第五章 三角函数（32类知识归纳38类题型突破）（解析版）

第五章三角函数（32类知识归纳+38类题型突破）题型一终边相同的角题型二象限角题型三角度与弧度的互化题型四扇形的弧长与面积公式题型五各象限角三角函数值的符号题型六三角函数求值题型七三角函数线的应用题型八平方关系的应用题型九与的关系题型十商数关系题型十一同角三角函数基本关系的综合应用题型十二诱导公式直接求值题型十三诱导公式化简求值题型十四正弦（型）函数的图象与性质题型十五余弦（型）函数的图象与性质题型十六正切（型）函数的图象与性质题型十七三角函数值的大小比较题型十八解三角不等式题型十九求参数及其范围综合题型二十三角函数图象与性质压轴题综合题型二十一两角和与差的余弦公式题型二十二两角和与差的正弦公式题型二十三两角和与差的正切公式题型二十四二倍角的正弦公式题型二十五二倍角的余弦公式题型二十六二倍角的正切公式题型二十七降幂公式题型二十八三角恒等变换的综合应用题型二十九三角恒等变换的实际应用题型三十三角恒等变换压轴题综合题型三十一确定三角函数的解析式题型三十二同名三角函数的伸缩平移变换题型三十三异名三角函数的伸缩平移变换题型三十四伸缩平移变换的参数求解题型三十五伸缩平移变换的综合应用题型三十六伸缩平移变换压轴题综合题型三十七三角函数的应用综合题型三十八三角函数新定义综合1.了解角的定义，会角的分类，熟悉象限角与轴线角，会表示终边相同的角．2.熟练掌握角度和弧度的互化，会求扇形的弧长、周长及面积．3.理解并掌握三角函数的定义，掌握各象限内三角函数值的符号，理解并会使用三角函数线．4.理解并掌握同角三角函数的基本关系，会给值求值及化简求值．5.熟练掌握三角函数的图象与性质，并会三角函数型函数的相关计算．6.熟练掌握三角恒等变换，并会公式变形及其计算．7.熟练掌握三角函数间的伸缩平移变换及相关计算求解．8.会三角函数的实际应用．角的定义平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边角的分类按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））象限角第Ⅰ象限角：，或，第Ⅱ象限角：，第Ⅲ象限角：，第Ⅳ象限角：，或，轴线角终边落在轴正半轴上：，终边落在轴负半轴上：，终边落在轴正半轴上：，终边落在轴负半轴上：，终边落在轴上：，，终边落在轴上：，终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，终边落在上：，或：，β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z.β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z.β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z.β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z.终边相同的角与终边相同的角的集合为：，角度与弧度的关系，扇形的弧长、周长及面积公式角度制弧度制弧长公式面积公式周长公式是扇形的半径，是圆心角的度数是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长三角函数的定义，正弦线：，余弦线：，正切线：三角函数在各象限内的符号三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．特殊角的三角函数值度弧度00100100101不存在0不存在0两角互余的三角函数关系互余，，已知，则：两角互补的三角函数关系互补，，，已知，则：，常见三角不等式若，则；若，则..同角三角函数的基本关系平方关系：商数关系：推导公式：诱导公式诱导类型或，，或，，或，，诱导方法：奇变偶不变，符号看象限奇偶指的是或中的奇偶，若为奇数，变函数名；，若为偶数，不变函数名；，，象限指的是原函数名的象限，再判断符号规定：无论角多大，看作第一象限角（锐角）诱导公式，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，三角函数的图象与性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：会用五代作图法及整体代换思想解决三角函数型函数的图象及性质正弦的和差公式余弦的和差公式正切的和差公式正弦的倍角公式余弦的倍角公式升幂公式：，降幂公式：，正切的倍角公式半角公式(1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).以上称之为半角公式，符号由eq\f(α,2)所在象限决定．和差化积与积化和差公式推导公式辅助角公式，，其中，三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下伸缩平移变换①先平移后伸缩向左平移个单位→，横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→②先伸缩后平移横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的倍→，向左平移个单位→三角函数图象的变换常用结论（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．（2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．题型一终边相同的角【例1】（1）（2023上·湖南邵阳·高一统考期末）下列各角中，与角终边相同的角为：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】与角终边相同的角为，取的值即可求解.【详解】与角终边相同的角为，令,可得，故A满足题意，其余选项代入可得k不是整数，故选:A.（2）（2023上·云南楚雄·高一统考期末）下列各角中，与角的终边相同的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据终边相同角的形式依次验证各个选项即可.【详解】与终边相同的角为；当时，，A正确；其余三个选项中，不合题意.故选：A.（3）（2023下·上海长宁·高一统考期末）与终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知结合终边相同的角的表示方法即可得答案.【详解】因为，或，所以在和之间与终边相同的角有和，故选：A巩固训练：1．（2023上·山东临沂·高一校考期末）与角终边相同的最小正角是（

）A． B． C． D．120°【答案】C【分析】求出与角终边相同的角，进而可得最小正角.【详解】与角终边相同的角为，当时，取最小正角，为故选：C.2．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）下列各角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据即可得到答案.【详解】对选项A，，故A错误.对选项B，因为，故B正确.对选项C，，故C错误.对选项D，，故D错误.故选：B3．（2022上·山东青岛·高一校考期末）已知集合，则下列集合与P相等的是（

）A． B．C． D．或【答案】D【分析】分别判断各选项表示终边的位置即可得出答案.【详解】集合P表示终边在坐标轴上的角的集合，A选项，表示终边在轴的角的集合，B选项，表示终边在轴的角的集合，C选项，表示终边在轴非负半轴的角的集合，D选项，表示终边在坐标轴的角的集合，故选：D.题型二象限角【例2】（1）（2023上·江苏苏州·高一统考期末）已知角，那么的终边在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】利用角终边相同公式得到的终边与的终边相同，从而得到的终边所在象限．【详解】因为，又，所以的终边在第三象限．故选：C．（2）（2023上·山东·高一山东师范大学附中校考期末）（多选）下列说法正确的是（

