北京市重点中学校2023-2024学年高二上学期数学期末模拟试卷(含答案)

-2024学年高二上数学期末模拟试卷一．选择题（共10小题）1．抛物线x＝2y2的准线方程是（）A． B． C． D．2．若直线x+y+a＝0与圆x2+y2＝2相切，则实数a＝（）A．1 B． C．±2 D．43．已知等比数列{an}中a3•a5＝18，a4•a8＝72，则公比q为（）A． B．2 C．±2 D．4．已知两个平面α，β，两条直线l，m，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β B．若l⊂α，m⊂β，m⊥l，则α⊥β C．若l⊂α，m⊂α，m∥β，l∥β，则α∥β D．若l，m是异面直线，l⊂α，l∥β，m⊂β，m∥α，则α∥β5．12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功．经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来．我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养．若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（）A． B． C． D．6．已知点P在圆（x+1）2+y2＝2上，则P到直线x+y﹣5＝0距离的最小值为（）A． B． C．2 D．37．若a，b，c，d∈R，则“a+d＝b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图．它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（）A．底面边长为6米 B．体积为立方米 C．侧面积为平方米 D．侧棱与底面所成角的正弦值为9．在长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，点P在矩形ABCD内（包含边线）运动，在运动过程中，始终保持到顶点B的距离与到对角线B'D所在直线距离相等，则点P的轨迹是（）A．线段 B．圆的一部分 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分10．已知an是不大于的正整数，其中n∈N*．若a1+a2+a3+…+am≥70，则正整数m的最小值为（）A．23 B．24 C．25 D．26二．填空题（共5小题）11．为了调查某校高二年级男生和女生是否喜欢手机游戏，调查人员进行了统计分析，并得到了等高条形图，已知该年级男生800人，女生600人（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢手机游戏的学生中按分层抽样的方法抽取66人，则抽取的女生人数为．12．已知平面α的一个法向量为，点A（1，2，4）是平面α上的一点，则点P（﹣1，1，5）到平面α的距离为．13．若双曲线C与﹣y2＝1有共同渐近线，且与椭圆＝1有相同的焦点，则该双曲线C的方程为．14．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则p＝．15．关于曲线C：＝1，则以下结论正确的序号是．①曲线C关于原点对称；②曲线C中x∈[﹣2，2]，y∈[﹣2，2]；③曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝8无公共点；④曲线C与曲线D：|x|+|y|＝4有4个交点，这4点构成正方形．三．解答题（共6小题）16．在等差数列{an}中，公差d≠0，a4＝﹣6，且a2，a3，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn．17．已知圆C：x2+y2＝16，直线l：（2+k）x+（1+k）y+k＝0．（1）证明：直线l和圆C恒有两个交点；（2）若直线l和圆C交于A，B两点，求|AB|的最小值及此时直线l的方程．18．某农场为创收，计划利用互联网电商渠道销售一种水果，现随机抽取100个进行测重，根据测量的数据作出其频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）以每组中间值作为该组的重量，估计这100个水果中，平均每个水果的重量；（Ⅱ）已知该农场大约有20万个这种水果，某电商提出两种收购方案：方案一：按照10元/千克的价格收购；方案二：低于2千克的按照15元/个收购，不低于2千克且不超过2.6千克的按照23元/个收购，超过2.6千克的按照40元/个收购．请问该农场选择哪种收购方案预期收益更多？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，AP＝AD＝2，∠ABC＝60°．点E，F分别在棱PA，PB，且EF∥AB．（Ⅰ）求证：EF∥CD；（Ⅱ）若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为．（1）求点P与到平面CEF的距离；（2）试确定点E的位置．20．