福建省漳州市重点中学2023-2024学年高三上学期12月月考数学试题（含答案）

-2024学年高三年第四次月考数学科试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，1，，则A．，0， B．， C． D．，1，2．已知复数，则A． B． C． D．3．已知非零向量、满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，5．已知，为椭圆的焦点，为上顶点，则△的面积为A．6 B．15 C． D．6．已知等比数列的公比为，则“”是“，，成等差数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知，，，则A． B． C． D．8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．某校有5名同学参加知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分别为80，84，86，90，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是A．甲同学的竞赛成绩为95 B．这5名同学竞赛成绩的方差为26.4 C．这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84 D．从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.610．关于函数，则下列结论正确的是A．的定义域为 B．是奇函数 C．的最小正周期是 D．11．如图，三棱锥中，，面，则下列结论正确的是A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．点到平面的距离为 D．12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列结论正确的是A．函数的图像关于直线对称 B． C． D．若函数在，上单调递减，则在区间，上有1012个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）14．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为．15．设函数，的图象在点，（1）处的切线为，则在轴上的截距为．16．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为；三棱锥体积的最大值是．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求．18．（本小题满分12分）如图，已知圆锥，是底面圆的直径，，是圆上异于，的一点，，，取的中点，连接，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）某兴趣小组同学在某日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．（1）估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；（2）根据已知条件完成下面的列联表，据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．非“运动达人”“运动达人”合计男性1545女性合计附：，，临界值表：0.050.013.8416.63520．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，，．（1）求通项公式；（2）求数列的前项和．21．（本小题满分12分）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；（2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，求在一轮比赛中，这两名学生得分的分布列和均值．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）求函数的单调区间和极值；（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明：当时，；（3）如果，且，证明：．2023-2024学年高三年第四次月考数学科答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，，1，，则A．，0， B．， C． D．，1，【答案】B【解析】由题意得，，又因为，1，，所以，．故选B．2．已知复数，则A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以．故选D．3．已知非零向量、满足，且，则与的夹角为A． B． C． D．【答案】A【解析】因为非零向量，满足，且，所以，所以，又因为，所以，因此与的夹角为．故选．4．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】设，对称轴为，抛物线开口向上，是上的增函数，要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，即，故实数的取值范围是，．故选C．5．已知，为椭圆的焦点，为上顶点，则△的面积为A．6 B．15 C． D．【答案】【解析】，，，，所以△的面积为．故选．6．已知等比数列的公比为，则“”是“，，成等差数列”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为为等比数列，则，若，则，，为常数数列，且为等差数列，所以充分性满足；若，，成等差数列，由等差中项的性质可得，，化简可得，，且，则，解得或，所以必要性不满足；所以““是“，，成等差数列”的充分不必要条件．故选．7．已知，，，则A． B． C． D．【答案】C【解析】已知，则，则，又，则，即，又，，则．故选C．8．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，，在上单调递增，（1），所以．所以的取值范围是，．故选．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．某校有5名同学参加知识竞赛，甲同学得知其他4名同学的成绩（单位：分）分别为80，84，86，90，若这5名同学的平均成绩为87，则下列结论正确的是A．甲同学的竞赛成绩为95 B．这5名同学竞赛成绩的方差为26.4 C．这5名同学竞赛成绩的第40百分位数是84 D．