）A．钝角大于锐角B．时间经过两个小时，时针转了60°C．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角D．若是第三象限角，则是第二象限角或第四象限角【答案】AD【分析】利用锐角、钝角范围判断A；利用正负角的意义判断B；利用象限角的意义判断CD作答.【详解】对于A，因为锐角，钝角，因此钝角大于锐角，A正确；对于B，时间经过两个小时，时针转了，B不正确；对于C，当三角形的一个内角为时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C不正确；对于D，因为是第三象限角，即，则，当为奇数时，是第二象限角，当为偶数时，是第四象限角，D正确.故选：AD（3）（2023上·广东广州·高一校考期末）（多选）下列四个角为第三象限角的是（

）A．2 B． C． D．【答案】BC【分析】根据角的大小及终边相同的角判断角所在的象限.【详解】2弧度角为第二象限角；与的终边相同，为第三象限角；为第三象限角；为第二象限角；故选：BC（4）（2022上·安徽阜阳·高一界首中学校考期末）（多选）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【答案】AB【分析】由与关于x轴对称，判断A选项；由已知得，，再根据不等式的性质可判断B选项；由是第一象限角判断C选项；由不等式的性质可得，，由此可判断D选项．【详解】解：因为与关于x轴对称，而是第二象限角，所以是第三象限角，所以是第一象限角，故A选项正确；因为是第二象限角，所以，，所以，，故是第一或第三象限角，故B选项正确；因为是第二象限角，所以是第一象限角，故C选项错误；因为是第二象限角，所以，，所以，，所以的终边可能在y轴负半轴上，故D选项错误．故选：AB.巩固训练1．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校联考期末）已知为第三象限角，则为第（

）象限角.A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三【答案】A【分析】根据为第三象限角得到的取值范围，进而可得的范围，即可求解.【详解】因为为第三象限角，所以所以当为偶数时，记,所以所以为第二象限角，当为奇数时，记,所以所以为第四象限角，所以为第二或第四象限角，故选:A.2．（2023上·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案.【详解】因为角是第二象限角，所以，，对于A，，，故是第三象限角，故A正确；对于B，，，故是第一象限角，故B不正确；对于C，，，故是第三象限角，故C正确；对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.故选：AC3．（2023上·山东临沂·高一校考期末）（多选）已知为第四象限角，则可能为（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】BCD【分析】写出角的范围，求得，讨论，，，即可求得答案.【详解】由题意知为第四象限角，则,则，当时，，为第四象限角，当时，，为第二象限角，当时，，为第三象限角，即可能为第二、三、四象限角，不可能为第一象限角，故选：题型三角度与弧度的互化【例3】（1）（2023上·重庆南岸·高一重庆市第十一中学校校考期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用公式可求角的弧度数【详解】角对应的弧度数为故选：C（2）（2023上·山西太原·高一太原市进山中学校校考期末）把弧度化成角度：【答案】【分析】利用角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】，故答案为：巩固训练1．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）将化成弧度为．【答案】/【分析】根据弧度制与角度制互化公式进行求解即可.【详解】，故答案为：2．（2023下·上海长宁·高一统考期末）将弧度化为角度：弧度=°．【答案】【分析】根据角度制与弧度制的互化即可求解.【详解】.故答案为：题型四扇形的弧长与面积公式【例4】（1）（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）扇形的圆心角为1，半径为1，则扇形的面积为．【答案】/【分析】利用扇形的面积公式直接求解即可.【详解】因为扇形的圆心角为1，半径为1，所以该扇形的面积，故答案为：（2）（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知弧长为的弧所对圆心角为，则这条弧所在圆的半径为cm．【答案】【分析】由弧长与半径、圆心角之间的关系，代入数据即可得解.【详解】依题意把代入公式得，解得.故答案为：.（3）（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）已知一个扇形的周长为8，则当该扇形的面积取得最大值时，圆心角大小为（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根据扇形面积公式及其基本不等式求出扇形面积取得最大值时的扇形半径和弧长，利用弧度数公式即可求出圆心角.【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，扇形面积为，当且仅当，即时等号成立，此时，则圆心角，故选：D.（4）（2023上·江苏泰州·高一统考期末）中国的扇文化有着极其深厚的人文底蕴，折扇从明代开始流行，扇面书画、扇骨雕琢，深得文人雅士的喜爱（如图1）.制作折扇的扇面时，先从一个圆面中剪下扇形，再从扇形中剪去扇形（如图2）.记圆面面积为，扇形的面积为，把满足且的扇面称为“完美扇面”，现有用半径为的圆面制作而成的“完美扇面”，则弧的长为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出，设圆心角，圆的半径为，表示出，，根据求出，再根据弧长公式计算可得.【详解】依题意，，即，即，所以，则，设圆心角，圆的半径为，则，，所以，因为，所以，即，解得，所以弧的长为.故选：D（5）（2023上·广东清远·高一统考期末）《乐府诗集》辑有晋诗一组，属清商曲辞吴声歌曲，标题为《子夜四时歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：叠扇放床上，企想远风来.轻袖佛华妆，窈窕登高台､诗里的叠扇，就是折扇.折扇展开后可看作是半径为的扇形，是圆面的一部分，如图所示.设某扇形的面积为，该扇形所在圆面的面积为，当与的比值为时，该扇面为“黄金美观扇面”.若某扇面为“黄金美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为.【答案】【分析】利用与比值，列出方程即可.【详解】，扇形所在圆面的面积为：且：；故答案为：（6）（2023下·山东威海·高一统考期末）古希腊地理学家埃拉托色尼从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的塞伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上）记为，夏至那天正午，阳光直射，立杆无影；同样在夏至那天，他所在的城市——埃及北部的亚历山大城记为，测得立杆与太阳光线所成的角约为.他又派人测得，两地的距离km，平面示意图如图，则可估算地球的半径约为（

）（）A．km B．km C．km D．km【答案】C【分析】利用圆的性质及周长公式即可求解.【详解】设地心为，依题意可得，，，设地球的周长为，半径为，则，所以km.故选：C巩固训练1．（2022上·广东汕尾·高一统考期末）已知扇形的面积为9，圆心角为2rad，则扇形的弧长为．【答案】6【分析】联立公式和，即可得到本题答案.【详解】设半径为，弧长为，由题得，，，②代入①得，，所以，则.故答案为：62．（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设r为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据弧长、圆心角、半径的关系，代入求解，再转化为角度制即可.【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：，弧长为的圆弧所对的圆心角：.故选：A.3．（2023上·山东聊城·高一校联考期末）《九章算术》是我国算术名著，其中有这样的一个问题：“今有宛田，下周三十步，径步．问为田几何？”意思是说：“现有扇形田，弧长60步，直径32步，问面积是多少？”在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（

