2023学年上海市三林高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

\2x-l,x>0…

1.已知/(X)=,'则//(,og4)=()

2_2

A.2B.-c.D.3

3~3

2.若复数z满足(2+3i)z=13i,则z二()

A.-3+2iB.3+2ic.-3-2iD.3-2i

x3

'2-x,x<0则/(/d))

3.已知函数/(x)=，9=()

lnx,x>0e

3

A.B.1C.1D.0

2

4.若复数二满足z->/3(l+z)i=1,复数Z的共扼复数是I，贝!Jz+z=()

1

A.1B.0c.-1D.---F——I

22

2y2

5.已知双曲线C：二=1的一条渐近线与直线3x-y+5=0垂直，则双曲线C的离心率等于(

a万

B.典C.VlO?D.2夜

A.0?

3

a>b11八

6.定义6小已知函数f(X)=c：2，g(X)=c2'则函数/(©=/(%)区g(©的最小值

b,a<b2-sinx2-cos-x

为()

24

A.-B.1C.-D.2

33

7.在AABC中，AB-=2,AC=3,ZA=60。，。为MBC的外心，若/x,yeR,则2x+3y=

()

543

A.2B・—C.-D.一

332

8.设双曲线=—1=l（a>（）,/>>0）的一个焦点为F（c,0）（c>0）,且离心率等于石，若该双曲线的一条渐近

ab

线被圆好+产-2cx=0截得的弦长为2石，则该双曲线的标准方程为（）

2222

A.工-工=1B.工-工=1

20525100

222,2

C.----------=]D.----------=1

520525

9.设“、〃是两条不同的直线，a、£是两个不同的平面，则加，万的一个充分条件是（）

A.a_L/?且机uaB.mHnnn工Pc.a工廿昼m//aD.〃?_L〃且〃//尸

10.党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平

台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门

进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展

有显著效果的图形是（）

11.某单位去年的开支分布的折线图如图1所示,在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该

单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）

22

12.已知双曲线r：「一与=1（。＞0,。＞0）的一条渐近线为/,圆。：。一。）2+产=4与/相切于点4，若乙4耳凡的

crb一

面积为26,则双曲线「的离心率为（）

A.2B.C.-D.—

333

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AMC中，内角A,B,C所对的边分别是a,6,c.若AinA=asinC,c=l,则。=_,AABC面积的最大值

为一.

14.设a为锐角，若cos（a+三）=电,贝!Jsin2a的值为__________.

64

15.甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，则“甲、乙两人恰好在同一企业”的概率为.

22

16.已知点（L2）是双曲线「一匕=1（。＞0）渐近线上的一点，则双曲线的离心率为

a4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆。的短轴的两个端点分别为A（0』）、B（O,-1）,焦距为26.

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线.丫=加与椭圆。有两个不同的交点〃、N,设。为直线AN上一点，且直线B。、邮的斜率的积

为-工.证明：点。在x轴上.

4

22rr

18.（12分）已知椭圆。：「+与=1（a＞b＞0）的离心率为丫4,且以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的

a2b22

圆与直线x+y-2=（）相切.

（1）求椭圆的标准方程;

(2)已知动直线/过右焦点R且与椭圆C交于4、8两点，已知。点坐标为(2,0),求・。月的值.

4

19.(12分)已知(x+1)"=4+q(x—l)+a2。-1)2+〃3(x—a---1a〃(x—1)”,(其中〃wN*)

Sfl=4+a2+%+…•

⑴求sn；

(2)求证：当〃24时，S”>(〃-2)2"+2".

x=l+g

20.(12分)已知直线/的参数方程为｛2。为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标

1

y=T

I2

系，曲线。的极坐标方程为Q=4COS6.

(1)求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设点P(l,0),直线/与曲线C交于A,8两点，求IAPI+IPBI的值.

21.(12分)记抛物线。：产=22光(/?>0)的焦点为E，点。,E在抛物线。上，且直线OE的斜率为1,当直线OE

过点尸时，|DE|=4.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若G(2,2),直线DO与EG交于点H,D/+EI=0>求直线”/的斜率.

「121

22.(10分)已知矩阵知=.的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.

2a

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

利用分段函数的性质逐步求解即可得答案.

【详解】

log2-<0,/./(log21)=-log2：=log23>0；

3DO

•••/[/(log2^)]=/(log23)=3-l=2；

故选：A.

【点睛】

本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用.

2.B

【解析】

由题意得,z=求解即可.

【详解】

13i13i(2-3i)26i+39、、

因为(2+3i)z=13i,所以z=------------------=-----------=3+21.

2+3i(2+3i)(2-3i)4+9

故选:B.

【点睛】

本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力，属于基础题.

3.A

【解析】

2K丫3丫<f)111

由函数/(幻=,一,"，求得/(一)=In-=-1,进而求得/(/(一))的值，得到答案.

Inx,x>0eee

【详解】

、田―140

由题意函数.f(X)=,

Inx,x>0

i1।3

则/(-)=ln-=一1,所以/(/(-))=/(-1)=27-(-1)3=彳，故选A.

eee2

【点睛】

本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理

与运算能力，属于基础题.

