2024年豫东名校高三数学第一学期期末联考试题含解析

2024年豫东名校高三数学第一学期期末联考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．i是虚数单位，若，则乘积的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．152．在等差数列中，若，则（）A．8 B．12 C．14 D．103．已知函数，则（）A．1 B．2 C．3 D．44．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差.以上说法正确的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④5．已知的展开式中的常数项为8，则实数（）A．2 B．-2 C．-3 D．36．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知函数．下列命题：①函数的图象关于原点对称；②函数是周期函数；③当时，函数取最大值；④函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④8．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．329．函数的部分图象如图所示，已知，函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到，则函数的解析式为（）A． B．C． D．10．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足，则的取值范围是（）A． B．C． D．11．若、满足约束条件，则的最大值为（）A． B． C． D．12．已知集合，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知变量x，y满足约束条件x-y≤0x+2y≤34x-y≥-6，则14．已知以x±2y=0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.15．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖.在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是_______.甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×○○√丙的猜测×√×√丁的猜测○○√×16．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中，曲线：.（1）求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程；（2）若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，求这三个点的极坐标.18．（12分）已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线的普通方程，并求出直线的倾斜角；（2）记直线与轴的交点为是曲线上的动点，求点的最大距离.20．（12分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函数f(x)的最大值m；（2）正数a，b，c满足a+2b+3c=m，求证：22．（10分）已知函数，(其中，).（1）求函数的最小值.（2）若，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】，∴，选B．2、C【解析】

将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，，得解得，，所以．故选C．【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.3、C【解析】

结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.【详解】由题意可得，则.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.4、A【解析】

由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.【详解】由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为,乙同学成绩的中位数为,故①错误；,,则,故②错误,③正确；显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,故选:A【点睛】本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.5、A【解析】

先求的展开式，再分类分析中用哪一项与相乘，将所有结果为常数的相加，即为展开式的常数项，从而求出的值.【详解】展开式的通项为，当取2时，常数项为，当取时，常数项为由题知，则.故选：A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题，其中对所取的项要进行分类讨论，属于基础题.6、C【解析】

由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解.【详解】解：因为，所以，又，所以，又，解得.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.7、A【解析】

根据奇偶性的定义可判断出①正确；由周期函数特点知②错误；函数定义域为，最值点即为极值点，由知③错误；令，在和两种情况下知均无零点，知④正确.【详解】由题意得：定义域为，，为奇函数，图象关于原点对称，①正确；为周期函数，不是周期函数，不是周期函数，②错误；，，不是最值，③错误；令，当时，，，，此时与无交点；当时，，，，此时与无交点；综上所述：与无交点，④正确.故选：.【点睛】本题考查函数与导数知识的综合应用，涉及到函数奇偶性和周期性的判断、函数最值的判断、两函数交点个数问题的求解；本题综合性较强，对于学生的分析和推理能力有较高要求.8、B【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。【详解】由题意，几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，所以几何体的体积为，故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解。9、A【解析】

由图根据三角函数图像的对称性可得，利用周期公式可得，再根据图像过，即可求出，再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知，即，所以，解得，又，所以，由，所以或，又，所以，，所以，，即，因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到，所以.故选：A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属于基础题.10、D【解析】

设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程，写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果.【详解】设，则∵，∴∴∴为点的轨迹方程∴点的参数方程为（为参数）则由向量的坐标表达式有：又∵∴故选：D【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法11、C【解析】

作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出直线在轴上的截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】作出满足约束条件的可行域如图阴影部分（包括边界）所示．由，得，平移直线，当直线经过点时，该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.故选：C.【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值，一般利用平移直线的方法找到最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.12、A【解析】

考虑既属于又属于的集合，即得.【详解】.故选：【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、-5【解析】

画出x，y满足的可行域，当目标函数z=x-2y经过点A时，z最小，求解即可。【详解】画出x，y满足的可行域，由x+2y=34x-y=-6解得A-1,2，当目标函数z=x-2y经过点A【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想。需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。14、【解析】

设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.【详解】双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.故双曲线方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.15、乙、丁【解析】

本题首先可根据题意中的“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所猜测的结果是否冲突，最后即可得出结果.【详解】从表中可知，若甲猜测正确，则乙，丙，丁猜测错误，与题意不符，故甲猜测错误；若乙猜测正确，则依题意丙猜测无法确定正误，丁猜测错误；若丙猜测正确，则丁猜测错误；综上只有乙，丙猜测不矛盾，依题意乙，丙猜测是正确的，从而得出乙，丁获奖.所以本题答案为乙、丁.【点睛】本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四个人中有且只有两个人的猜测是正确的”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.16、【解析】

从四道题中随机抽取两道共6种情况，抽到的两道全都会的情况有3种，即可得到概率.【详解】由题：从从4道题中随机抽取2道作答，共有种，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的情况共有种，所以其概率为.故答案为：【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于根据题意准确求出基本事件的总数和某一事件包含的基本事件个数.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），;（2），，.【解析】

(1)把曲线的参数方程与曲线的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求出三个点的极径与极角.【详解】解：（1）由消去参数得，即曲线的普通方程为，又由得即为，即曲线的平面直角坐标方程为（2）∵圆心到曲线：的距离，如图所示，所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点，即为所求．∵，则，直线的倾斜角为，即点的极角为，所以点的极角为，点的极角为，所以三个点的极坐标为，，.【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.18、（1）；（2）【解析】

（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得，，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），消去；得曲线的极坐标方程为.由，，，可得，即曲线的直角坐标方程为；（2）将直线的参数方程（为参数）代入的方程，可得，，设，是点对应的参数值，，，则.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.19、（1），，直线的倾斜角为（2）【解析】

（1）由公式消去参数得普通方程，由公式可得直角坐标方程后可得倾斜角；（2）求出直线与轴交点，用参数表示点坐标，求出，利用三角函数的性质可得最大值．【详解】（1）由，消去得的普通方程是：由，得，将代入上式，化简得直线的倾斜角为（2）在曲线上任取一点，直线与轴的交点的坐标为则当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题．求两点间距离的最值时，用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题．20、（1）见解析；（2）【解析】

(1)取的中点，结合三角形中位线和长度关系，为平行四边形，进而得到，根据线面平行判定定理可证得结论；(2)以，，为，，轴建立空间直角坐标系,分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确