）A． B． C． D．120【答案】A【分析】根据扇形面积公式得到面积为步，设出扇形圆心角，根据求出扇形圆心角.【详解】因为直径步，故半径为步，（平方步），设扇形的圆心角为，则，即．故选：.4．（2023上·湖南永州·高一统考期末）玉雕在我国历史悠久，玉雕是采用传统的手工雕刻工艺加工生产成的玉雕工艺.某扇环形玉雕（扇环是一个圆环被扇形截得的一部分）尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用扇形的面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可得解．【详解】如图，设，，由弧长公式可得，解得，，设扇形，扇形的面积分别为，，则该壁画的扇面面积约为．故选：A5．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为cm.【答案】【分析】设扇形ABC的半径为，弧长为，根据扇形ABC的面积得到，纸叠扇的周长，利用基本不等式求解即可.【详解】设扇形ABC的半径为，弧长为，则扇形面积.由题意得，所以.所以纸叠扇的周长，当且仅当即，时，等号成立，所以此时的长度为.故答案为：6．（2023上·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为．【答案】【分析】利用圆半径得到为等边三角形得出，则阴影部分的面积用扇形与等边三角形面积表示即可．【详解】如图，连接.由题意知，线段的长度都等于半径，所以，为正三角形，则，故的面积为，扇形的面积为，由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，所以阴影部分的面积.故答案为：.题型五各象限角三角函数值的符号【例5】（1）（2023上·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若，且，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.【详解】由，可得为第三、第四象限角及轴非正半轴上的角；由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角．取交集可得，是第四象限角．故选：D．（2）（2023上·浙江杭州·高一校考期末）若，且，则角是第（

）象限角．A．二 B．三 C．一或三 D．二或四【答案】D【分析】先判断角所在的象限，再判断角所在的象限.【详解】由条件知与异号，则为第二或第三象限角；又与异号，则为第三或第四象限角所以为第三象限角，即，，为第二或第四象限角.故选：D.（3）（2023上·安徽安庆·高一统考期末）“角是第三象限角”是“”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】结合角所在象限的性质及充分不必要条件进行判断即可.【详解】当角是第三象限角时，，，于是，所以充分性成立；当，即时，角是第二或第三象限角，所以必要性不成立，故选：A．（4）（2022上·江苏南通·高一江苏省南通中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点位于第（

）象限A．一 B．二 C．三 D．四【答案】D【分析】运用诱导公式计算出P点坐标的符号就可判断出P点所在的象限.【详解】，，在第四象限；故选：D.巩固训练1．（2022上·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）已知是第四象限的角，则点在（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得，可得答案．【详解】根据题意，是第四象限角，则，则点在第二象限,故选：．2．（2023上·广东·高一统考期末）已知为第二或第三象限角，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据角所在的象限，可判断出三角函数值的符号，从而可判断出选项.【详解】若角为第二象限角，则，此时；若角为第三象限角，则，此时；所以当为第二或第三象限角时，.故选：A.3．（2023上·广东佛山·高一统考期末）已知，则“”是“点在第一象限内”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】结合三角函数的想先符号判断即可.【详解】若，则在第一或三象限，则或，则点在第一或三象限，若点在第一象限，则，则.故“”是“点在第一象限内”的必要不充分条件.故选：B4．（2023上·浙江衢州·高一统考期末）（多选）若，，则可以是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】AC【分析】由条件，可知是第一象限角，据此得到范围，即可确定所在的象限.【详解】因为，，所以，故是第一象限角，由，得，当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角.故选：AC.题型六三角函数求值【例6】（1）（2023上·云南楚雄·高一统考期末）已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义直接构造方程求解即可.【详解】角的终边经过点，，解得：.故选：A.（2）（2023上·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边是轴的非负半轴，终边经过点，则.【答案】【分析】根据三角函数的定义求得正确答案.【详解】依题意，.故答案为：（3）（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知角的始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用任意角的三角函数的定义求值.【详解】角的终边与单位圆的交点为，则.故选：A（4）（2023上·湖北十堰·高一统考期末）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．若角终边上一点的坐标为，则（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】计算得到点的坐标，根据三角函数定义计算得到答案．【详解】，即，则．故选：D．（5）（2023上·江苏南京·高一统考期末）（多选）已知角的终边经过点，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据三角函数的定义计算即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确，D错误.故选：AC.巩固训练1．（2023上·山东济宁·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴非负半轴重合，角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据点和三角函数概念，即可求出的值.【详解】因为点，则，故选：A.2．（2023上·山东德州·高一统考期末）已知点是角终边上的一点，且，则的值为（

）A．2 B． C．或2 D．或【答案】D【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】解：因为点是角终边上的一点，且，所以，解得或.故选：D3．（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由三角函数的定义可得：，也即，由可得：，解得：或（舍去），因为角的终边过点，所以，则，故选：.4．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知角终边经过点，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可.【详解】因为角终边经过点，所以，所以，解得.故选：C5．（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）（多选）在直角坐标系中，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得，则，A选项正确；，B选项正确；，C选项错误；由，角的终边在第三象限，即，则，即角的终边在二、四象限，所以，D选项正确.故选：ABD.题型七三角函数线的应用【例7】（1）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解三角不等式即可.【详解】由题可知：，解得：故选：C.【点睛】本题考查三角不等式的求解，可用三角函数线，也可结合三角函数的图像进行求解，属基础题.（2）已知，那么下列命题成立的是（

）A．若，是第一象限角，则B．若，是第二象限角，则C．若，是第三象限角，则D．若，是第四象限角，则【答案】D【解析】根据三角函数线，以及特殊角的三角函数值即可容易判断.【详解】对选项：令满足，但，故错误；对选项：令满足，但，故错误；对选项：令满足，但，故错误；对选项：画出余弦线以及正切线如下所示：如图所示：余弦线满足，但其对应正切线，则，故正确.故选：D.【点睛】本题考查应用正切线比较三角函数值的大小，属基础题.（3）若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【分析】根据题意，画出三角函数线，找出角度范围，即可表示.【详解】角α的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：即∪故选：.【点睛】本题考查由三角函数值的范围，求角度的范围，涉及三角函数线的应用，属基础题.（4）设a=sin1,b=cos1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是（

