2024届河北省秦皇岛市一中高三下学期第一次模拟-数学试题试卷

2024届河北省秦皇岛市一中高三下学期第一次模拟-数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）A． B．C．或 D．2．复数为纯虚数，则()A．i B．﹣2i C．2i D．﹣i3．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．B．C．D．4．函数的定义域为（）A． B． C． D．5．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月）变化图表，则以下说法错误的是（）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势6．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A．-2 B．2 C．4 D．77．若函数的图象经过点，则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A． B． C． D．8．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（）A． B． C． D．9．设全集，集合，.则集合等于（）A． B． C． D．10．函数在的图象大致为A． B．C． D．11．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到的近似值为（）A． B． C． D．12．已知函数，，若对任意的总有恒成立，记的最小值为，则最大值为（）A．1 B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线是曲线的一条切线为自然对数的底数)，则实数__________.14．已知点为双曲线的右焦点，两点在双曲线上，且关于原点对称，若，设，且，则该双曲线的焦距的取值范围是________.15．给出以下式子：①tan25°+tan35°tan25°tan35°；②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)；③其中，结果为的式子的序号是_____.16．已知实数满足则点构成的区域的面积为____，的最大值为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．18．（12分）设都是正数，且，．求证：．19．（12分）如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，，求的面积.20．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业.（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为X，求X的分布列和数学期望.21．（12分）已知矩阵不存在逆矩阵，且非零特低值对应的一个特征向量，求的值.22．（10分）已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.（Ⅰ）解不等式f(x)>1；（Ⅱ）当x>0时，若函数g(x)(a>0)的最小值恒大于f(x)，求实数a的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

首先求出集合，再根据补集的定义计算可得；【题目详解】解：∵，解得∴，∴.故选：D【题目点拨】本题考查补集的概念及运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.2、B【解题分析】

复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出，即得.【题目详解】∵为纯虚数，∴，解得..故选：.【题目点拨】本题考查复数的分类，属于基础题.3、D【解题分析】

如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件，故，得到答案.【题目详解】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.故，，.故，故，.故选：.【题目点拨】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.4、C【解题分析】

函数的定义域应满足故选C.5、D【解题分析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果.【题目详解】A正确，从图表二可知，3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大B正确，从图表二可知，4月份只有北京市居民消费价格指数低于102C正确，从图表一中可知，只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大D错误，从图表一可知上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势故选：D【题目点拨】本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.6、B【解题分析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.【题目详解】在等差数列的前项和为，则则故选：B【题目点拨】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.7、B【解题分析】

由点求得的值，化简解析式，根据三角函数对称轴的求法，求得的对称轴，由此确定正确选项.【题目详解】由题可知.所以令，得令，得故选：B【题目点拨】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数，考查三角恒等变换，考查三角函数对称轴的求法，属于中档题.8、C【解题分析】

由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.【题目详解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因为为三角形的最大角，所以，又由余弦定理，当且仅当时，等号成立，所以，即，又由，所以的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.9、A【解题分析】

先算出集合，再与集合B求交集即可.【题目详解】因为或.所以，又因为.所以.故选：A.【题目点拨】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.10、A【解题分析】

因为，所以排除C、D．当从负方向趋近于0时，，可得.故选A．11、A【解题分析】

设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,则每个等腰三角形的面积为,由割圆术可得圆的面积为,整理可得,当时即可为所求.【题目详解】由割圆术可知当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,设圆的半径为,每个等腰三角形的顶角为,所以每个等腰三角形的面积为,所以圆的面积为,即,所以当时,可得,故选:A【题目点拨】本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.12、C【解题分析】

对任意的总有恒成立，因为，对恒成立，可得，令，可得，结合已知，即可求得答案.【题目详解】对任意的总有恒成立，对恒成立，令，可得令，得当，当，，故令，得当时，当，当时，故选：C.【题目点拨】本题主要考查了根据不等式恒成立求最值问题，解题关键是掌握不等式恒成立的解法和导数求函数单调性的解法，考查了分析能力和计算能力,属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

根据切线的斜率为，利用导数列方程，由此求得切点的坐标，进而求得切线方程，通过对比系数求得的值.【题目详解】，则，所以切点为，故切线为，即，故.故答案为：【题目点拨】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题，属于基础题.14、【解题分析】

设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故，由双曲线定义可得，再求的值域即可.【题目详解】如图，设双曲线的左焦点为，连接，由于.所以四边形为矩形，故.在中，由双曲线的定义可得，.故答案为：【题目点拨】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.15、①②③【解题分析】

由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.【题目详解】①∵tan60°＝tan（25°+35°），tan25°+tan35°tan25°tan35°；tan25°tan35°，，②2（sin35°cos25°+cos35°cos65°）＝2（sin35°cos25°+cos35°sin25°），＝2sin60°；③tan（45°+15°）＝tan60°；故答案为：①②③【题目点拨】本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.16、811【解题分析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【题目详解】不等式组表示的平面区域如下图所示：数形结合可知，可行域为三角形，且底边长，高为，故区域面积；令，变为，显然直线过时，z最大，故.故答案为：；11.【题目点拨】本题考查简单线性规划问题，涉及区域面积的求解，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，，得，从而，，求出，由此能证明．（Ⅱ）以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【题目详解】证明：（Ⅰ）取中点，连结、，∵，，∴四边形是平行四边形，∵，，，∴，∴，∴，在中，，又∵为的中点，∴，又∵，∴．解：（Ⅱ）∵，，，∴，以为原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，，设面的法向量，则，取，得，同理，得平面的法向量，设二面角的平面角为，则，∴二面角的余弦值为．【题目点拨】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题．18、证明见解析【解题分析】

利用比较法进行证明：把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【题目详解】证明:因为,，所以，∴成立，又都是正数，∴，①同理，∴．【题目点拨】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。19、（1）（2）【解题分析】

（1）先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出；（2）分别在和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再根据余弦定理求出，即可根据求出的面积．【题目详解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面积.【题目点拨】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．20、（1）（2）见解析，【解题分析】

（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X的所有可能取值为，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.【题目详解】（1）记2家小店分别为A，B，A店有i人休假记为事件（，1，2），B店有i人，休假记为事件（，1，2），发生调剂现象的概率为P.则，，.所以.答：发生调剂现象的概率为.（2）依题意，X的所有可能取值为0，1，2.则，，.所以X的分布表为：X012P所以.【题目点拨】本题是一道考查概率和期望的常考题型.21、【解题分析】

由不存在逆矩阵，可得，再利用特征多项式求出特征值3，0，，利用矩阵乘法运算即可.【题目详解】因为不存在逆矩阵，，所以.矩阵的特征多项式为，令，则或，所以，即，所以，所以【题目点拨】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题，考查学生的运算能力，是一道容易题.22、（Ⅰ）；（Ⅱ）。【解题分析】

（Ⅰ）分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的