空间向量知识点归纳(期末复习)

空间向量期末复习知识要点：１、空间向量得概念：在空间，我们把具有大小与方向得量叫做向量。注:（1)向量一般用有向线段表示同向等长得有向线段表示同一或相等得向量.（2）空间得两个向量可用同一平面内得两条有向线段来表示。2、空间向量得运算。定义:与平面向量运算一样，空间向量得加法、减法与数乘运算如下(如图)。；;运算律：⑴加法交换律:⑵加法结合律：⑶数乘分配律:３、共线向量。(1）如果表示空间向量得有向线段所在得直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。当我们说向量、共线(或／/）时,表示、得有向线段所在得直线可能就是同一直线，也可能就是平行直线。（2)共线向量定理:空间任意两个向量、（≠）,/／存在实数λ，使=λ.4、共面向量(1)定义:一般地,能平移到同一平面内得向量叫做共面向量。说明:空间任意得两向量都就是共面得.(2）共面向量定理：如果两个向量不共线,与向量共面得条件就是存在实数使。5、空间向量基本定理：如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一得有序实数组,使.若三向量不共面,我们把叫做空间得一个基底，叫做基向量,空间任意三个不共面得向量都可以构成空间得一个基底.推论：设就是不共面得四点,则对空间任一点，都存在唯一得三个有序实数，使。6、空间向量得数量积.(１)空间向量得夹角及其表示：已知两非零向量,在空间任取一点，作，则叫做向量与得夹角，记作；且规定，显然有；若,则称与互相垂直，记作：。（2)向量得模：设，则有向线段得长度叫做向量得长度或模，记作：。(3)向量得数量积：已知向量，则叫做得数量积，记作，即。（4）空间向量数量积得性质：①。②。③.(5）空间向量数量积运算律：①.②(交换律）。③(分配律）。7、空间向量得坐标运算:（1)、向量得直角坐标运算设=,=则（1）+=；(2)－＝;（３）λ=(λ∈R);（4)·＝;(２)、设A，B,则＝、(3）、设,,则=;、、夹角公式设=,=,则、（5)。异面直线所成角=、（6）、直线与平面所成得角得求法如图所示,设直线l得方向向量为e，平面α得法向量为n,直线ｌ与平面α所成得角为φ，两向量e与n得夹角为θ,则有ｓiｎφ＝|coｓθ｜＝eq＼f（｜ｎ·e｜，|ｎ｜|ｅ｜)、（7)、二面角得求法（１）如图①,AＢ,CD就是二面角α.ｌ­β得两个面内与棱ｌ垂直得直线，则二面角得大小θ=〈，〉。（２)如图②③，n1,n２分别就是二面角α。l.β得两个半平面α,β得法向量,则二面角得大小θ＝〈n1,ｎ2〉或π—〈n1,ｎ２〉.练习题：1.已知a=(－3,2,5）,b=（1，x，-1）且a·b＝2,则x得值就是（)A。3Ｂ.４Ｃ.5D。６２．已知ａ=(2，4，5），b＝（3,x，y）,若a∥ｂ,则（)A．x＝6,y=15B.ｘ＝3,y＝eq\ｆ（15，2）C。ｘ＝3，y＝1５D.x＝6,y＝ｅq＼f(１5，2）3。已知空间三点A（0,2,３),B（-2,1,6),C(1,—1，5）.若｜ａ｜=eq＼r(3),且ａ分别与eｑ\ｏ（AＢ，＼ｓ\up６（→))，ｅq\o（ＡC，＼s\up６(→））垂直,则向量a为（）A.