）A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a【答案】C【详解】由于，结合三角函数线的定义有：，结合几何关系可得：，即.本题选择C选项.巩固训练1．如果，那么下列不等式成立的是A． B．C． D．【答案】C【分析】分别作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出，即.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.2．在上，满足的的取值范围是.【答案】【分析】由，结合三角函数线，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，因为，所以满足的的取值范围为.【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，以及三角函数线的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．已知是的一个内角，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，即可求出的取值范围.【详解】解：，令，又，所以，作角的正切线，如图所示.由图可得，当时，，此时，，即的取值范围是.故选：.【点睛】本题考查三角函数线的应用，利用三角函数线解三角不等式，属于基础题.题型八平方关系的应用【例8】（1）（2022上·浙江杭州·高一统考期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的范围，确定的符号.然后根据正余弦的关系，即可求出答案.【详解】因为，所以.又，所以.故选：D.（2）（2023上·湖北黄冈·高一统考期末）已知角的终边过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义和同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由三角函数的定义可得：，也即，由可得：，解得：或（舍去），因为角的终边过点，所以，则，故选：.巩固训练1．（2023上·广东广州·高一校考期末）已知为第二象限角,且,则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据为第二象限角,可得三角函数值的正负,根据平方关系可得余弦值,根据商数关系即可得正切值.【详解】解:由题知为第二象限角,所以,因为,所以,.故选:C2．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知，，则．【答案】/【分析】直接根据同角三角函数之间的关系即可得结果.【详解】因为，，所以，故答案为：.题型九与的关系【例9】（1）（2023上·山东枣庄·高一统考期末）已知，且，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】利用同角三角函数之间的关系式可得，根据即可求得结果.【详解】将两边同时平方可得，，可得；又，所以；易知，可得；又,所以.故选：C（2）（2023上·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．不存在【答案】B【分析】由，代入已知条件解方程即可.【详解】，由，则，解得，由三角函数的值域可知，不成立，故.故选：B（3）（2023上·海南·高一海南华侨中学校考期末）若，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可推出，进而可得出.然后根据的范围，开方即可求出.【详解】因为，，所以，.所以，.又，所以，所以.故选：A.（4）（2023上·河北保定·高一统考期末）已知，则.【答案】/【分析】利用同角三角函数的关系，求出函数解析式，再代入求值.【详解】已知，因为，所以令，则，则.故答案为：（5）（2023上·山东德州·高一统考期末）（多选）已知，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可得的正负，求得的值，即可判断A的正误，联立可求得的值，即可判断B的正误，根据同角三角函数的关系，可判断C的正误，平方差计算的值可判断D的正误，从而得到答案.【详解】因为①，所以，则，因为，所以，所以，所以，所以②，故A错误；①②联立可得，，故B正确；所以，故C错误；，故D正确；故选：BD巩固训练1．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）已知，，则．【答案】/【分析】先通过角的范围确定的符号，然后通过计算可得答案.【详解】，，即，又，.故答案为：.2．（2023上·江苏连云港·高一校考期末）已知，则.【答案】【分析】由题知，进而根据求解即可.【详解】解：因为，所以，所以且，所以故答案为：3．（2023下·湖南长沙·高二湘府中学校考阶段练习）已知，，则的值为．【答案】【分析】将的两边同时平方可得，结合角的范围即可求得，即可计算出.【详解】由题意，两边同时平方可得，即，所以，又因为，所以，，所以，可得．故答案为：4．（2023下·江西上饶·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果．【详解】因为，平方得，又故，则．故选：B.5．（2023上·山东济南·高一济南三中校考期末）（多选）已知，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】AB选项，两边平方得到，再结合得到，，得到AB正确；先求出的平方，结合角的范围求出的值.【详解】AB选项，两边平方得，，即，所以，B正确，因为，所以，故，所以，A正确；CD选项，，因为，，所以，故，C错误，D正确.故选：ABD题型十商数关系【例10】（1）（2023上·海南海口·高一海口一中校考期末）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点是角终边上一点，则.【答案】1【分析】根据三角函数的定义得到，再利用弦切互化将的分子和分母同时除以得到，即可求解.【详解】因为点是角终边上一点，所以，所以，故答案为：1.（2）（2023上·广东肇庆·高一统考期末）已知是第二象限的角，，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将条件等式变形为分子分母为关于的二次齐次式，然后同除即可得关于的方程，求出，进而可得，则可求.【详解】是第二象限的角，，解得，，.故选：A.（3）（2023上·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）已知，且为第二象限角.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的基本关系式求解；（2）利用三角函数的诱导公式求解.【详解】（1）解：因为，且为第二象限角，所以；（2）.巩固训练1．（2023上·广东深圳·高一深圳第二实验学校校考期末）已知，则.【答案】3【分析】利用同角的三角函数关系，结合正余弦齐次式法求值，即得答案.【详解】由可得，故，解得，故答案为：32．（2023上·山东枣庄·高一枣庄八中校考期末）若，则．【答案】/【分析】将原式转化为齐次分式，化弦为切求解即可.【详解】原式.故答案为：.3．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知，则.【答案】【分析】在代数式上除以，再利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则.故答案为：.题型十一同角三角函数基本关系的综合应用【例11】（1）（2023上·重庆·高一统考期末）（多选）已知，，则下列结论正确的是（

）A．为第二象限角 B．C． D．【答案】ABD【分析】利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项.【详解】由同角三角函数平分关系可得，，因为，所以，解得，,因为，所以是第二象限角，故选项，正确，有同角三角函数商数关系可得，，故选项错误，因为，故选项正确.故选：.（2）（2023上·重庆·高一统考期末）已知角满足______．请从下列三个条件中任选一个作答．（注：如果多个条件分别作答，按第一个解答计分）．条件①：角的终边与单位圆的交点为；条件②：角满足；条件③：角满足．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)时，原式；时，原式；【分析】（1）利用三角函数定义以及同角三角函数的平方关系即可解得；（2）将分母看成“1”，将表达式化为只含有的式子代入计算即可求得结果.【详解】（1）条件①：因为角的终边与单位圆的交点为，可得，，由三角函数的定义可得条件②：因为角满足，又因为，即可得所以，可得条件③：因为角满足，又因为，即，可得又，∴，即（2）易知由（1）可知：，当时，原式；当时，原式.（3）（2023上·江苏无锡·高一无锡市第一中学校考期末）(1)已知角终边上一点，求的值；(2)已知关于x的方程的两根为和，.求实数b以及的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由三角函数的定义求得，再利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的商数关系化简求值即可；（2）先利用韦达定理得到，，再将两边平方，结合即可求出，从而利用即可得解.【详解】（1）因为角终边上一点，所以，所以.（2）因为关于的方程的两根为和，所以，，因为，所以，所以，因为，所以，且，所以，则，故，所以.巩固训练1．（2023上·山东德州·高一统考期末）已知角的值点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若角的终边落在直线上，则的值等于（

