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文档简介

2024届安徽省合肥市庐江第三中学高三5月(二模)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则()A. B. C. D.2.定义:表示不等式的解集中的整数解之和.若,,,则实数的取值范围是A. B. C. D.3.已知m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,给出四个命题:①若,,,则;②若,,则;③若,,,则;④若,,,则其中正确的是()A.①② B.③④ C.①④ D.②④4.已知复数满足:(为虚数单位),则()A. B. C. D.5.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格6.已知实数集,集合,集合,则()A. B. C. D.7.数列满足,且,,则()A. B.9 C. D.78.年部分省市将实行“”的新高考模式,即语文、数学、英语三科必选,物理、历史二选一,化学、生物、政治、地理四选二,若甲同学选科没有偏好,且不受其他因素影响,则甲同学同时选择历史和化学的概率为A. B.C. D.9.若双曲线的离心率,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为()A. B.2 C. D.110.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,若点在角的终边上,则()A. B. C. D.11.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.12.已知双曲线的右焦点为为坐标原点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点,则双曲线的方程为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某校名学生参加军事冬令营活动,活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏,角色按级别从小到大共种,分别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式,可以人一组或者人一组.如果人一组,则必须角色相同;如果人一组,则人角色相同或者人为级别连续的个不同角色.已知这名学生扮演的角色有名士兵和名司令,其余角色各人,现在新加入名学生,将这名学生分成组进行游戏,则新加入的学生可以扮演的角色的种数为________.14.在中,已知,则的最小值是________.15.设、满足约束条件,若的最小值是,则的值为__________.16.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到曲线,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)写出的极坐标方程与直线的直角坐标方程;(2)曲线上是否存在不同的两点,(以上两点坐标均为极坐标,,),使点、到的距离都为3?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.18.(12分)已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点,点,直线的斜率为1.(1)求椭圆的方程;(1)若过点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,是否存在直线使得?若存在,求出的方程;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.20.(12分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)证明:21.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)若,,,求证:.22.(10分)如图,在多面体中,四边形是菱形,,,,平面,,,是的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(ⅠⅠ)求直线与平面所成的角的正弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【题目详解】由题可知:由,所以所以故选:A【题目点拨】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.2、D【解题分析】

由题意得,表示不等式的解集中整数解之和为6.当时,数形结合(如图)得的解集中的整数解有无数多个,解集中的整数解之和一定大于6.当时,,数形结合(如图),由解得.在内有3个整数解,为1,2,3,满足,所以符合题意.当时,作出函数和的图象,如图所示.若,即的整数解只有1,2,3.只需满足,即,解得,所以.综上,当时,实数的取值范围是.故选D.3、D【解题分析】

根据面面垂直的判定定理可判断①;根据空间面面平行的判定定理可判断②;根据线面平行的判定定理可判断③;根据面面垂直的判定定理可判断④.【题目详解】对于①,若,,,,两平面相交,但不一定垂直,故①错误;对于②,若,,则,故②正确;对于③,若,,,当,则与不平行,故③错误;对于④,若,,,则,故④正确;故选:D【题目点拨】本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理,属于基础题.4、A【解题分析】

利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.【题目详解】由,则,所以.故选:A【题目点拨】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.5、D【解题分析】

先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【题目详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【题目点拨】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.6、A【解题分析】

可得集合,求出补集,再求出即可.【题目详解】由,得,即,所以,所以.故选:A【题目点拨】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.7、A【解题分析】

先由题意可得数列为等差数列,再根据,,可求出公差,即可求出.【题目详解】数列满足,则数列为等差数列,,,,,,,故选:.【题目点拨】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.8、B【解题分析】

甲同学所有的选择方案共有种,甲同学同时选择历史和化学后,只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可,共有种选择方案,根据古典概型的概率计算公式,可得甲同学同时选择历史和化学的概率,故选B.9、C【解题分析】

根据双曲线的解析式及离心率,可求得的值;得渐近线方程后,由点到直线距离公式即可求解.【题目详解】双曲线的离心率,则,,解得,所以焦点坐标为,所以,则双曲线渐近线方程为,即,不妨取右焦点,则由点到直线距离公式可得,故选:C.【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用,渐近线方程的求法,点到直线距离公式的简单应用,属于基础题.10、D【解题分析】

由题知,又,代入计算可得.【题目详解】由题知,又.故选:D【题目点拨】本题主要考查了三角函数的定义,诱导公式,二倍角公式的应用求值.11、C【解题分析】

确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【题目详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【题目点拨】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.12、C【解题分析】

根据双曲线方程求出渐近线方程:,再将点代入可得,连接,根据圆的性质可得,从而可求出,再由即可求解.【题目详解】由双曲线,则渐近线方程:,,连接,则,解得,所以,解得.故双曲线方程为.故选:C【题目点拨】本题考查了双曲线的几何性质,需掌握双曲线的渐近线求法,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】