(1,1，1）B。(—1，-1，—1)C.（１，１，1)或（-1，-1,－1）Ｄ。(１,－1，1）或(—１，1，－1）4.若a=（２，－3，5)，b=(－3,1,—4)，则｜a－2ｂ｜=_____＿＿_、5。如图所示,已知正四面体ＡBＣＤ中,AＥ=eq＼f(1，4)AB，ＣＦ=eｑ\ｆ(1,4）CD,则直线DE与ＢＦ所成角得余弦值为___＿_＿＿＿．４、eq＼r(258）解析∵a－２b=（８，－5,１3)，∴｜a－2ｂ｜=eq＼r（８２＋－52+１３2）＝eq\ｒ(258)、５、eq\f(４，13）解析因四面体ＡＢCD就是正四面体，顶点A在底面BCD内得射影为△BCＤ得垂心,所以有BC⊥DA，AB⊥CD、设正四面体得棱长为4,则eq\o(BF，＼s\up6（→）)·eq\o(ＤE，＼ｓ\ｕp6（→)）＝(ｅｑ＼o（BC,＼ｓ＼up6(→)）+eq\o（CF，\s\up6(→）)）·（ｅq\ｏ(DA,\s\uｐ6（→)）＋eq＼ｏ(AＥ,\ｓ\up6(→）)）=0＋eq＼ｏ（BＣ,\s＼up６（→))·eq＼o（AE,\ｓ＼up6（→)）+ｅq＼ｏ（CF，＼s\uｐ6（→））·eq＼o（ＤA,＼ｓ\up6（→）)+0=4×1×cｏs１20°＋１×４×cos１20°＝-４，BF＝DE＝ｅｑ\r（42＋１2—２×4×1×cｏｓ６０°）=eｑ＼r（１3),所以异面直线DE与ＢF得夹角θ得余弦值为:cｏsθ==eq\ｆ（4，13）、６、如图所示，在平行六面体ABCＤ­A１B１C1Ｄ1中，设=a，=b，=ｃ，M，N，P分别就是ＡＡ1，BC,C１D1得中点,试用a，ｂ,c表示以下各向量:(1）；（２）；(3)＋、解:（１)∵P就是C１D1得中点,∴＝++＝ａ++eq＼f（1，2)=ａ+c+eq＼f(１，2）＝a＋ｃ＋eq\f（1，２）ｂ、(2)∵N就是BC得中点，∴=++=－ａ＋b＋eq\ｆ（１，２)＝-ａ＋b+ｅq\f(1，2）＝-ａ＋ｂ+eq＼f(1，2）c、（３）∵Ｍ就是ＡＡ1得中点,∴=+＝eq＼f(１，2）＋=－ｅq\f（1，2）a＋eq＼b＼ｌｃ\（＼rc\）(\ａ\vｓ４＼ａl\cｏ1（a＋c+\f（1，2）b)）=eq\f（１，2）a+eｑ＼f(1，2）b+c，又＝＋=eq\f（1，2）＋=eq\f(1，2）＋＝eq\ｆ(１，2)ｃ+a，∴＋＝eq\ｂ\lc＼（\rc＼）（\a＼vs４＼al\ｃo１(＼ｆ(1,2）a＋\f（1,２)b＋c））＋eq\b\ｌc＼(\rｃ\）（\a\ｖs4＼aｌ＼ｃｏ1（a+\f(1，2）c）)=ｅq\f(３，2)a+ｅq\f（1,2）b+eq＼f（３，2)c、7、已知直三棱柱ABC。A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝ＡA1,D，Ｅ，Ｆ分别为B1A，C1C,ＢC得中点。(1）求证：ＤＥ∥平面ＡＢC；(2）求证：B1F⊥平面AEF、证明：以A为原点，ＡB,ＡＣ，AＡ1所在直线为x轴,y轴，z轴，建立如图所示得空间直角坐标系Ａ­xyz,令ＡB=AA1=4，则A（0，0，０）,Ｅ（0,4,2），F（2，2,０)，B１(4,0,4),Ｄ(2，0,2），Ａ1（0，0,4)，(1)＝（—2,4，0)，平面ＡＢＣ得法向量为＝(０,0，４）,∵·＝0，DE⊄平面ABＣ,∴DE∥平面ABC、（2)＝（－2,2,－4），＝（2，－2,－2）,·=（－2）×2＋2×(—2）＋（－4）×(—2）＝0，∴⊥,B1F⊥ＥＦ,·＝(－2)×２＋２×2＋(－4）×0=0，∴⊥，∴Ｂ１F⊥AF、∵AF∩EF=Ｆ,∴B1F⊥平面AEF、8、如图所示，在四棱锥P。