高代代数课件

1帶餘除法與整除性;最大公因數,輾轉相除法

2§1-2帶餘除法與整除性GA02

3456§1-3最大公因數與輾轉相除法78f(X)g(X)x4+x3-x2-2x+1x3+2x2-3q1(X)x4+2x3-3x-x3-x2+x+1-x3-2x2+3r1(x)=x2+x-2q2(X)x3+x2-2xx2+2x-3x2+x-2r2(x)=x-1=(x-1)(x+2)所以(f,g)=r2(x)=x-1=x-1=x+1910exp1111213§1-4互素1415§2-1唯一析因定理16171819唯一析因定理；C[X]與R[X]；多項式的根—有理根；線性空間第三講20GA032122232425§2-2C[X]上的因式分解古典代數學基本定理:任一非常數複係數多項式在複數域中總有一根.26§2-3R[X]上的因式分解27如:實正交方陣的複特徵值(根)成共軛對出現28§2-4多項式的根和係數的關係.2930§3-2.

求整係數多項式全部有理根的方法31IIILinearSpace§1線性空間的定義及性質32§2線性相關與線性無關定理.3.3的證明33兩個等價的線性無關的向量組含有相同個數的向量.§3基維數座標343536過度距陣是可逆的.3738第四講行列式

Determinant39§1Arrangement(排列)定義1排列:

自然排列:例如:(1,2,3)是三級排列,(3,2,1)也是40<2>逆序:例:三階排列(3,2,1)中有逆序(3,2),(3,1),(2,1)逆序數:<3>偶排列:逆序數為偶數的排列.奇排列:逆序數為奇數的排列.是偶排列41定理1:任一排列,經一次對換後,必改變其排列的奇偶性.例:42的大小關係是一樣的,而從必使逆序的個數增加或減少1故相鄰兩數的一次對換,改變了排列的奇偶性.所以經過奇數次相鄰兩數的對換後,一定改變排列的奇偶性.proof:1.先討論一次相鄰兩數碼的對換:顯然,在對換前後,所有“…”位置上的數碼與

定理:經一次對換後,必改變排列的奇偶性.43所以,共施行了2s+1次相鄰兩數的對換,故,必改變排列的奇偶性.2.對於一般的對換:可以,通過接連施行若干個相鄰的對換而達到p+s=q-1441.不影響已經在自然排列的位置上的數碼;2.每對換一次,至少讓一個數在自然排列位置上.可經過對換後k就在自然排列的位置上;且在施行這樣的對換時:故,最多施行(n-1)次對換,就可使其變成自然排列(最後一次對換,使兩個數同時到位).定理2:任一個排列都可經過一系列對換變成自然排列,且所做對換個數與原排列有相同的奇偶性.45例:若原為奇排列自然排列(偶)若原為偶排列自然排列(偶)46§2n

階行列式的定義4748上三角矩陣下三角矩陣對角矩陣495051例1:例2:5253例3:54上三角行列式例4:55下三角行列式對角行列式56第五講行列式:

性質及計算57§1.4行列式的性質故左邊=右邊GA0558左邊=右邊596061左邊=右邊62左邊==右邊63

很重要啦!6465Example3:6667例10:解法1:68解法2:分項找遞推公式.69解法3:70Example4:各列加到1列;71例9:72exp5:73第六講Laplace展開

Cramer法則74§1.5行列式按一行(列)的展開餘子式：GA0675Complementminer代數餘子式：AlgebraicComplement76777879推論1：k推論2：k8081Example4:82例16:計算n階三對角線行列式按第一列分項第1行提出公因數後838485Example6:86§6.克萊姆(Cramer)法則87推論:對於齊次線性方程組88反證法,若有非零解89唯一性:

