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文档简介

云南省曲靖市宣威市第九中学2024届高三高考模拟冲刺卷数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.运行如图程序,则输出的S的值为()A.0 B.1 C.2018 D.20172.已知集合,,则等于()A. B. C. D.3.已知函数,则()A. B. C. D.4.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品,其圆心角为120°,并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个,导线接头忽略不计),已知扇形的半径为30厘米,则连接导线最小大致需要的长度为()A.58厘米 B.63厘米 C.69厘米 D.76厘米5.在中,为上异于,的任一点,为的中点,若,则等于()A. B. C. D.6.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则7.复数的虚部是()A. B. C. D.8.已知函数满足=1,则等于()A.- B. C.- D.9.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()A.1 B. C.2 D.10.已知双曲线:(,)的右焦点与圆:的圆心重合,且圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.311.已知数列an满足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.1912.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,,若函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),则的取值范围是_________.14.(5分)国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动,活动期间进入答题专区,点击“开始答题”按钮后,系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是,则这五位同学答对题数的方差是____________.15.等边的边长为2,则在方向上的投影为________.16.实数满足,则的最大值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图1,在边长为4的正方形中,是的中点,是的中点,现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.18.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;证明:.19.(12分)已知,求的最小值.20.(12分)如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是10m和20m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=60°.(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α,∠DPC=β,问点P在何处时,α+β最小?21.(12分)中,内角的对边分别为,.(1)求的大小;(2)若,且为的重心,且,求的面积.22.(10分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

依次运行程序框图给出的程序可得第一次:,不满足条件;第二次:,不满足条件;第三次:,不满足条件;第四次:,不满足条件;第五次:,不满足条件;第六次:,满足条件,退出循环.输出1.选D.2、A【解题分析】

进行交集的运算即可.【题目详解】,1,2,,,,1,.故选:.【题目点拨】本题主要考查了列举法、描述法的定义,考查了交集的定义及运算,考查了计算能力,属于基础题.3、A【解题分析】

根据分段函数解析式,先求得的值,再求得的值.【题目详解】依题意,.故选:A【题目点拨】本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值,属于基础题.4、B【解题分析】

由于实际问题中扇形弧长较小,可将导线的长视为扇形弧长,利用弧长公式计算即可.【题目详解】因为弧长比较短的情况下分成6等分,所以每部分的弦长和弧长相差很小,可以用弧长近似代替弦长,故导线长度约为63(厘米).故选:B.【题目点拨】本题主要考查了扇形弧长的计算,属于容易题.5、A【解题分析】

根据题意,用表示出与,求出的值即可.【题目详解】解:根据题意,设,则,又,,,故选:A.【题目点拨】本题主要考查了平面向量基本定理的应用,关键是要找到一组合适的基底表示向量,是基础题.6、C【解题分析】

在A中,与相交或平行;在B中,或;在C中,由线面垂直的判定定理得;在D中,与平行或.【题目详解】设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则:在A中,若,,则与相交或平行,故A错误;在B中,若,,则或,故B错误;在C中,若,,则由线面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若,,则与平行或,故D错误.故选C.【题目点拨】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,是中档题.7、C【解题分析】因为,所以的虚部是,故选C.8、C【解题分析】

设的最小正周期为,可得,则,再根据得,又,则可求出,进而可得.【题目详解】解:设的最小正周期为,因为,所以,所以,所以,又,所以当时,,,因为,整理得,因为,,,则所以.故选:C.【题目点拨】本题考查三角形函数的周期性和对称性,考查学生分析能力和计算能力,是一道难度较大的题目.9、B【解题分析】

画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【题目详解】可行域如图中阴影部分所示,,,要使得z能取到最大值,则,当时,x在点B处取得最大值,即,得;当时,z在点C处取得最大值,即,得(舍去).故选:B.【题目点拨】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.10、A【解题分析】

由已知,圆心M到渐近线的距离为,可得,又,解方程即可.【题目详解】由已知,,渐近线方程为,因为圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为,所以圆心M到渐近线的距离为,故,所以离心率为.故选:A.【题目点拨】本题考查双曲线离心率的问题,涉及到直线与圆的位置关系,考查学生的运算能力,是一道容易题.11、B【解题分析】