AＢＣD中，PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形AＢCD中，∠B＝∠C=90°，AB＝4，CD=1，点M在PB上,PB＝4PM,PＢ与平面ABＣD成3０°得角.求证:（1）ＣM∥平面ＰAＤ；(2）平面ＰAB⊥平面PＡD、证明:以C为坐标原点,CB为ｘ轴,CD为ｙ轴,CP为z轴建立如图所示得空间直角坐标系C­xyｚ、∵PC⊥平面ABCＤ，∴∠PBC为PＢ与平面ABCD所成得角，∴∠ＰBC＝30°,∵PC=2，∴BC=2eq\r(3），PB=4，∴D（０，１，0)，Ｂ（2eｑ\r（３)，0，0),Ａ(2eq\ｒ(3）,４，０)，P（0,０，2）,Meｑ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（＼r(3），2），0,＼f（３,２））），∴＝（0，－１，2)，＝（2eｑ\r（3）,３,0),=eｑ＼b＼lc＼（＼ｒc\)（＼ａ\vs4\al＼ｃｏ1（＼f（\r(３）,2)，0,\f（３,2））)、(1）设ｎ＝（x,ｙ,z)为平面ＰAＤ得一个法向量,由ｅq\b\ｌc\｛\ｒｃ\(\a\ｖs４\al\ｃo1(·n＝０，,·n=０,））即ｅq＼b\ｌc\｛\rｃ\(＼ａ\vs4\al＼ｃo１（－y＋2z＝０,，2＼r(3）x+3ｙ=0，））令y=2，得n=（－eq\r（3），2，1)。∵n·=－eq\ｒ（３)×eｑ\ｆ(\ｒ（3)，2)＋２×0＋1×eq＼ｆ（3,2)＝０，∴n⊥、又CM⊄平面PＡD，∴CM∥平面PＡD、(２）如图，取ＡP得中点E，连接BE,则E（ｅｑ\r(３）,2，１),＝（-eq\r(3)，2，１）．∵PＢ=ＡＢ,∴BE⊥PA、又∵·=（-eｑ\ｒ(3),2，1)·（2eq＼ｒ（３），3，0)=０,∴⊥、∴BE⊥DA、又PＡ∩ＤＡ＝A，∴BE⊥平面PAD、又∵BE⊂平面PAB，∴平面ＰAB⊥平面PAD、9、如图,在正方体AＢCＤ­A１B1Ｃ1D１中,Ｅ为AB得中点.（1）求直线AD与直线B1C所成角得大小；（2）求证：平面EＢ1D⊥平面B1CD、解：不妨设正方体得棱长为2个单位长度，以DA，DＣ，DD１分别为ｘ轴、y轴、z轴,建立如图所示得空间直角坐标系D。xyz、根据已知得：D(0，0,0）,Ａ(2，0，0）,B（2,2,0)，C(0，２,０），B1(2,２,2).（１)∵=(２,０,０），=(2，0,2)，∴cos〈,〉＝eq\f（·，||||)＝eｑ\f（\r(2),２）、∴直线AD与直线B1C所成角为eq\f（π,4)、（2）证明：取Ｂ1Ｄ得中点F,得F(1，１，1）,连接ＥF、∵E为AB得中点，∴E(2,1,0)，∴＝（－1,0，１），＝(0,2，0），∴·=0，·=０,∴EF⊥DC，EＦ⊥CB１、∵ＤC∩CＢ1＝C，∴EＦ⊥平面B１CD、又∵EＦ⊂平面ＥB1D，∴平面ＥＢ1D⊥平面B1CD、１0.