广东省博罗县重点中学2023-2024学年高二上学期期末模拟考质量检测数学试卷（含答案）

博罗县重点中学2023—2024学年度第一学期期末模拟考质量检测高二数学试题（2023.12）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．先后两次抛掷同一个骰子，将得到的点数分别记为，，则，，3能够构成等腰三角形的概率是（）A． B． C． D．2．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（）A．1 B． C．2 D．3．棱长为1的正四面体中，则等于（）A．0 B． C． D．4．已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．5．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）A． B． C． D．6．直线与圆交于，两点，则当弦最短时直线的方程为（）A． B．C． D．7．已知直线的方程是，的方程是（，），则下列图形中，正确的是（）A． B．C． D．8．在数列中，若（，，为常数），则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；②不是等方差数列；③若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列；④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为（）A．①③④ B．②③④ C．①③ D．①④二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知数列的前项和为，，则下列说法不正确的是（）A．为等差数列 B．C．最小值为 D．为单调递增数列10．已知空间中，，则下列结论正确的有（）A． B．与共线的单位向量是C． D．平面的一个法向量是11．已知曲线，则下列判断正确的是（）A．若，则是圆，其半径为B．若，则是双曲线，其渐近线方程为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是两条直线12．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则（）A．椭圆的长轴长为 B．的周长为C．线段长度的取值范围是 D．面积的最大值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线的焦点坐标为__________．14．已知双曲线经过点，则离心率为__________．15．已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程__________．（写出一个正确答案即可）16．空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列满足，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点．（1）求证：；（2）求与所成角的余弦值．19．（12分）已知，，为平面内的一个动点，且满足．（1）求点的轨迹方程；（2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度．20．（12分）某单位的联欢活动中有一种摸球游戏，已知甲口袋中大小相同的3个球，其中2个红球，1个黑球；乙口袋中有大小相同的2个球，其中1个红球，1个白球．每次从一只口袋中摸一个球，确定颜色后再放回．摸球的规则是：先从甲口袋中摸一个球，如果摸到的不是红球，继续从甲口袋中摸一个球，只有当从甲口袋中摸到红球时，才可继续从乙口袋里摸球．从每个口袋里摸球时，如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球，则该游戏者的游戏停止．游戏规定，如果游戏者摸到2个红球，那么游戏者就中奖．现假设各次摸球均互不影响．（1）一个游戏者只摸2次就中奖的概率；（2）在游戏中，如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会，求他摸球4次的概率．21．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，经，平面，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值．22．（12分）已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，双曲线的两条渐近线的夹角为．（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线交于，两点，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由．高二数学试题答案（2023.12）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．题号12345678答案DCABCDAA1．【解析】由乘法原理可知，基本事件的总数是36，结合已知条件可知，当时，符合要求，有1种情况；当时，，3符合要求，有2种情况；当时，，2，3，4，5符合要求，有5种情况；当时，，4符合要求，有2种情况；当时，，5符合要求，有2种情况；当时，符合要求，有1种情况；所以能构成等腰三角形的共有13种情况，故，，3能够构成等腰三角形的概率．2．【解析】设等差数列的公差为．由已知条件，得，即，解得．3．【解析】由题意以，，作为基底，，则．4．【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然，，则，故椭圆方程为．5．【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是．6．【解析】由，，则令，解得，故直线过定点，由，则圆心，半径，当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，故直线为，则．7．【解析】逐一判定即可．对于A，由的图象知，，由的图象知，，故A正确；对于B，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故B错误；对于C，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故C错误；对于D，由的图象知，，由的图象知，，矛盾，故D错误．8．【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公差为的等差数列：故①正确；②数列中，，所以是等方差数列：故②不正确；③数列中的项列举出来是，，……，，……，，…数列中的项列举：，，……，，，即数列是等方差数列，故③正确；④数列是等差数列，，数列是等方差数列，，，当时，为常数列；当，数列为常数列，则该数列必为常数列，故④正确．正确命题的是①③④，故A正确．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．题号9101112全部正确选项BCACDBCBC9．【解析】对于A，当时，，时满足上式，所以，，所以，所以为等差数列，故A正确；对于B，由上述过程可知，，，，，故B错误；对于C，因为，对称轴为，又因为，所以当或3时，最小值为，故C错误：对于D，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D正确．10．【解析】对于A，，故，A正确；对于B，不是单位向量，且与不共线，B错误；对于C，，，C正确；对于D，设，则，，所以，，又，所以平面的一个法向量是，D正确．11．【解析】对于A，若时，转化为，半径为，故A错误；对于B，若，当，，是焦点在轴上的双曲线，当，，是焦点在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是的渐近线，B正确；对于C，若，转化为，由于可知，是焦点在轴上的椭圆，故C正确；对于D，若，转化为，是双曲线不是两条直线，故D错误．12．【解析】对于A，由题知，椭圆中，得，则，故A错误；对于B，由定义知，，的周长，B正确；对于C，，由性质知，所以，C正确；对于D，设所在直线方程为，联立可得，联立可得，则，显然，当增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14． 16．15．、、、．（写出一个即可）【注】若答案形式为：，则系数必须满足：．若答案形式为：，则系数必须满足：．13．【解析】对比标准方程可得焦点坐标为．14．【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，，，，所以它的离心率为．15．【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求，设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为1，，所以．16．【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为，平面的法向量可取为，平面的法向量可取为，直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则，令，则，故设直线与平面所成的角为，，则，故答案为：．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分．）【解析】（1）【注：有累加思想可得1分】【注：求和公式正确可得1分】．（2），则，所以是以0为首项，为公差的等差数列【注：必须写出首项和公差才可得1分】故，．18．（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分．）【解析】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，，所以，，因为，所以，即．（2）由（1）知，，则，所以．所以与所成角的余弦值是．19．（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分．）【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由得，整理得点的轨迹方程为．（2）由（1）可知，曲线，则圆心坐标为，半径为，则圆心到直线的距离，所以弦的长度．直线被曲线截得的线段长度为．20．【解析】（1）从甲口袋中摸出一个球，摸出红球的概率为，从乙口袋中摸出一个球，摸出红球的概率为，一个游戏者只摸2次就中奖，需要第一次从甲口袋中摸出的是红球，且第二次从乙袋中摸出的也是红球，故概率为．（2）设摸次数为，可取2，3，4．用表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，表示“从甲口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，则，．用表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，表示“从乙口袋中摸一个球，摸到的球是红球”，则，，，．故他摸球4次的概率为．21．（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分．）【解析】（1）证明：连接交于，则是的中点，连接，是的中点，，平面，平面，平面；又，平面，平面，平面，又，面，面，所以平面平面．（2）连接，因为四边形是菱形，所以，所以为等边三角形，所以，又，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，所以平面，如图，以为坐标原点，分别以、、为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法