4.C

【解析】

根据复数代数形式的运算法则求出z,再根据共飘复数的概念求解即可.

【详解】

解：：z-gi-Gzi=l，

.1+收1G.

••Z------=--------1-----I9

1-V3z22

赃」_4

22

,•z+z=-1»

故选：C.

【点睛】

本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共甄复数的概念，属于基础题.

5.B

【解析】

由于直线的斜率k=3,所以一条渐近线的斜率为女'=即2=工，所以e=Jl+(、)2=典,选民

3a3Va3

6.A

【解析】

根据分段函数的定义得尸(X)>/(X),F(x)>g(x),则2F(x)>/(x)+g(x)，再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得尸(x)"f(x),F(x)>g(x),贝！|2F(x)N/(无)+g(x),

11111,,

/(%)+g(x)=--------+----------=-(--------—+---------)[(2-sin-x)+(2-cos-x)]

2-sin2x2-cos2x32-sin2x2-cos2x

22222

1小2-cosx2-sinI小/2-cosx2—sinxx4,出上2-cos?x2-sinxHn

=-(2+-------5—+---------5—)>-(2+2,-------3------------5—)=-(当且仅当-=------—，即

32-sin-x2-cos-x3V2-sin-x2-cos-x32-sin-x2-cos'x

i242

sir?x=cos2x=i时"=”成立.此时,/(x)=g(x)=§,，2F(x)>-,F(x)的最小值为§,

故选：A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2E(x)»/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，属

于中档题.

7.B

【解析】

首先根据题中条件和三角形中几何关系求出X,y,即可求出2x+3y的值.

【详解】

如图所示过。做三角形三边的垂线，垂足分别为。，E,F,

过。分别做AB,AC的平行线NO,MO,

.AB2+AC2-BC29+4+BC2/

由题知cos600=--------------------------=-----------------nBC=B,

2-AB-AC12

则外接圆半径r=-BC_=叵

2-sin6003

因为所以00=’4凡6=样—1=2

214

又因为N0MO=6O°,所以。M=—,MO=AN=—,

333

由题可知M=x丽+y/=说+前,

AM1AN_4

所以x

^B~6AC-9

所以2x+3y=|.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题.

8.C

【解析】

be

由题得又a2+〃=c2,联立解方程组即可得6=5,从=20,进而得出双曲线

a

方程.

【详解】

由题得e=£=J?①

a

又该双曲线的一条渐近线方程为云-欧=0,且被圆好+必,2cx=0截得的弦长为2石,

2

所以=b=\Jc-5②

A/O2+b2

又+白③

由①(D③可得：/=5,/=20，

r2v2

所以双曲线的标准方程为上-L=1.

520

故选：C

【点睛】

本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.

9.B

【解析】

由m//〃且〃，力可得”?，，，故选B.

10.D

【解析】

根据四个列联表中的等高条形图可知，

图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，

它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D.

11.A

【解析】

由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费

开支占总开支的百分比.

【详解】

水费开支占总开支的百分比为一二;…x20%=6.25%.

250+450+100

故选：A

【点睛】

本题考查折线图与柱形图，属于基础题.

12.D

【解析】

由圆C:(x—c)2+y2=4与/相切可知，圆心C(c,O)到/的距离为2,即。=2.又5AA叱2=25“*="=2有，由

此求出。的值，利用离心率公式，求出e.

【详解】

由题意得b-2,SAAf.]F2=ab=2A/3,

故选：D.

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13.1-

2

【解析】

由正弦定理，结合加inA=asinC,c=\,可求出沙；由三角形面积公式以及角A的范围，即可求出面积的最大值.

【详解】

因为加in4=asinC,所以由正弦定理可得仇z=ac,所以Z?=c=l；

所以SA48c=gbcsinA=gsz>2A<g，当s讥4=1,即A=90°时，三角形面积最大・

故答案为(1).1(2).《

2

【点睛】

本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.

14万+3)

【解析】

a为锐角,cos(a+—)=—,:.sin(a+—)=,

6464

sin(2«+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=,cos(2a+—)=2cos2(a+-)-1=--,

3664364

sin2«=sin[(2<z+—)--1=sin(2a+—)cos--cos(2«+—)sin—=——x—+—x——=-—―~

33333342428

1

15.-

3

【解析】

求出所有可能，找出符合可能的情况，代入概率计算公式.

【详解】

解：甲、乙、丙、丁4名大学生参加两个企业的实习，每个企业两人，共有了=6种，甲乙在同一个公司有两种可能,

21

故概率为P=：=4，

63

故答案为彳.

【点睛】

本题考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题

16.V5

【解析】

先表示出渐近线，再代入点(L2),求出则离心率易求.

【详解】

2222

解：三一匕=l(a>0)的渐近线是二一匕=0(a>0)

a44

I2?2

因为(1,2)在渐近线上，所以二一±=0(。>0)

CT4

a=l(a>0)

C=V12+22=V5，八：石

故答案为：亚

【点睛】

考查双曲线的离心率的求法，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)—+/=1;(2)见解析.