90Example7:故方程組有唯一解91Example8:9293ij推論1:推論2:ij94第七講線性方程組

Gauss消元法95§2.1線性方程組的消元法要解決三個問題:1.判定方程組是否有解;2.解的結構;3.如何求解GA0796例1:9798Example1:故,原方程組是矛盾方程組,所以原方程組無解用消元法可把方程組化成階梯型方程組,可以判斷原方程組是否有解,在有解時,可以把解表示出來.99定義1:上述三種變換稱為線性方程組的初等變換方程組的解:解集合(通解):特解:同解方程組:100證明:(1),(3)是顯然的III101I102103104改寫成：105106107108109110§2.2矩陣及其運算.111112113上三角矩陣下三角矩陣對角矩陣114115116117ijij118Example2:119Example3:120121第八講行列式的計算122一.降階:1.利用行(列)初等變換.2.看行和(列和),如行和相等,可都加到某列上去,然後提出一數.3.逐行相減(加).4.找遞推公式.§1(3)某行(列)的k倍加到另一行上去.(1)交換兩行(列).(2)某行(列)乘以k倍.這些步驟聯合使用!GA08123二.分項(拆開)找遞推公式.124五.升階(加邊).detA=加上所需要的數!注意:1.升階是為了降階;2.階的變化.125六.若行列式元素含有未定元的話,則它的展開式是關於x的多項式.126

行列式的微商:127128Example2:計算n階行列式129130顯然n大於3時,行列式為0131顯見,第4至n+2行成比例,所以只要包含4,5兩行,行列式值即為0.這時n等於3,於是得原行列式在階數大於2時值等於0.132解法2:133Example3:計算行列式134135Example4:計算行列式136137138139例43:解:140141142Example1:計算解:143§2144Example6:解:145Example7:證:思考題:(A+I)(A-2I)=-2I146

第九講矩陣運算逆矩陣

147§2.2矩陣及其運算.GA09148149150151ijij152Example2:153例19:解:154定理5:Example3:則沒有消去律!156157proof:設158例23:159Example5:解:160§2.3逆矩陣proof:設161162163Example6:計算行列式164Example7:計算行列式165proof:設167168Example4:169第十講

逆矩陣分塊矩陣170§2.3逆矩陣左逆=右逆GA10171proof:(2)172我們有173

174左逆=右逆175例28:利用逆矩陣推導Cramer法則176177例30:解:可逆矩陣的性質:178179Example1:

180Example2:解:從而181§2.4分塊矩陣例:182183(1)分塊,就是用水平線和垂直線把矩陣分割成一些長方形小塊,每小塊當元素看.(2)乘法要求:A的列數=B的行數;分塊時,A的列的分法與B的行的分法相同:塊的個數相同,且A中每小塊的列數=B的相應小塊的行數.184例37:解:185186解:187Example4(例35):解:188例43:解:189Example5:證:思考題:(A+I)(A-2I)=-2I190Example6:解:191例31:192第十一講

矩陣的初等變換193§2.5矩陣的初等變換iGA11194ijijij195初等方陣在矩陣乘法中的功能:196ijij197ij198初等方陣都是可逆的,它們的逆矩陣還是初等方陣.199200201證明:202203再右乘用矩陣乘法寫出來有:繼續作(ii)種初等列變換就可以把*處全打成0推論1：204205推論5:當用一系列初等行變換把A變成I時,同樣的行變換把I

變成A-1.如此得到求A-1的方法:206207Example7:208分塊矩陣的初等變換解:209推論5:然後再從最後一行開始往上打洞.210Example5:證:思考題:(A+I)(A-2I)=-2I211第十二講方陣的逆

矩陣方程212例43:解:213214215Example1:計算解:216§2217Example6:解:218219Example7:證:思考題:(A+I)(A-2I)=-2I220推論5:然後再從最後一行開始往上打洞.221Example5:證:思考題:(A+I)(A-2I)=-2I222Example6:解:223

子空間運算交與和直和第十三講224§4子空間§4-1子空間的定義及例子G為5階方陣，的化零空間的列空間試求和解：Exp2:228§4-2子空間的運算229230231232233e1e2e3e4e5234§4-3子空間的直和235236命題2370238239線性空間的同構；商空間