）A．3或3 B．或 C．3或 D．3或【答案】B【分析】讨论角在第二象限或第四象限，化简代入即可得出答案.【详解】角的终边落在直线上，所以角在第二象限或第四象限，所以，所以，当角在第二象限时，，所以，当角在第四象限时，，所以，故选：B.2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）已知、是关于的方程的两个根.(1)求实数的值，(2)求的值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）计算，根据韦达定理得到，解得答案；（2）根据三角恒等变换化简得到原式为，代入数据计算即可.【详解】（1）、是关于的方程的两个根，，解得或，则，，，解得或（舍），故；（2）.3．（2023上·湖北十堰·高一统考期末）已知角满足.(1)若，求的值；(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.【答案】(1)，(2).【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求解；（2）求出，由弦化切将变形为求解.【详解】（1）因为，所以.由，得，又因为，所以，，.（2）因为角的终边与角的终边关于轴对称，所以，由，得，则，所以.题型十二诱导公式直接求值【例12】（1）（2023上·广东梅州·高一统考期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】,故选：A（2）（2023上·重庆·高一统考期末）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】.故选：B（3）（2023上·广东清远·高一统考期末）已知，则.【答案】/【分析】根据诱导公式进行求解即可.【详解】，故答案为：（4）（2023上·广东梅州·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】，故选：B（5）（2023上·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知角的终边经过点，则（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角函数的定义式可得各三角函数值，再利用诱导公式进行化简求值.【详解】由已知角的终边经过点，得，，又由诱导公式得，故选：A.巩固训练1．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.2．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）的值为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式，可得.故选：B.3．（2023上·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式将大角变小角然后计算即可.【详解】.故选：A.4．（2023上·安徽马鞍山·高一统考期末）已知，则.【答案】【分析】根据利用诱导公式计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：5．（2023上·山东泰安·高一泰山中学校考期末）若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角函数诱导公式，再结合同角的三角函数关系化为齐次式，求值可得答案.【详解】由题意得，故选：A题型十三诱导公式化简求值【例13】（1）（2023上·浙江宁波·高一统考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】.故选：B（2）（2023上·江苏徐州·高一统考期末）已知，且.求下列各式的值：(1)：(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)根据角的范围和同角三角函数的基本关系得出，进一步得到，将式子弦化切即可求解；(2)利用诱导公式将式子化简为，结合（1）即可求解.【详解】（1）因为且，所以，则，所以.（2）.（3）（2023上·广东汕尾·高一统考期末）已知，且为第三象限角.(1)求和的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用平方关系可得，再由同角三角函数之间的基本关系可得；（2）利用诱导公式将化简代入（1）中的值即可求得结果.【详解】（1）由可得，，所以又为第三象限角，所以；;所以，；（2）利用诱导公式可得，将代入可得，即.（4）（2023下·江苏镇江·高一统考开学考试）已知，.(1)求的值；(2)若角的终边与角关于轴对称，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平方关系式求出和，再根据商数关系式求出；（2）根据角的终边与角关于轴对称，推出，，，，再根据诱导公式化简所求式子，代入可求出结果.【详解】（1）因为，所以，由，得，得，得，得或，当时，由得，不符合题意；当时，由得，所以.（2）若角的终边与角关于轴对称，则，，即，，所以,,,,.（5）（2023上·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知关于的方程的两根为和，其中，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据韦达定理得，再利用，即可求出的值；（2）先根据题意求出，再利用诱导公式化简式子，即可得到答案.【详解】（1）由得，方程的两根为和，，于是，进而，即，由，对左右两边同时平方，得，解得．（2）原方程即，两根为，由得，于是，（6）（2023上·福建漳州·高一统考期末）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点，点的纵坐标为(1)求和的值；(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由三角函数的定义可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，即可求得和的值；（2）利用诱导公式可求得、，再利用诱导公式可求得所求代数式的值.【详解】（1）解：由三角函数的定义可得，又因为为第二象限角，则，所以，，.（2）解：由题知，则，，则．巩固训练1．（2023上·天津静海·高一静海一中校考期末）已知，则.【答案】【分析】利用诱导公式将已知条件进行化简成，代入式子即可求解.【详解】，所以，则，故答案为：.2．（2023上·山西太原·高一统考期末）已知，.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平方关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入计算可得.【详解】（1）解：因为，且，所以，又，所以.（2）解：.3．（2023上·江苏苏州·高一统考期末）已知．(1)若角的终边过点，求；(2)若，分别求和的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用诱导公式化简，根据三角函数的定义求得.（2）根据齐次式的知识求得正确答案.【详解】（1），若角的终边过点，则，所以.（2）若，所以；.4．（2023上·新疆乌鲁木齐·高一校考期末）在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为的非负半轴，终边分别与单位圆交于，两点，点的纵坐标为，点的纵坐标为.(1)求的值；(2)化简并求值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的定义求出和，即可求出的值.（2）先利用三角函数诱导公式进行化简，进而求解．【详解】（1）由题意，根据三角函数的定义，，，由，所以，，所以.（2）由（1）知，所以.5．（2023上·山东菏泽·高一统考期末）已知．(1)化简；(2)若为第四象限角且，求的值；(3)若，求．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）由诱导公式和同角三角函数的关系化简即可.（2）根据象限确定三角函数的符号，由同角三角函数的关系计算.（3）由函数解析式使用诱导公式化简计算.【详解】（1）．（2）因为为第四象限角且，所以，所以．（3）因为，，所以．6．（2023上·江苏常州·高一统考期末）已知角是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点．(1)求，，的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函数的定义求出，再根据同角三角关系求，；（2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果．【详解】（1）由题意可得：，且角是第二象限角，则，故.（2）由（1）可得：，则.题型十四正弦（型）函数的图象与性质【例14】（1）（2023下·重庆·高一校联考期末）函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解.【详解】令,所以，当，由于，故D正确，ABC均错误，故选：D（2）（2023上·湖北襄阳·高一统考期末）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正切型函数的对称性可得出的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.【详解】因为函数的图象的一个对称中心为，所以，，可得，，则，故函数的最小正周期为，当时，可知函数的一个最小正周期为.故选：C.（3）（2022上·江苏连云港·高一校考期末）（多选）关于函数有如下四个命题，其中正确的是（