4-

【解析】

(1)由已知条件得出〃、c的值，进而可得出。的值，由此可求得椭圆C的方程;

(2)设点加)，可得N(一%,加)，且工尸0,-1<m<1,求出直线8M的斜率，进而可求得直线8D与AN的

方程，将直线直线80与AN的方程联立，求出点。的坐标，即可证得结论.

【详解】

b=l

(1)由题设，得所以q-=b2+c2=4,

丫2

故椭圆C的方程为±•+y2=i；

4'

(2)设则N(一不㈤，工尸0,

加一(一1)zn+1

所以直线8M的斜率为一二2=——，

%,-0%

1x.

因为直线8。、创/的斜率的积为-二，所以直线的斜率为-

44(根+1)

1_"71X】1

直线.的方程为y=r»i,直线皿的方程为广一而包1

1，21

——x.—m+1

联立，解得点。的纵坐标为力4

122，

y=——/~~rX-1——x；+m

4(m+1)41

因为点M在椭圆。上，所以五+机2=1,则%,=0,所以点。在x轴上.

4

【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题.

r27

18.(1)二+丁=1；(2)——.

2-16

【解析】

(D根据椭圆的离心率为交，得到c=R2。，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到

22

a=叵,从而求得匕=1,进而求得椭圆的方程；

(2)分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的

数量积，结合已知条件求得结果.

【详解】

(1)由离心率为也，可得e=£=立,

2a2

c=—a,且以原点。为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为Y+/2=

2

2

因与直线x+y-2=0相切，则有正=a即。=\[2,c—\

故而椭圆方程为1+V=1.

(2)①当直线/的斜率不存在时，AB1,

5、

市」1⑷/5—也7

由于y,T-，-

7-4V7

②当直线/的斜率为0时，A(A/2,0),B(-V2,0),

则,一(,0乂一0一(,0)=一5；

③当直线/的斜率不为0时，设直线/的方程为x=）+l,A（X1,y），B（x2,y2）,

2

由X="+l及++y2=l,

得“2+2）/+2）-1=0，有/>0,/.+y2=--,乂%=一，77，

玉=）］+1,々=伙+1，

•••卜一一'%)=,一一；)+X必=(r+1)=必必一5(凹+必)+'

112fl-2r-2+t217

-----+--f------P=+---

/+24/+216--2（/+2）---16----16'

------7

综上所述：QAQB=--.

16

【点睛】

该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程

中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目.

19.（1）3"-2"（2）见解析

【解析】

(1)取x=l,则。0=2"；取尤=2,贝！J/+〃1+4+4---F〃“=3〃，

***Sn=4+4+q+•,•+=3〃-2〃•

(2)要证S”>(〃-2)2"+2〃2,只需证3">(n—1)2"+2〃2,

当〃=4时，81>8()；

假设当〃=仪女24)时，结论成立，即3&>/-1)2.+2%2,

两边同乘以3得：3川>3](左一1)2*+2女2]=女2"1+2(女+1)2+联—3)2&+4公一4女—2J

而伏-3)2*+4条2—4左一2=(左一3)2*+4仅2—左—2)+6=伏-3)2*+4伏一2)(k+1)+6>0

3i+1>((k+l)-l)2t+1+2伏+,即〃=&+1时结论也成立，

二当〃24时，3">(〃-1)2"+2川成立.

综上原不等式获证.

20.(1)x-岛-1=()；(x-2)2+y2=4(2)Jl5

【解析】

(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；

(2)将直线参数方程代入圆的普通方程，可得4+f2=6，«2=-3,而根据直线参数方程的几何意义，知

2

\PA\+\PB\=\ti-t2\=yl(ti+t2)-^t2>代入即可解决.

【详解】

X=1H---1

(D直线/的参数方程为2(7为参数)，

卜三1

消去，；得x-•百y-l=()

曲线C的极坐标方程为。=4cos氏

由尤=夕(\)56,y-psin0,x2+y2=p2,

可得/+y2=4x,即曲线c的直角坐标方程为0—2)2+y24；

(2)将直线/的参数方程|2(，为参数)代入C的方程(x-2>+y2=4,

y=­t

I2

可得--3=0,/>0,

设乙，是点A,6对应的参数值，

%+与=百，伍=一3,则|PA|+1|=「一胃=+幻2—4科=岳.

【点睛】

本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.

21.(1)y2=2x(2)0

【解析】

(1)根据题意，设直线OE：y=x—g与。：丁2=2〃叱〃>0)联立，得尸-2h-/=0,再由弦长公式,

|。初="^^-%|=4求解.

八2\/2\力_.；2

(2)设。彳,M，E，根据直线DE的斜率为1，则代犬％+x，得到%+X=2,再由

[21(2-'-

2

而+百=(),所以线段DE中点/的纵坐标为％=1,然后直线。。的方程.丫=丁r与直线£G的方程

2/c、

y=-~-(-^-2)联立解得交点//的纵坐标为,=1，说明直线H///X轴，直线印的斜率为0.

【详解】

⑴依题意，尸已°)，则直线°E:y=x—g

y2=2px