河南省洛阳市孟津区重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

高三上期数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知集合，，则()A. B. C.R D.2、设z是复数且，则的最小值为()A.1 B. C. D.3、设a，b，c均为正数，且，则()A. B.C. D.4、函数的图象在点处的切线方程为()A. B. C. D.5、设，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且，则的面积为()A. B.3 C. D.26、如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一条直线上的三点C，D，E.从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，（单位：百米），则A，B两点间的距离为()A. B. C.3 D.7、近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大方便某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：甲城市收益P(单位：万元与投入a(单位：万元满足，乙城市收益Q(单位：万元与投入A(单位：万元满足，则投资这两座城市收益的最大值为()A.26万元 B.44万元 C.48万元 D.72万元8、已知幂函数在上单调递增，函数，任意，存在，使得成立，则实数a的取值范围是().A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9、已知向量，，则下列命题正确的是()A.若，则B.若，则C.设，则当取得最大值时，D.的最大值为10、在公比为q等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是()A. B.数列是等比数列C. D.11、已知函数，则下列结论正确的是()A.的最小正周期为B.的图象关于点成中心对称C.的图象关于直线对称D.的单调递增区间是12、2020年上半年，中国养猪企业受猪价高位的利好影响，大多收获史上最佳半年报业绩，部分企业半年报营业收入同比增长超过1倍.某养猪场抓住机遇，加大了生猪养殖规模，为了检测生猪的养殖情况，该养猪场对2000头生猪的体重（单位：kg）进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是()A.这2000头生猪体重的众数为160kgB.这2000头生猪中体重不低于200kg的有80头C.这2000头生猪体重的中位数落在区间内D.这2000头生猪体重的平均数为152.8kg三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、已知，则的值是___________.14、若复数在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是_______.15、已知圆锥的轴截面PAB是边长为a的正三角形，AB为圆锥的底面直径，球O与圆锥的底面以及每条母线都相切，记圆锥的体积为，球O的体积为，则___________；若M，N是圆锥底面圆上的两点，且，则平面PMN截球O所得截面的面积为_________________.16、某大学选拔新生进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生是否通过考核选拔进入这三个社团相互独立．某新生参加社团时，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，则__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（10分）记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.（1）求角A的大小；（2）若点D在边BC上，AD平分，，且，求a.18、（12分）已知数列，，满足，，，，.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）设数列的前n项和为，证明：.19、（12分）如图，已知三棱柱，平面平面ABC，，，，E，F分别是AC，的中点.(1)证明:;(2)求直线EF与平面所成角的余弦值.20、（12分）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，点M，A，B均在C上，点M位于第一象限，且三点共线，三点共线，C的离心率为的周长为.(1)求C的标准方程；(2)若的内切圆面积分别为，试求的最大值.21、（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图，规定成绩为80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）.