已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆E的上、下顶点，且|AB|＝2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于M，N（不与点A，B重合）两点，若直线AM与直线AN的斜率之和为2，判断直线l是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．21．数列An：a1，a2，…，an（n≥4）满足a1＝1，an＝m，ak+1﹣ak＝0或1（k＝1，2，…，n﹣1）对任意i，j，都存在s，t，使得ai+aj＝as+at，其中i，j，s，t∈{1，2，…，n}且两两不相等．（Ⅰ）若m＝2时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2．（Ⅱ）记S＝a1+a2+…+an，若m＝3，证明：S≥20；（Ⅲ）若m＝1000，求n的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【答案】C【分析】化抛物线方程为标准方程，由抛物线的性质即可求解．【解答】解：抛物线x＝2y2的标准方程为y2＝x，所以准线方程为x＝﹣．故选：C．2．【答案】C【分析】根据题意，由直线与圆相切的性质可得圆心到直线的距离d＝＝，解可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝2的圆心为（0，0），半径r＝，若直线x+y+a＝0与圆x2+y2＝2相切，则有圆心到直线的距离d＝＝，解可得a＝±2，故选：C．3．【答案】D【分析】直接根据等比数列的通项公式即可求出．【解答】解：等比数列{an}中a3•a5＝18，a4•a8＝72，∴a12•q6＝18，a12•q10＝72，∴q4＝4，解得q＝±，故选：D．4．【答案】D【分析】对于A，l与β相交、平行或l⊂β；对于B，α与β相交或平行；对于C，α与β相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得α∥β．【解答】解：两个平面α，β，两条直线l，m，对于A，若α⊥β，l⊂α，则l与β相交、平行或l⊂β，故A错误；对于B，若l⊂α，m⊂β，m⊥l，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若l⊂α，m⊂α，m∥β，l∥β，则α与β相交或平行，故C错误；对于D，若l，m是异面直线，l⊂α，l∥β，m⊂β，m∥α，则由面面平行的判定定理得α∥β，故D正确．故选：D．5．【答案】D【分析】列举出所有情况，统计满足条件的情况，能求出水稻种子被选中的概率．【解答】解：设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为a，b，c，d，e，从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，基本事件有10种情况，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），其中水稻种子被选中包含的基本事件有4种，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），则水稻种子被选中的概率P＝．故选：D．6．【答案】C【分析】求出圆心C（﹣1，0）到直线x+y﹣5＝0的距离，减去半径，即可得出结论．【解答】解：（x+1）2+y2＝2的圆心C（﹣1，0）到直线x+y﹣5＝0的距离等于＝3，故圆（x+1）2+y2＝2上的动点P到直线x+y﹣5＝0的距离的最小值为3＝2．故选：C．7．【答案】B【分析】必要性根据等差数列的性质容易证明，充分性不成立只需要举一个反例即可说明．【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d＝b+c，即必要性成立，若a＝2，d＝2，b＝1，c＝3，满足a+d＝b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d＝b+c“是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件．故选：B．8．【答案】D【分析】连接底面正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接PO，则PO为该正四棱锥P﹣ABCD的高，即PO⊥平面ABCD，取CD的中点H，连接OH，PH，则∠PHO的大小为侧面与底面所成，设正方形ABCD的边长为a，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可．【解答】解：连接底面正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，连接PO，则PO为该正四棱锥P﹣ABCD的高，即PO⊥平面ABCD，取CD的中点H，连接OH，PH，由正四棱锥的性质，可得PH⊥CD，由O，H分别为BD，CD的中点，所以OH∥BC，则OH⊥CD，所以∠PHO为二面角P﹣CD﹣O的平面角，由条件可得∠PHO＝30°，设正方形ABCD的边长为a，则，又，则，解得a＝6故选项A正确．