）A．的图象关于y轴对称 B．的图象关于原点对称C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点(π，0)对称【答案】BCD【分析】求得的奇偶性判断选项AB；利用与是否相等判断选项C；利用与是否相等判断选项D.【详解】∵的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，∴为奇函数，其图象关于原点对称.故A错误，B正确；∵∴，∴的图象关于直线对称，故C正确；又，∴，∴的图象关于点(π，0)对称，故D正确．故选：BCD．（4）（2023上·广东深圳·高一统考期末）（多选）已知函数，下列说法正确的是（

）A．的定义域是 B．的图象关于原点对称C． D．当时，的最小值为【答案】BC【分析】由函数解析式，根据奇偶性的定义，可得A、B的正误；根据函数解析式可得函数值可得C的正误；根据余弦函数的性质，可得D的正误.【详解】对A，由函数，其定义域为，故A错误；对B，，故函数为奇函数，故B正确；对C，因为，故C正确；对D，当时，，则，故D错误.故选：BC.（5）（2022上·湖北十堰·高一统考期末）（多选）已知函数，则（）A．的最小正周期为 B．的图象关于点中心对称C．的图象关于直线对称 D．在上单调递增【答案】ACD【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】的最小正周期为，A正确，，B错误，，C正确，当时，，单调递增，D正确，故选：ACD（6）（2022上·江苏泰州·高一靖江高级中学校考阶段练习）（多选）已知函数的图象关于点对称，则（

）A．B．直线是曲线的一条对称轴C．D．在区间上单调递增【答案】BC【分析】根据求得，结合三角函数的对称性、周期性、单调性求得正确答案.【详解】依题意，由于，所以，A选项错误.则，，所以直线是曲线的一条对称轴，B选项正确.的最小正周期，所以，C选项正确.由得，所以不是的递增区间，D选项错误.故选：BC（7）（2023上·山东聊城·高一统考期末）已知函数的最小正周期为．(1)求的单调递增区间；(2)当时，求的值域．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据函数的周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】（1）解：∵的最小正周期为，∴，∴，∵，∴，∴，令，，得，，，，所以的单调递增区间为，．（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴的值域为．（8）（2023上·宁夏银川·高一银川二中校考期末）已知.(1)求函数的周期和对称中心；(2)求函数的单调递增区间；(3)若，求函数的值域.【答案】(1),(2)(3)【分析】（1）根据正弦函数的周期和对称中心，即可求得答案；（2）根据正弦函数的单调区间，采用整体代换方法，即可求得答案；（3）根据，确定，从而求得，进而求得答案.【详解】（1）由，则函数最小正周期为，令，即函数的对称中心为.（2）令，故函数的单调递增区间为.（3）当时，，则，故的值域为.巩固训练1．（2023上·安徽黄山·高一统考期末）已知是定义在上的偶函数，且最小正周期，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据正弦型三角函数最小正周期与偶函数得出与，即可代入求值.【详解】函数的周期，，解得，函数是定义在上的偶函数，，，，，，故选：A.2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知（为常数），若在上单调，且，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据在上单调，可得，再由求得的一条对称轴和一个对称中心，进而求得，再求的值.【详解】对于函数，，因为在上单调，所以，即.又，所以为的一条对称轴，且即为的一个对称中心，因为，所以和是同一周期内相邻的对称轴和对称中心，则，即，所以，所以，又为的一个对称中心，则，，则，，当时，.故选：A.3．（2023上·广东梅州·高一统考期末）已知函数，.(1)求的最小正周期及单调增区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；，(2)最大值为2，最小值为【分析】（1）利用周期的公式求解，利用整体代入求解单调递增区间；（2）利用的范围求出的范围，结合的范围可得区间最值.【详解】（1）的最小正周期为.令，得，于是的单调增区间为，.（2）因为，所以，因此，，.即在区间上的最大值为2，最小值为.4．（2022上·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）（多选）已知函数,下列结论中正确的是（

）A．函数的周期是B．函数的图象关于直线对称C．函数的最小值是D．函数的图象关于点对称【答案】AC【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误.【详解】解:由题知,,故选项A正确;令,解得:,令,令,故选项B错误;因为,所以,故选项C正确;因为对称中心纵坐标为1,故选项D错误.故选:AC5．（2023下·江苏南通·高一统考期末）（多选）关于函数，下列说法正确的是（

）A．最小正周期为 B．C．图象关于点对称 D．在上的最大值为1【答案】ACD【分析】根据给定条件，利用正弦函数的图象性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，的最小正周期，故选项A正确；对于B，，故选项B错误；对于C，令，则，所以的对称中心为，当时，函数的图象关于点对称，故选项C正确；对于D，因为，所以，当即时，函数取最大值1，故选项D正确；故选：ACD.6．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）（多选）下列关于函数说法正确的是（

）A．周期为 B．单调递增区间是C．图象关于直线对称 D．图象关于点对称【答案】ABD【分析】根据正弦函数的周期性，单调性及对称性逐一判断即可.【详解】对于A，函数的周期为，故A正确；对于B，令，得，所以单调递增区间是，故B正确；对于C，因为，所以直线不是函数图象的对称轴，故C错误；对于D，因为，所以函数图象关于点对称，故D正确.故选：ABD.7．（2023上·广东云浮·高一统考期末）已知函数(1)求的单调递减区间；(2)求在上的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦型函数的单调性，利用整体代换法求解即可；（2）先求出的范围，再根据正弦函数的性质求解即可.【详解】（1）由可得，所以，所以函数单调递减区间为：.（2）令，由可得，又因为函数在单调递增，在单调递减，所以在时有最大值1，又，所以，所以函数在上的值域为.8．（2023上·山东临沂·高一统考期末）已知函数（）的图象关于直线对称，且函数的最小正周期为.(1)求；(2)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)；(2)最大值为2，最小值为.【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称性进行求解即可；（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.【详解】（1）因为函数f（x）的最小正周期为π，所以.∵为f（x）的一条对称轴，∴，又，所以，故；（2）当时，，所以当，即时，.当，即时，.题型十五余弦（型）函数的图象与性质【例15】（1）（2023下·辽宁丹东·高一统考期末）已知函数，且，则（