从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为0.6【答案】【解析】对于，设甲的成绩为，则有，解可得，正确；对于，甲的成绩为95，则这5名同学竞赛成绩的方差，正确；对于，五人的成绩从小到大排列，依次为：80、84、86、90、95，而，则其第40百分位数是，错误；对于，五人的成绩中，高于平均分的有2人，则从这5名同学中任取一人，其竞赛成绩高于平均成绩的概率为，错误．故选．10．关于函数，则下列结论正确的是A．的定义域为 B．是奇函数 C．的最小正周期是 D．【答案】【解析】函数的定义域与的定义域相同，即为，故正确；由及的定义域知是偶函数，故错误；如图所示，由图可知函数的最小正周期为，故正确；由于，，且根据图象知在上单调递增，所以，即，故错误．故选．11．如图，三棱锥中，，面，则下列结论正确的是A．直线与平面所成的角为 B．二面角的正切值为 C．点到平面的距离为 D．【答案】【解析】选项，因为面，故为直线与平面所成的角，又，所以，故直线与平面所成的角是，故正确；选项，取中点为，连接，，因为，平面，所以，，因为，所以平面，故为二面角的平面角，则，故二面角的正切值为，故正确；选项，因为，所以，设到面的距离为，则由，可得：，解得，故正确；选项，若，又，且，则面，则有，与矛盾，故错误．故选．12．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列结论正确的是A．函数的图像关于直线对称 B． C． D．若函数在，上单调递减，则在区间，上有1012个零点【答案】【解析】因为是偶函数，所以，的图像关于直线对称，故正确；因为为偶函数，所以有，函数关于直线对称，由，因此函数关于点对称，由，，函数的周期为4，在中，令，得（3）（1），，令，得（1），（3）（1），故错误；由，令，得（2），故正确；因为函数关于点对称，且在，上单调递减，所以函数在，也单调递减，而函数关于直线对称，所以函数在，上单调递增，且（3），所以当，时，函数有两个零点，当，时，由函数的周期为4，可知函数的零点的个数为，故正确，故选．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字填写答案）【答案】16【解析】方法一：直接法，1女2男，有，2女1男，有，共有种.方法二，间接法：种.故答案为1614．若双曲线经过点，则此双曲线的离心率为．【答案】【解析】由已知，，，点，代入双曲线的方程为：，解得．所以离心率．故答案为．15．设函数，的图象在点，（1）处的切线为，则在轴上的截距为．【答案】1【解析】函数，可得，切线的斜率为：（1），切点坐标，切线方程为：，在轴上的截距为：．故答案为1．16．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点，距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体中，点是正方体的表面（包括边界）上的动点，若动点满足，则点所形成的阿氏圆的半径为；三棱锥体积的最大值是．【答案】；【解析】以为坐标原点，为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，设，因为，所以，整理得，点所形成的阿氏圆的半径为；则当到距离最大时，三棱锥的体积最大，结合图形可知当在上，即为三棱锥最大的高，，则三棱锥体积的最大值是．故答案为；．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知内角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，的面积为，求．【解析】（1）因为，由正弦定理可得，即，又为三角形内角，，所以，即，又，所以．（2）因为，，的面积为，所以，可得，由余弦定理可得．18．（本小题满分12分）如图，已知圆锥，是底面圆的直径，，是圆上异于，的一点，，，取的中点，连接，，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）证明：点为圆锥的顶点，平面，，又，分别为、中点，，平面，平面，．又，平面，平面，平面；（2），，，，，，，又，，在圆中，，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，又平面，轴，，，，，设平面的法向量为，则，即，取，又易知平面的一个法向量为，，又由图可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．19．（本小题满分12分）某兴趣小组同学在某日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，如图是根据调查结果绘制的体育锻炼时间的频率分布直方图，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．（1）估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；（2）根据已知条件完成下面的列联表，据此判断是否有的把握认为“运动达人”与性别有关．非“运动达人”“运动达人”合计男性1545女性合计附：，，临界值表：0.050.013.8416.635【解析】（1）众数为，平均数为；（2）由频率分布直方图可知，“运动达人”的人数为，则非“运动达人”的人数为，完成列联表如下：非“运动达人”“运动达人”合计男性301545女性451055合计7525100则，所以没有的把握认为“运动达人”与性别有关．20．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，，．（1）求通项公式；（2）求数列的前项和．【解析】（1），，．，，解得，，当时，，，两式相减得，即，当时，，，满足，，则数列是公比的等比数列，通项公式．（2），设，则，，当时，，则，此时数列的前项和，则21．（本小题满分12分）学校举办学生与智能机器人的围棋比赛，现有来自两个班学生报名表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，第二袋有6名男生和5名女生的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参加比赛．（1）求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；（2）比赛记分规则如下：在一轮比赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输积分．现抽中甲、乙两位同学，每轮比赛甲赢概率为，乙赢概率为，求在一轮比赛中，这两名学生得分的分布列和均值．【解析】（1）设“抽到第一袋”，“抽到第二袋”，“随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，，，由全概率公式得；（2）设在一轮比赛中得分为，则的可能取值为，0，2，则，，，得分为的分