第二十一章 一元二次方程 能力提升卷（B卷）（解析版）

2023-2024学年九年级上册第一单元一元二次方程B卷•能力提升卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。1．（2023•古丈县一模）实数a，b，c满足a﹣b+c＝0，则（）A．b2﹣4ac＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．b2﹣4ac≥0 D．b2﹣4ac≤0【答案】C【解答】解：设一元二次方程为ax2+bx+c＝0当x＝﹣1时，原方程化为a﹣b+c＝0所以一元二次方程为ax2+bx+c＝0有实数根，所以b2﹣4ac≥0．故选：C．2．（鞍山）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜【答案】C【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，∴k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，解得：k≤且k≠0．故选：C．3．（2023•瑞安市开学）用因式分解法解方程9x2＝（x﹣2）2时，因式分解结果正确的是（）A．4（2x﹣1）（x﹣1）＝0 B．4（2x+1）（x﹣1）＝0 C．4（2x﹣1）（x+1）＝0 D．4（2x+1）（x+1）＝0【答案】C【解答】解：9x2＝（x﹣2）2，9x2﹣（x﹣2）2＝0，（3x+x﹣2）（3x﹣x+2）＝0，（4x﹣2）（2x+2）＝0，4（2x﹣1）（x+1）＝0，故选：C．4．（2023•下陆区校级开学）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则的值是（）A．1 B．2 C．1.5 D．2.5【答案】C【解答】解：由题意，x1+x2＝3，x1•x2＝2，∴．故选：C．5．（2023春•密云区期末）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（）A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2【答案】D【解答】解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（x﹣4）2．故选：D．6．（2023春•金安区校级期末）已知m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m2+2m+n+2022的值是（）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【解答】解：∵m，n是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，m+n＝﹣1，∴m2+2m+n+2022＝m2+m﹣3+（m+n）+2025＝0+（﹣1）+2025＝2024，故选：C．7．（2023•荔城区校级开学）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．则方程2☆x＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根【答案】A【解答】解：根据题意得x2﹣2x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．8．（2022秋•建平县期末）建平县某中学九年级各班举行篮球比赛，每两个班之间都要赛一场，共赛10场，设共有x个班参赛，根据题意可列方程为（）A． B．x（x﹣1）＝10 C． D．x（x+1）＝10【答案】A【解答】解：∵共有x个班参赛，∴每个班需要比赛（x﹣1）场，又∵每两个班之间都要赛一场，共赛10场，∴，故选：A．9．（2023•锡林浩特市三模）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣6＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，m2+m＝6，∴m2+2m+n＝m2+m+（m+n）＝6﹣1＝5，故选：B．10．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；其中正确的（）A．只有①②④ B．只有①②④⑤C．①②③④⑤ D．只有①②③【答案】B【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝0﹣4ac＞0，∴﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则ac2+bc+c＝0，∴c（ac+b+1）＝0若c＝0，等式仍然成立，但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则由求根公式可得：x0＝或x0＝∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣∴故④正确．⑤令y＝ax2+bx+c，则存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正确．故选：B．填空题(本题共6题,每小题3分，共18分）。11．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数a是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0的根，则k的值为±3或﹣5．【答案】见试题解答内容【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，则k2﹣9＝0，解得k＝±3，②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根，即Δ＝b2﹣4ac＝0，即：4（k+1）2﹣4（k2﹣9）＝0解得：k＝﹣5．故答案为±3或﹣5．12．（2023•威远县校级二模）已知：m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）＝16．【答案】16．【解答】解：∵m、n是方程x2+3x﹣1＝0的两根，∴m+n＝﹣3，mn＝﹣1，m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，∴m2+3m＝1，n2+3n＝1，（m2+3m+3）（n2+3n+3）（1+3）（1+3）＝4×4＝16，故答案为：16．13．（2023•荔城区校级开学）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，则+2x1+x2＝2022．【答案】2022．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣1，+x1＝2023，∴+2x1+x2＝+x1+x1+x2＝2023﹣1＝2022．故答案为：2022．14．（2023春•蔡甸区月考）电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x＝10．【答案】10．【解答】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，列方程得：1+x+x（1+x）＝121，∴x2+2x﹣120＝0，解得：x1＝﹣12（舍去），x2＝10．答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑．故答案为：10．15．（2023•岳阳一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，且α+2β＝5，则m的值为1或﹣1．【答案】1或﹣1．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0的两个实数根分别为α、β，∴α+β＝2，αβ＝﹣3m2，∵α+2β＝5，∴β＝5﹣2＝3，∴α＝2﹣3＝﹣1，∴αβ＝﹣3，∵αβ＝﹣3m2，∴﹣3＝﹣3m2，解得m＝1或﹣1．∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣3m2）＝4+12m2＞0，故m的值为1或﹣1．故答案为：1或﹣1．16．（2023春•肇源县月考）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0，若方程的两根分别是x1，x2，且满足x1+x2＝x1•x2，则k＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+kx﹣1＝0的两根分别是x1，x2，∴x1+x2＝﹣k，x1•x2＝﹣1，∵x1+x2＝x1•x2，∴﹣k＝﹣1，解得k＝1．故答案为：1．三、解答题（本题共5题，共52分）。17．（10分）（2023春•岳麓区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0．（1）若此方程有两个不相等的实数根x1，x2，求m的取值范围；（2）若此方程的两根互为倒数，求的值．【答案】（1）；（2）7．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣3）＞0，即9﹣4m+12＞0，∴；（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x+m﹣3＝0的两个实数根，x1，x2且互为倒数，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴．18．（10分）（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x2+2x﹣80＝0，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染8个人．（2）81+81×8＝729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．19．（10分）（2023春•江州区期末）某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件．（1）若每件服装降价x元，求用含x的代数式表示商场平均每天可售的件数；（2）若使商场每天盈利1200元，每件服装应降价多少元？【答案】（1）（20+2x）件；（2）应降价20元或10元．【解答】解：（1）若每件服装降价x元，则商场平均每天可售的件数为：（20+2x）件；（2）根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200．解得x1＝20，x2＝10．答：应降价20元或10元．20．（10分）（2023•湟中区校级开学）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是256万元，假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）20%；（2）204.8万元．【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2＝256，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为20%．（2）256×（1﹣20%）＝204.8万元）．答：预测4月份该公司的生产成本为204.8万元．21．（12分）（2023春•蓬莱区期中）（一）阅读：求x2+6x+11的最小值．解：x2+6x＝11，＝x2+6x+9+2，＝（x+3）2+2，由于（x+3）2的值必定为非负数，所以（x+3）2+2，即x2+6x+11的最小值为2．思想总结：等式变形的关键是将“11”拆分成“9+2“，形成完全平方式“x2+6x+9”再逆用公式变形为平方形式．（二）解决问题：（1）若m2+2mn+2n2﹣4n+4＝0，求（）﹣3的值；（2）对于多项式x2+y2+2x﹣2y+6，当x，y取何值时有最小值，最小值为多少？【答案】（1）﹣1；（