）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．在区间上单调递减D．在区间上单调递增【答案】D【分析】利用诱导公式及余弦函数的性质求出，，不妨取，即可得到的解析式，再根据余弦函数的性质求出其单调区间，结合选项判断即可.【详解】因为且，所以，即，所以，即，所以，，则，，不妨取，所以，令，，解得，，所以的单调递减区间为，，令，，解得，，所以的单调递增区间为，，结合各选项可知只有D正确；故选：D（2）（2023上·天津河西·高一统考期末）函数在的值域是.【答案】【分析】根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以函数在的值域是.故答案为：.（3）（2023下·广东深圳·高一统考期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于对称C．的图象关于对称 D．在上单调递减【答案】AC【分析】通过分析函数的周期，对称性和单调区间即可得出结论.【详解】由题意，在中，，A正确；B项，∵函数关于对称，∴在中，，解得：，当时，，故B错误.C项，在函数中，函数关于对称，在中，，解得：当时，，C正确；D项，在函数中，函数在上单调递减，在中，当函数单调递减时，，解得：，∴在上单调递减，在在上单调递增，D错误.故选：AC.（4）（2023上·广东深圳·高一统考期末）（多选）已知函数，下列选项正确的有（

）A．的最小正周期为B．函数的单调递增区间为C．在区间上只有一个零点D．函数在区间的值域为【答案】AC【分析】根据余弦函数的周期公式求出周期可判断A正确；根据可判断B不正确；求出函数在区间上的零点可判断C正确；求出函数在区间的值域可判断D不正确.【详解】由可得的最小正周期为，故A正确；因为，，故B不正确；由，得，，得，，由，，得，，所以，此时，即在区间上只有一个零点，故C正确；由，得，得，即函数在区间的值域为，故D不正确.故选：AC（5）（2023上·广东深圳·高一统考期末）已知函数，.(1)求的单调递增区间；(2)求在区间上的最小值.【答案】(1)（）(2)【分析】（1）利用整体代入法与余弦函数的性质求解即可；（2）利用余弦函数的性质，结合整体法求解即可.【详解】（1）设，∵，的单调递增区间是，，∴由，，解得，，∴函数的单调递增区间为（）.（2）∵，∴，∴由余弦函数的性质，当，即时，的最小值为，此时，∴当时，在区间上的最小值为.（6）（2023上·山东聊城·高一校联考期末）已知函数，．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)求方程在区间上有解，求的范围，并求出取得最小值时的值．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）利用周期公式直接求周期，令可求单调递减区间；（2）利用余弦函数的性质求出在的值域，进而可得的范围，然后可求出取得最小值时的值.【详解】（1）由已知函数的最小正周期，令，得，即函数的单调递减区间为；（2）当时，，，即，又方程在区间上有解，，当取得最小值时，，得.即当时，取得最小值.巩固训练1．（2023上·甘肃天水·高一校联考期末）函数，的值域为．【答案】【分析】根据题意，换元令，然后结合二次函数的值域，即可求得结果.【详解】令，则，当时，则函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为，故函数的值域为.故答案为：2．（2023上·山东·高一山东省实验中学校考期末）函数的最大值和最小值分别是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，函数可化简为,令,本题转化为函数,的最值求解即可.【详解】根据题意,令,则,因为函数的对称轴为,所以根据二次函数的图像和性质得:当时,;当时,.故选:B.3．（2023·山东临沂·高一校考期末）（多选）设函数，则关于函数说法正确的是（

）A．函数是偶函数，且函数的对称轴是y轴B．函数的最大值为2C．函数在单调递减D．函数图象关于点对称【答案】BD【分析】利用三角函数的性质对每个选项逐个判断即可【详解】对于A，∴，∵，为偶函数，由，得函数的对称轴为，，所以y轴（即）为其中一条对称轴，故A不正确；对于B，的最大值是，故选项B正确．对于C，求的递减区间，相当于的递增区间，令，解得，所以的递减区间为，无论k取何整数，不包含区间，所以C不正确；由，，解得，，所以函数的对称中心为，可得当时，其图象关于点对称，故D正确；故选：BD．4．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）（多选）关于函数，下列说法正确的是（

）A．函数定义域为 B．函数是偶函数C．函数是周期函数 D．函数在区间上单调递减【答案】BCD【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于，所以的定义域不是，A选项错误.由得，所以，所以的定义域是，的定义域关于原点对称，，所以是偶函数，B选项正确.，所以是周期函数，C选项正确.当时，恒成立，在上单调递增，所以在区间上单调递减，D选项正确.故选：BCD5．（2022上·黑龙江哈尔滨·高一尚志市尚志中学校考阶段练习）已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求此时x的值．【答案】(1)增区间，；减区间，(2)最大值为，；最小值为，【分析】（1）将整体代入的单调区间，求出的范围即可；（2）通过x的范围，求出的范围，然后利用的最值的取值求解即可.【详解】（1），令，，得，，令，，得，，故函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，；（2）当时，，所以当，即时，取得最大值，当，即时，取得最小值．6．（2023上·江苏无锡·高一统考期末）已知函数．(1)求函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值；(2)求函数在区间上的单调递增区间．【答案】(1)答案见解析(2)和【分析】（1）直接利用余弦函数的性质求最值及取最值时的集合；（2）先通过求出的范围，再根据余弦函数的性质求解单调增区间.【详解】（1）对于函数，当，即时，函数取得最大值；当，即时，函数取得最小值．（2），，由和可得函数的单调增区间为和.题型十六正切（型）函数的图象与性质【例16】（1）1．（2023上·浙江宁波·高一统考期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D（2）（2023上·云南昆明·高一统考期末）已知，且，则x的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】将转化为或，利用数形结合法求解.【详解】解：等价于或，如图所示：由正切函数图象知，故选：B．（3）（2022上·陕西榆林·高一校考期末）（多选）已知函数，则下列命题中正确的有（