（1）求图中a的值；

（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关：晋级成功晋级失败总计男16女50总计附：0.400.250.150.100.050.025k0.7801.3232.0722.7063.8415.024（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望.22、（12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.参考答案1、答案：A解析：因为，或，所以或，故选A.2、答案：C解析：表示在复平面内，表示复数z的点Z在以为圆心，以1为半径的圆上，表示点Z到点的距离，数形结合得，的最小值为.故选C.3、答案：A解析：因为a，b，c均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得，，，所以.故选A.4、答案：A解析：，因为，所以，所以切线方程为，即，故选A.5、答案：B解析：通解：设，分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知，，又，所以，所以是直角三角形，所以.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有，两边平方，得，又，所以，则，故选B.秒解：设分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知，，又，所以，所以是直角三角形，所以（其中），故选B.6、答案：C解析：在中，，，则，.在中，，，则，由正弦定理，得.则在中，，，，由余弦定理得，则.故选C.7、答案：B解析：由题意可知：，设投资这两座城市收益为y，则有，令，则有，该二次函数的对称轴为，且开口向下，所以，故选：B8、答案：A解析：因为幂函数在上单调递增，所以解得，即，当时，的值域为，又因为函数在R上为增函数，所以当时，的值域为，因为任意，存在，使得成立，即，所以，解得.故选A.9、答案：ACD解析：A项，若，则，即，故A项正确；B项，若，则，所以，故B项错误；C项，，其中，，故当时，取得最大值，此时，故C项正确；D项，，所以，即的最大值为，故D项正确.10、答案：ACD解析：因为，，所以有，因此选项A正确；因为，所以，因为常数，所以数列不是等比数列，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；，因为当时，，所以选项D正确.故选：ACD11、答案：BCD解析：，A.的最小正周期为，错误；B.，所以图象关于点成中心对称，正确；C.，所以图象关于直线对称，正确；D.的单调递增区间是，，即，，正确.故选：BCD.12、答案：BCD解析：由频率分布直方图可知，这一组的数据对应的小长方形最高，所以这2000头生猪的体重的众数为150kg，A错误；这2000头生猪中体重不低于200kg的有(头)，B正确；因为生猪的体重在内的频率为在内的频率为，且，所以这2000头生猪体重的中位数落在区间内，C正确；这2000头生猪体重的平均数为，D正确.故选BCD.13、答案：解析：.所以.所以.14、答案：解析：复数在复平面上对应的点位于第二象限.可得解得.故答案为：.15、答案：；解析：如图，设D为AB的中点，连接PD，由题意知PD为圆锥的高，且，易知球O的半径，所以，，所以；设MN的中点为C，连接PC，DM，则，易知，，所以，所以.过O点作，垂足为E，易知，则，又，则.设平面PMN截球O所得截面圆的半径为r，则，所以截面的面积为.16、答案：解析：设该新生“进入篮球社团”为事件A，“进入电子竞技社团”为事件B，“进入国学社团”为事件C，则：“三个社团他都能进入”的概率为，“至少进入一个社团”的概率为，整理得到，故，故答案为：.17、答案：（1）（2）3解析：（1）因为，即化简可得，由余弦定理可得，所以，且，则（2）由（1）知，由余弦定理可得，将代入，化简可得，又因为AD平分，由角平分线定理可得，即，且，所以，又因为，则，结合余弦定理可得，解得，所以，则.18、（1）答案：证明过程见解析，解析：，，，，即，，，，数列是公比为2的等比数列.又，，，，，，，即.（2）答案：证明过程见解析解析：由(1)，当n为偶数时，，故.当n为奇数时，.当n为偶数时，.综上，.19、答案：（1）证明见解析（2）解析：(1)方法一：连接，因为，E是的中点，所以.

又平面平面ABC，平面，平面平面，

所以平面，则.

又因为，，

故.

所以平面.

因此.

方法二：连接，因为，E是AC的中点，所以.

又平面平面ABC，平面，平面平面，所以平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线EC，为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

不妨设，则，，，，.

因此，.

由得.

(2)方法一：取BC中点G，连接EG，GF，则是平行四边形.

由于平，故，所以平行四边形为矩形.

由(1)得平面，则平面平面，所以EF在平面上的射影在直线上.

连接交于O，则是直线EF与平面所成的角(或其补角).

不妨设，则在中，，.

由于O为的中点，故，

所以.

因此直线EF与平面所成角的余弦值是.

方法二：设直线与平面所成角为.

由(1)可得，.

设平面的法向量为.

由得取，

故.

因此直线与平面所成的角的余弦值为.20、答案：(1).(2)的最大值为.解析：(1)由椭圆定义得，所以的周长为，解得，又C的离心率为，解得，所以，所以C的标准方程为.(2)易知，设，由条件知，直线的方程为，将其代入椭圆方程并整理可得，则，得，故.当时，直线的方程为，将其代入椭圆方程并整理可得，同理，可得，设的内切圆半径分别为，因为，所以，当且仅当时，等号成立.若轴时，易知，此时，综上，的最大值为.所以，即的最大值为.21、答案：（1）由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为1，

可知，

解得.

（2）由频率分布直方图，知晋级成功的频率为，

所以晋级成功的人数为，

填表如下：晋级成功晋级失败总计男163450女94150总计2575100所以，所以有85%的把握认为能否晋级成功与性别有关.

（3）由（2）知晋级失败的频率为，

将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，此人晋级失败的概率为，

所以X可视为服从参数为4，的二项分布，即，

故，

，

，

，

.

所以X的分布列为X012