所以，，则该正四棱锥的体积为，故选项B正确．该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确．由题意∠PCO为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确．故选：D．9．【答案】A【分析】将点P到顶点B的距离与到对角线B'D所在直线距离相等转化为点P到线B'B的距离与到对角线B'D所在直线距离相等，进而得出结论．【解答】解：点P到顶点B的距离与到对角线B'D所在直线距离相等，可转化为点P到线B'B的距离与到对角线B'D所在直线距离相等，所以过点B'作∠BB'D的角平分线，类比到角平分面，此面与底面ABCD的交线，又点P在矩形ABCD内（包含边线）运动，所以点P的轨迹是线段．故选：A．10．【答案】B【分析】根据题意，当数列的每一项最大时，m的值最小，结合{an}的规律，分析可得答案．【解答】解：根据题意，对于数列{an}，当数列的每一项最大时，m的值最小，又由an是不大于的正整数，当1≤n≤3时，an＝1，a1+a2+a3＝3＜70，当4≤n≤8时，an＝2，a1+a2+a3+…+a8＝13＜70当9≤n≤15时，an＝3，a1+a2+a3+…+a15＝34＜70当16≤n≤24时，an＝4，a1+a2+a3+…+a24＝70，故正整数m的最小值为24；故选：B．二．填空题（共5小题）11．【答案】见试题解答内容【分析】由等高条形图得：该年级男生喜欢手机游戏的人数为480人，女生喜欢手机游戏的人数为240人，由此利用分层抽样的性质能求出抽取的女生人数．【解答】解：由等高条形图得：该年级男生喜欢手机游戏的人数为800×0.6＝480人，女生喜欢手机游戏的人数为600×（1﹣0.6）＝240人，现从所有喜欢手机游戏的学生中按分层抽样的方法抽取66人，则抽取的女生人数为66×＝22（人）．故答案为：22．12．【答案】．【分析】利用空间向量法可得出点P到平面α的距离为，即可求解．【解答】解：由已知可得，所以点P到平面α的距离为．故答案为：．13．【答案】．【分析】由题意得双曲线C的焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），则，求解即可得出答案．【解答】解：由题意得双曲线C的焦点在x轴上，设双曲线C的标准方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），双曲线﹣y2＝1的渐近线为y＝±x，椭圆＝1的焦点为（﹣2，0），（2，0），∴，解得，∴双曲线C的方程为，故答案为：．14．【答案】4．【分析】根据题意，延长BF，与抛物线C交于点A′，由抛物线的对称性可得|AF|＝|A′F|，进而可得|A′B|＝，联立直线与抛物线的方程，求出|A′B|的值，可得关于p的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，延长BF，与抛物线C交于点A′，又由AF和BF与x轴所成锐角均为60°，则直线A′B的倾斜角为60°，且|AF|＝|A′F|，又由，则|A′B|＝，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为（，0），设直线A′B的方程为y＝（x﹣），则有，联立化简可得12x2﹣20px+3p2＝0，则有x1+x2＝＝，x1x2＝，则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝﹣p2＝，故|A′B|＝＝＝，解可得p＝4，故答案为：4．15．【答案】①③．【分析】以﹣x替换x，以﹣y替换y，方程不变判断①；求出x，y的范围判断②；联立方程组判断③；由两曲线的对称性判断④．【解答】解：在曲线C：＝1中，以﹣x替换x，以﹣y替换y，方程不变，则曲线C关于原点对称，故①正确；由＝1，得＞0，得x2＞4，即x＜﹣2或x＞2，同理求得y＜﹣2或y＞2，故②错误；由求得的x、y的范围可得曲线C不是封闭图形，联立，得x4﹣8x2+32＝0，方程的判别式Δ＝64﹣4×32＜0，方程无解，故曲线C与圆x2+y2＝8无公共点，故③正确；当x＞0，y＞0时，方程|x|+|y|＝4化为x+y＝4，不是方程组的解，由对称性可知，方程组要么无解，要么多于1解，则曲线C与曲线D不可能有4个交点，故④错误．∴正确的结论是①③．故答案为：①③．三．解答题（共6小题）16．【答案】（1）an＝2﹣2n；（2）．【分析】（1）由等差数列的通项公式与等比中项的性质求解即可；（2）先判断数列{bn}是等比数列，再由等比数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：（1）由a4＝﹣6，得a1+3d＝﹣6①；又a2，a3，a5成等比数列，得，即②，由①②解得d＝0（舍去）或d＝﹣2，∴an＝a4+（n﹣4）d＝﹣6﹣2（n﹣4）＝2﹣2n；（2）由（1）知，an＝2﹣2n，∴，所以，数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列，则．17．