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文档简介
云南省昆明市官渡区官渡区第一中学2024届高三下学期质检检测试题(三)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.正方体,是棱的中点,在任意两个中点的连线中,与平面平行的直线有几条()A.36 B.21 C.12 D.62.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是A. B. C. D.3.已知等差数列中,,则()A.20 B.18 C.16 D.144.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.5.若复数,则()A. B. C. D.206.已知函数,满足对任意的实数,都有成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.7.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.8.已知且,函数,若,则()A.2 B. C. D.9.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()A.7 B.14 C.28 D.8410.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()A. B. C. D.11.某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星无关”D.在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关”12.若复数满足(是虚数单位),则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等比数列满足,,则该数列的前5项的和为______________.14.“北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________.15.某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,则该市的任意位申请人中,恰好有人申请小区房源的概率是______.(用数字作答)16.已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A,B,C,D.若AB=BC,则实数t的值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在中,,,点在线段上.(1)若,求的长;(2)若,,求的面积.18.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是矩形,,,分别是,的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)设,求三棱锥的体积.19.(12分)已知数列的前项和为,且满足.(1)求数列的通项公式;(2)若,,且数列前项和为,求的取值范围.20.(12分)设数列是等比数列,,已知,(1)求数列的首项和公比;(2)求数列的通项公式.21.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)如图,焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点,中心都在坐标原点,且椭圆与的离心率均为.(Ⅰ)求椭圆与椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点M的互相垂直的两直线分别与,交于点A,B(点A、B不同于点M),当的面积取最大值时,求两直线MA,MB斜率的比值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】
先找到与平面平行的平面,利用面面平行的定义即可得到.【题目详解】考虑与平面平行的平面,平面,平面,共有,故选:B.【题目点拨】本题考查线面平行的判定定理以及面面平行的定义,涉及到了简单的组合问题,是一中档题.2、B【解题分析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,底面半径为2,则其体积为,.故选B点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.3、A【解题分析】
设等差数列的公差为,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得即可.【题目详解】设等差数列的公差为.由得,解得.所以.故选:A【题目点拨】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.4、C【解题分析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【题目详解】,,,.故选:C.【题目点拨】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.5、B【解题分析】
化简得到,再计算模长得到答案.【题目详解】,故.故选:.【题目点拨】本题考查了复数的运算,复数的模,意在考查学生的计算能力.6、B【解题分析】
由题意可知函数为上为减函数,可知函数为减函数,且,由此可解得实数的取值范围.【题目详解】由题意知函数是上的减函数,于是有,解得,因此,实数的取值范围是.故选:B.【题目点拨】本题考查利用分段函数的单调性求参数,一般要分析每支函数的单调性,同时还要考虑分段点处函数值的大小关系,考查运算求解能力,属于中等题.7、B【解题分析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【题目详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【题目点拨】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.8、C【解题分析】
根据分段函数的解析式,知当时,且,由于,则,即可求出.【题目详解】由题意知:当时,且由于,则可知:,则,∴,则,则.即.故选:C.【题目点拨】本题考查分段函数的应用,由分段函数解析式求自变量.9、D【解题分析】
利用等差数列的通项公式,可求解得到,利用求和公式和等差中项的性质,即得解【题目详解】,解得..故选:D【题目点拨】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式和等差中项,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.10、B【解题分析】函数(为辅助角)∴函数的最大值为,最小正周期为故选B11、B【解题分析】
通过与表中的数据6.635的比较,可以得出正确的选项.【题目详解】解:,可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题,属于基础题.12、B【解题分析】
利用复数乘法运算化简,由此求得.【题目详解】依题意,所以.故选:B【题目点拨】本小题主要考查复数的乘法运算,考查复数模的计算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、31【解题分析】设,可化为,得,,,14、【解题分析】
画出图形,结合椭圆的定义和题设条件,求得的值,即可求得椭圆的离心率,得到答案.【题目详解】如图所示,设椭圆的长半轴为,半焦距为,因为地球半径为R,若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是,,可得,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:.【题目点拨】本题主要考查了椭圆的离心率的求解,其中解答中熟记椭圆的几何性质,列出方程组,求得的值是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.15、【解题分析】
基本事件总数,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数,由此能求出该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率.【题目详解】解:某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,该市的任意5位申请人中,基本事件总数,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数:,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率是.故答案为:.【题目点拨】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.16、【解题分析】
由是偶函数可得时恒有,根据该恒等式即可求得,,的值,从而得到,令,可解得,,三点的横坐标,根据可列关于的方程,解出即可.【题目详解】解:因为是偶函数,所以时恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因为,所以,即,解得,故答案为:.【题目点拨】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质,考查学生的计算能力,属中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解题分析】
(1)先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出;(2)分别在和中,根据正弦定理列出两个等式,两式相除,利用题目条件即可求出,再根据余弦定理求出,即可根据求出的面积.【题目详解】(1)由,得,所以.由正弦定理得,,即,得.(2)由正弦定理,在中,,①在中,,②又,,,由得,由余弦定理得,即,解得,所以的面积.【题目点拨】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.18、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解题分析】
(Ⅰ)取中点,连,,根据平行四边形,可得,进而证得平面平面,利用面面垂直的性质,得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,利用等积法,即可求解.【题目详解】(Ⅰ)取中点,连,,由,可得,可得是平行四边形,则,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中点,则,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,得.【题目点拨】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明,以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.19、(1)(2)【解题分析】
(1)由,可求,然后由时,可得,根据等比数列的通项可求(2)由,而,利用裂项相消法可求.【题目详解】(1)当时,,解得,当时,①②②①得,即,数列是以2为首项,2为公比的等比数列,;(2)∴,∴,,.【题目点拨】本题考查递推公式在数列的通项求解中的应用,等比数列的通项公式、裂项求和方法,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.20、(1)(2)【解题分析】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解,数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点,要注意掌握.(1)设等比数列{an}的公比为q,则q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1•qn-1=2n-1,结合数列的特点,考虑利用错位相减可求数列的和解:(1)(2),两式相减:21、(1)(2)【解题分析】
(1)当时,,当或时,,所以可转化为,解得,所以不等式的解集为.(2)因为,所以,所以,即,即.当时,因为,所以,不符合题意.当时,解可得,因为当时,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.22、(1),(2)【解题分析】分析:(1)根据题的条件,得到对应的椭圆的上顶点,即可以求得椭圆中相应的参数,结合椭圆的离心率的大小,求得相应的参数,从而求得椭圆的方程;(2)设出一条直线的方程,与椭圆的方程联立,消元,利用求根公式求得对应点的坐标,进一步求得向量的坐标,将S表示为关于k的函数关系,从眼角函数的角度去求最值,从而求得结果.详解:(Ⅰ)依题意得对:,,得:;同理:.
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