變數函數的求導法則4、高階導數記作二階導數的導數稱為三階導數,(二階和二階以上的導數統稱為高階導數)5、微分的定義定義(微分的實質)6、導數與微分的關係定理7、微分的求法求法:計算函數的導數,乘以引數的微分.基本初等函數的微分公式

函數和、差、積、商的微分法則8、微分的基本法則

微分形式的不變性二、典型例題例1解例2解例3解分析:不能用公式求導.例4解兩邊取對數例5解先去掉絕對值例6解例7解測驗題測驗題答案一、羅爾(Rolle)定理例如,點擊圖片任意處播放\暫停物理解釋:變速直線運動在折返點處,瞬時速度等於零.幾何解釋:證注意:若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能不成立.例如,又例如,例1證由介值定理即為方程的小於1的正實根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為作輔助函數拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達了函數在一個區間上的增量與函數在這區間內某點處的導數之間的關係.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理推論例2證例3證由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔助函數例4證分析:結論可變形為四、小結Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關係；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.思考題

試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.思考題解答不滿足在閉區間上連續的條件；且不滿足在開區間內可微的條件；以上兩個都可說明問題.練習題練習題答案定義例如,定理定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.證定義輔助函數則有例1解例2解例3解例4解例5解注意：洛必達法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結合使用，效果更好.例6解例7解關鍵:將其他類型未定式化為洛必達法則可解決的類型.步驟:例8解步驟:步驟:例9解例10解例11解例12解極限不存在洛必達法則失效。注意：洛必達法則的使用條件．三、小結洛必達法則思考題思考題解答不一定．例顯然極限不存在．但極限存在．練習題練習題答案一、問題的提出（如下圖）不足:問題:1、精確度不高；2、誤差不能估計.分析:2.若有相同的切線3.若彎曲方向相同近似程度越來越好1.若在點相交三、泰勒(Taylor)中值定理證明:拉格朗日形式的餘項皮亞諾形式的餘項注意:麥克勞林(Maclaurin)公式四、簡單的應用解代入公式,得由公式可知估計誤差其誤差

常用函數的麥克勞林公式解播放五、小結播放思考題利用泰勒公式求極限思考題解答練習題練習題答案五、小結五、小結五、小結五、小結五、小結一、單調性的判別法定理證應用拉氏定理,得例1解注意:函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性．二、單調區間求法問題:如上例，函數在定義區間上不是單調的，但在各個部分區間上單調．定義:若函數在其定義域的某個區間內是單調的，則該區間稱為函數的單調區間.導數等於零的點和不可導點，可能是單調區間的分界點．方法:例2解單調區間為例3解單調區間為例4證注意:區間內個別點導數為零,不影響區間的單調性.例如,三、小結單調性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應用.定理中的區間換成其他有限或無限區間，結論仍然成立.應用：利用函數的單調性可以確定某些方程實根的個數和證明不等式.思考題思考題解答不能斷定.例但當時，當時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內，都不單調遞增．練習題練習題答案一、函數極值的定義定義函數的極大值與極小值統稱為極值,使函數取得極值的點稱為極值點.二、函數極值的求法定理1(必要條件)定義注意:例如,定理2(第一充分條件)(是極值點情形)求極值的步驟:(不是極值點情形)例1解列表討論極大值極小值圖形如下定理3(第二充分條件)證例2解圖形如下注意:例3解注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點.三、小結極值是函數的局部性概念:極大值可能小於極小值,極小值可能大於極大值.駐點和不可導點統稱為臨界點.函數的極值必在臨界點取得.判別法第一充分條件;第二充分條件;(注意使用條件)思考題下命題正確嗎？思考題解答不正確．例在–1和1之間振盪故命題不成立．練習題練習題答案一、最值的求法步驟:1.求駐點和不可導點;2.求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區間內只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)二、應用舉例例1解計算比較得點擊圖片任意處播放\暫停例2敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘．問我軍摩托車何時射擊最好（相距最近射擊最好）？解(1)建立敵我相距函數關係敵我相距函數得唯一駐點實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數;(2)求最值;例3某房地產公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去．當租金每月