）A．的最小正周期为B．的定义域为C．图象的对称中心为，D．的单调递增区间为，【答案】ACD【分析】根据正切函数的图象及性质解决即可.【详解】由题知，函数，所以的最小正周期为，故A正确；的定义域满足，即所以的定义域为，故B错误；图象的对称中心应满足，即，所以图象的对称中心为，，故C正确；的单调递增区间应满足，即，,所以的单调递增区间为，，故D正确；故选：ACD（4）（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）（多选）关于函数，下列选项正确的是（

）A．的定义域为 B．是奇函数C．的最小正周期是 D．【答案】AC【分析】根据正切函数的性质判断A，画出函数图象，结合图象判断B、C，根据奇偶性与单调性判断D.【详解】解：函数的定义域与的定义域相同，即为，故A正确；由及的定义域知是偶函数，故B错误；作出的图象如图所示，由图可知函数的最小正周期为，故C正确；由于，，且根据图象知在上单调递增，所以，即，故D错误.故选：AC．（5）（2023下·江苏镇江·高一统考开学考试）（多选）已知函数，下列结论正确的是（

）A．函数恒满足B．直线为函数图象的一条对称轴C．点是函数图象的一个对称中心D．函数在上为增函数【答案】AC【分析】根据诱导公式可判断A选项；利用正切型函数的对称性可判断BC选项；利用正切型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，，A正确；对于B选项，函数无对称轴，B错；对于C选项，由可得，当时，可得，所以，点是函数图象的一个对称中心，C对；对于D选项，当时，，所以，函数在上不单调，D错.故选：AC.（6）（2023上·江苏苏州·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列结论中正确的有（

）A． B．的定义域为C．在区间上单调递增 D．若，则的最小值为【答案】BC【分析】根据正切函数的性质周期,定义域,函数值和单调性等选项逐个判断即可.【详解】已知函数,函数的定义域为,即函数的定义域为,故选项正确;则,故选项错误;当,则在区间上单调递增,故选项正确;因为的周期,所以若，则的最小值为,故选项错误;故选:.（7）（2023下·江西抚州·高一统考期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于原点对称C．有最小值 D．在上为增函数【答案】BD【分析】根据三角恒等变换的公式，化简得到，结合正切函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数，对于A中，由，所以的最小正周期为，所以A错误；对于B中，由的定义域关于原点对称，且，所以的图象关于原点对称，所以B正确；对于C中，由函数的值域为，可得，所以C错误；对于D中，由，可得，可得函数单调递增，所以在上也单调递增，所以D正确.故选：BD.巩固训练1．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）函数，的值域为.【答案】【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果.【详解】令，，因为函数在上单调递增，当时，，即，又因为函数在上单调递增，当时，，所以，函数，的值域为.故答案为：.2．（2023上·福建漳州·高一统考期末）函数的单调区间是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据正切函数的性质可得，解得答案.【详解】由，解得，所以函数的单调区间是.故选：A.3．（2023上·吉林·高一吉林市田家炳高级中学校考期末）（多选）已知函数，则（

）A．B．的最小正周期为C．把向左平移可以得到函数D．在上单调递增【答案】ABD【分析】根据正切函数的函数值，周期，平移对应的解析式变化，和函数的单调性即可求解.【详解】,所以，故选项A正确；的最小正周期为，故选项B正确；把向左平移可以得到函数，故选项C错误；，，单调递增，所以在上单调递增，故D选项正确；故选：ABD.4．（2023上·山东烟台·高一统考期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的定义域为C．若，则（） D．在其定义域上是增函数【答案】ABC【分析】根据正切函数的性质依次求出函数的最小正周期、定义域、单调区间即可求解.【详解】A：，函数的最小正周期为，故A正确；B：由，得，所以函数的定义域为，故B正确；C：，得，解得，故C正确；D：，解得所以函数在上单调递增，故D错误.故选：ABC.5．（2023上·广东江门·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．的定义域是 B．的值域是RC．是奇函数 D．的最小正周期是π【答案】AB【分析】由正切函数定义域，值域，奇偶性，最小正周期判断各选项即可.【详解】A选项，令，得，故A正确；B选项，因函数值域为R，则值域为R，故B正确；C选项，，则不是奇函数，故C错误；D选项，的最小正周期为，故D错误.故选：AB6．（2023上·贵州安顺·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的值域是R B．在定义域内是增函数C．的最小正周期是 D．的解集是【答案】AC【分析】根据正切函数的性质，即可判断A项；求出函数的单调递增区间，即可判断B项；由周期公式，求出周期，即可判断C项；由时，由的解，即可得出，求解不等式即可得出解集，判断D项.【详解】对于A项，根据正切函数的性质，可知的值域是R，故A项正确；对于B项，由可得，，所以的定义域为.由可得，，所以在每一个区间上单调递增，故B项错误；对于C项，由已知可得，的最小正周期是，故C项正确；对于D项，当时，由，可得.则由可得，，所以的解集是，故D项错误.故选：AC.7．（2023上·安徽安庆·高一统考期末）（多选）已知函数，则下列叙述中，正确的是（

）．A．函数的图象关于点对称 B．函数在上单调递增C．函数的最小正周期为 D．函数是偶函数【答案】AB【分析】由正切函数性质判断AB，利用特殊值及周期性、奇偶性的定义判断CD．【详解】，A正确；时，，因此此时递增，B正确；，但不存在，C，D均不正确，故选：AB．题型十七三角函数值的大小比较【例17】（1）（2023上·浙江·高一期末），则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据正弦函数的单调性可得的大小，根据对数的性质可得的大小.【详解】因为，且在区间上为增函数，所以，即；又，故．故选：C.（2）（2023·北京朝阳·二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用中间值可以比较三者的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.（3）（2023上·湖南娄底·高一校考期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为，所以，又，所以．故选：D（4）（2023上·云南楚雄·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据利用对数函数的性质和正弦函数的性质求解.【详解】解：因为，，，所以．故选：C（5）（2021上·江西宜春·高一统考期末）设，，，则下列结论成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】比较、的大小关系，并比较、、三个数与的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.【详解】且，即，又，因此，.故选：B.（6）（2023上·山东济宁·高一曲阜一中校考期末）下列选项中大小关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的单调性即可求解【详解】因为，且在内单调递减，在内单调递减，在内单调递增，所以，，，所以故选：B（7）（2023下·江苏盐城·高一统考期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦函数在上单调递减得到，再利用正切函数在上单