对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论,分析各种情况下个学生所扮演的角色的分组,综合可得出结论.【题目详解】依题意,名学生分成组,则一定是个人组和个人组.①若新加入的学生是士兵,则可以将这个人分组如下;名士兵;士兵、排长、连长各名;营长、团长、旅长各名;师长、军长、司令各名;名司令.所以新加入的学生可以是士兵,由对称性可知也可以是司令;②若新加入的学生是排长,则可以将这个人分组如下:名士兵;连长、营长、团长各名;旅长、师长、军长各名;名司令;名排长.所以新加入的学生可以是排长,由对称性可知也可以是军长;③若新加入的学生是连长,则可以将这个人分组如下:名士兵;士兵、排长、连长各名;连长、营长、团长各名;旅长、师长、军长各名;名司令.所以新加入的学生可以是连长,由对称性可知也可以是师长;④若新加入的学生是营长,则可以将这个人分组如下:名士兵;排长、连长、营长各名;营长、团长、旅长各名;师长、军长、司令各名;名司令.所以新加入的学生可以是营长,由对称性可知也可以是旅长;⑤若新加入的学生是团长,则可以将这个人分组如下:名士兵;排长、连长、营长各名;旅长、师长、军长各名;名司令;名团长.所以新加入的学生可以是团长.综上所述,新加入学生可以扮演种角色.故答案为:.【题目点拨】本题考查分类计数原理的应用,解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论,属于中等题.14、【解题分析】分析:可先用向量的数量积公式将原式变形为:,然后再结合余弦定理整理为,再由cosC的余弦定理得到a,b的关系式,最后利用基本不等式求解即可.详解:已知,可得,将角A,B,C的余弦定理代入得,由,当a=b时取到等号,故cosC的最小值为.点睛:考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用,能正确转化是解题关键.属于中档题.15、【解题分析】

画出满足条件的平面区域,求出交点的坐标,由得,显然直线过时,最小,代入求出的值即可.【题目详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,则点.由得,显然当直线过时,该直线轴上的截距最小,此时最小,,解得.故答案为:.【题目点拨】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.16、【解题分析】

根据双曲线方程,可得渐近线方程,结合题意可表示,再由双曲线a,b,c关系表示,最后结合双曲线离心率公式计算得答案.【题目详解】因为双曲线为,所以该双曲线的渐近线方程为.又因为其一条渐近线经过点,即,则,由此可得.故答案为:.【题目点拨】本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),(2)存在,【解题分析】

(1)先求得曲线的普通方程,利用伸缩变换的知识求得曲线的直角坐标方程,再转化为极坐标方程.根据极坐标和直角坐标转化公式,求得直线的直角坐标方程.(2)求得曲线的圆心和半径,计算出圆心到直线的距离,结合图像判断出存在符合题意,并求得的值.【题目详解】(1)曲线的普通方程为,纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线的直角坐标方程为,其极坐标方程为,直线的直角坐标方程为.(2)曲线是以为圆心,为半径的圆,圆心到直线的距离.∴由图像可知,存在这样的点,,则,且点到直线的距离,∴,∴.【题目点拨】本小题主要考查坐标变换,考查直线和圆的位置关系,考查极坐标方程和直角坐标方程相互转化,考查参数方程化为普通方程,考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.18、(1)(1)不存在,理由见解析【解题分析】

(1)利用离心率和过点,列出等式,即得解(1)设的方程为,与椭圆联立,利用韦达定理表示中点N的坐标,用点坐标表示,利用韦达关系代入,得到关于k的等式,即可得解.【题目详解】(1)由题意,可得解得则,故椭圆的方程为.(1)当直线的斜率不存在时,,不符合题意.当的斜率存在时,设的方程为,联立得,设,则,,,即.设,则,,,则,即,整理得,此方程无解,故的方程不存在.综上所述,不存在直线使得.【题目点拨】本题考查了直线和椭圆综合,考查了弦长和中点问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.19、(1);(2)见解析【解题分析】

(1)由面积最大值可得,又,以及,解得,即可得到椭圆的方程,(2)假设轴上存在点,是以为直角顶点的等腰直角三角形,设,,线段的中点为,根据韦达定理求出点的坐标,再根据,,即可求出的值,可得点的坐标.【题目详解】(1)面积的最大值为,则:又,,解得:,椭圆的方程为:(2)假设轴上存在点,是以为直角顶点的等腰直角三角形设,,线段的中点为由,消去可得:,解得:∴,,依题意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化简可得:则:,解得:当时,点满足题意;当时,点满足题意故轴上存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【题目点拨】本题考查了椭圆的方程,直线和椭圆的位置关系,斜率公式,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.20、(Ⅰ)最小值为;(Ⅱ)见解析【解题分析】

(1)根据题意构造平均值不等式,结合均值不等式可得结果;(2)利用分析法证明,结合常用不等式和均值不等式即可证明.【题目详解】(Ⅰ)则当且仅当,即,时,所以的最小值为.(Ⅱ)要证明:,只需证:,即证明:,由,也即证明:.因为,所以当且仅当时

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