由题意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【题目详解】解:an即a1=an⩾6时,a1a1两式相除可得1+a则an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整数k(k⩾5)时,要使得a1则ak+1则k=17,故选:B.【题目点拨】本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法,注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系,从而可简化与数列相关的方程,本题属于难题.12、C【解题分析】

先求出五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个的基本事件总数为,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,根据即可求出6和28不在同一组的概率.【题目详解】解:根据题意,将五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则基本事件总数为,则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,∴6和28不在同一组的概率.故选:C.【题目点拨】本题考查古典概型的概率的求法,涉及实际问题中组合数的应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解题分析】

先根据题意,求出的解得或,然后求出f(x)的导函数,求其单调性以及最值,在根据题意求出函数有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),分情况讨论求出的取值范围.【题目详解】解:令t=f(x),函数有3个不同的零点,即+m=0有两个不同的解,解之得即或因为的导函数,令,解得x>e,,解得0<x<e,可得f(x)在(0,e)递增,在递减;f(x)的最大值为,且且f(1)=0;要使函数有3个不同的零点,(1)有两个不同的解,此时有一个解;(2)有两个不同的解,此时有一个解当有两个不同的解,此时有一个解,此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=-m,此时有两个不同的解,此时有一个解此时,不符合题意;或是不符合题意;所以只能是解得,此时=,综上:的取值范围是故答案为【题目点拨】本题主要考查了函数与导函数的综合,考查到了函数的零点,导函数的应用,以及数形结合的思想、分类讨论的思想,属于综合性极强的题目,属于难题.14、2【解题分析】

由这五位同学答对的题数分别是,得该组数据的平均数,则方差.15、【解题分析】

建立直角坐标系,结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可.【题目详解】建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知:,,,则:,,且,,据此可知在方向上的投影为.【题目点拨】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,向量投影的定义与计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16、.【解题分析】

画出可行域,解出可行域的顶点坐标,代入目标函数求出相应的数值,比较大小得到目标函数最值.【题目详解】解:作出可行域,如图所示,则当直线过点时直线的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案为:.【题目点拨】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题.线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得,所以对于一般的线性规划问题,若可行域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值,从而确定目标函数的最值;若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析;(2).【解题分析】

(1)利用线面平行的定义证明即可(2)取的中点,并分别连接,,然后,证明相应的线面垂直关系,分别以,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用坐标运算进行求解即可【题目详解】证明:(1)在图1中,连接.又,分别为,中点,所以.即图2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在图2中,取的中点,并分别连接,.分析知,,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,,.分别以,,为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,所以,,.设平面的一个法向量,则,取,则,,所以.又,所以.分析知,直线与平面所成角的正弦值为.【题目点拨】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题,属于基础题18、(1);(2)见解析【解题分析】分析:第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上,从而建立关于的等量关系式,从而求得结果;第二问可以有两种方法,一是将不等式转化,构造新函数,利用导数研究函数的最值,从而求得结果,二是利用中间量来完成,这样利用不等式的传递性来完成,再者这种方法可以简化运算.详解:(1)解:,由题意有,解得(2)证明:(方法一)由(1)知,.设则只需证明,设则,在上单调递增,,使得且当时,,当时,当时,,单调递减当时,,单调递增,由,得,,设,,当时,,在单调递减,,因此(方法二)先证当时,,即证设,则,且,在单调递增,在单调递增,则当时,(也可直接分析显然成立)再证设,则,令,得且当时,,单调递减;当时,,单调递增.,即又,点睛:该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题,在求解的过程中,涉及到的知识点有导数的几何意义,有关切线的问题,还有就是应用导数证明不等式,可以构造新函数,转化为最值问题来解决,也可以借用不等式的传递性,借助中间量来完成.19、【解题分析】

讨论和的情况,然后再分对称轴和区间之间的关系,最后求出最小值【题目详解】当时,,它在上是减函数故函数的最小值为当时,函数的图象思维对称轴方程为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为当时,,函数的最小值为综上,【题目点拨】本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题。20、(1);(2)当BP为cm时,α+β取得最小值.【解题分析】

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