【答案】（1）证明过程见解析；（2）|AB|的最小值为，此时直线l的方程为x﹣2y﹣5＝0．【分析】（1）利用直线系方程证明直线所过定点在圆C内部，即可说明直线l和圆C恒有两个交点；（2）求出圆心到直线l的最大距离，利用垂径定理可得|AB|的最小值，再求出此时直线l的斜率，利用直线方程的点斜式得答案．【解答】（1）证明：由直线l：（2+k）x+（1+k）y+k＝0，得k（x+y+1）+2x+y＝0，联立，解得，可得直线l过定点（1，﹣2），而12+（﹣2）2＝5＜16，则点（1，﹣2）在圆C内部，可得直线l和圆C恒有两个交点；（2）解：∵直线l过定点（1，﹣2），要使|AB|最小，则圆心C（0，0）到直线l的距离取最大值，为，此时|AB|的最小值为，直线的斜率为，直线方程为y＝（x﹣1）﹣2，即x﹣2y﹣5＝0．18．【答案】（1）2.235；（2）方案二预期收益更多．【分析】（1）利用在频率分布直方图中的平均值求法计算出平均每个水果的重量即可；（2）分别计算出两种方案的总收入，比较收入的多少即可得出结论．【解答】解：（1）平均每个水果的重量为：0.2×（1.7×0.375+1.9×0.5+2.1×1+2.3×2+2.5×0.75+2.7×0.375）＝2.235（千克）；（2）总重量为：2.235×20＝44.7（万千克），方案一：10×44.7＝447（万元），方案二：低于2千克：15×[（0.375+0.5）×0.2×20]＝52.5（万元），不低于2千克且不超过2.6千克：23×[（1+2+0.75）×0.2×20]＝345（万元），超过2.6千克：40×（0.375×0.2×20）＝60（万元），所以方案二：52.5+345+60＝457.5（万元），因为447＜457.5，所以方案二预期收益更多．19．【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）（1）；（2）点E是AP中点．【分析】（Ⅰ）只要证明AB∥CD即可；（Ⅱ）（1）转化为解直角三角形问题求解，（2）用向量数量积求解直线与平面成角正弦值，列方程求解．【解答】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD为菱形，所以CD∥AB，又因为EF∥AB，所以EF∥CD．（Ⅱ）解：（1）设点P与到平面CEF的距离为h，因为直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为，PD＝＝2，所以h＝PD•＝，所以点P与到平面CEF的距离．（2）取BC中点F，连接AF，由题意建系如图，设E（0，0，t），t∈（0，2），D（0，2，0），C（，1，0），P（0，0，2），＝（，﹣1，0），＝（0，﹣2，t），＝（0，﹣2，2），＝（0，0，t﹣2），令＝（t，t，2），因为•＝0，•＝0，所以平面CEF的法向量是，所以直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为＝＝＝，解得t＝1，t＝（舍去），所以点E是AP中点．20．【答案】（1）椭圆E的标准方程为；（2）直线l经过定点（﹣1，﹣1）．【分析】（1）根据离心率和|AB|＝2，a2＝b2+c2求出a＝2，b＝1，从而求出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率存在时，设直线l：y＝kx+t，（t≠±1），联立后用韦达定理，利用题干条件列出方程，求出t＝k﹣1，从而求出直线过的定点，再考虑斜率不存在时是否满足，最终求出答案．【解答】解：（1）由离心率为，因为A，B为椭圆的上、下顶点，且|AB|＝2，所以2b＝2，即b＝1，又a2＝b2+c2，解得a＝2，所以椭圆E的标准方程为；（2）直线l经过定点（﹣1，﹣1），证明如下：①当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx+t，（t≠±1），由，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，则Δ＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＞0得t2＜4k2+4，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，则＝，解得t＝k﹣1，经检验，满足t2＜4k2+4，所以直线l的方程为y＝kx+k﹣1，即y＝k（x+1）﹣1，所以直线l经过定点（﹣1，﹣1）；②当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，M（m，yM），N（m，﹣yM），则解得m＝﹣1，此时直线l也经过定点（﹣1，﹣1），综上，直线l经过定点（﹣1，﹣1）．21．【答案】（1）②③，（2）见上述证明过程，（3）最小值为1008．【分析】（1）由题干的四个限定条件对数列序号逐一判断即可；（2）由反证法证明即可；（3）由（2）得出一个Bn，证明Bn，满足题意，即可得的最小值，【解答】解：（1）由题可知，数列An必满足：a1＝l，an＝m，ak+1﹣ak＝0或1，对任意i，j，都存在s，t，使得ai