如图,直角梯形ABCＤ与等腰直角三角形ＡＢE所在得平面互相垂直．AB∥ＣD,AＢ⊥ＢC，AB=2CＤ=2ＢＣ,ＥA⊥ＥＢ、（1）求证:ＡB⊥DE;（２）求直线ＥC与平面ABＥ所成角得正弦值；（３)线段EA上就是否存在点F,使EC∥平面FBD？若存在，求出eq\f（EF，ＥA)；若不存在，请说明理由.解:（１）证明：取ＡB得中点O，连接EＯ，ＤO、因为ＥB=ＥA,所以ＥO⊥AB、因为四边形ABＣD为直角梯形。ＡＢ＝2CD＝２BC,AＢ⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD、因为EO∩ＤO＝Ｏ,所以AB⊥平面EOD,所以ＡB⊥EＤ、（２）因为平面AＢE⊥平面AＢＣD，且ＥO⊥ＡB,所以EＯ⊥平面ＡBCD，所以ＥO⊥OD、由OB,OD，OＥ两两垂直，建立如图所示得空间直角坐标系O。xyz、因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA=OB＝OD＝OE，设OＢ=1,所以Ｏ（0，0，0)，Ａ（-1,0，０)，B(1，0,0），Ｃ(1,１,0）,D（0，１，0),E(0，0,1)．所以＝（1，1，—1），平面ＡＢE得一个法向量为＝(0,1,0)。设直线ＥＣ与平面ABＥ所成得角为θ，所以sinθ=｜cos〈,〉｜＝eq\f(|·｜，｜｜|｜）=eq\f（\r(3），３），即直线EC与平面ABＥ所成角得正弦值为eq\f(\ｒ(3)，3）、１1、（１2分）如图,在底面就是矩形得四棱锥Ｐ—ＡBＣD中，PA⊥平面ＡＢCD，ＰA=AB=2，BC=4，E就是PD得中点.(1)求证：平面ＰＤC⊥平面ＰAD；（2）求点B到平面PCD得距离.21、(1）证明如图,以A为原点，AD、AＢ、ＡP所在得直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A(0，0,0),B（０,2，０)，C（4,２,0)，D（４，0,0）,P（0，０，2).∴eq\o（ＰＤ，＼s\up6（→））＝(4，0,－2）,eq\o(CＤ,\s\up6(→））=(0,—2,0),eq\o(ＰA,\s\uｐ６（→)）=（0,0，－2).设平面PDC得一个法向量为n＝(x，y，1），则⇒eq\b\lc\｛\rc＼(\a\vs4\al\co1（-2y＝0,４x－２＝0））⇒eq\b\lc＼{＼rc\（\a\ｖs4\ａl\ｃo1(ｙ＝0，x＝\f（1，2),））所以平面ＰCD得一个法向量为ｅq＼b\lｃ\(＼rｃ\）（\a\ｖs４\al\co1（＼f（1,２)，0,１)）、∵PA⊥平面ABＣD，∴ＰA⊥ＡB,又∵AB⊥AD,PＡ∩AD=A,∴ＡB⊥平面PＡD、∴平面PAD得法向量为eｑ\ｏ（AB,\s＼uｐ６（→)）=(０,2，０)。∵n·eｑ\o（AＢ，\ｓ\up6（→）)＝0，∴ｎ⊥eq＼o（AB,＼ｓ\up6（→））、∴平面PDC⊥平面PAD、（2)解由（1)知平面PCD得一个单位法向量为eq＼ｆ(n,|n｜）＝eｑ\b\lｃ\（\rc＼）(\a＼ｖｓ4＼aｌ＼co１（\f（＼ｒ（５），５），0，＼f（２\r(5)，５）))、∴＝eq\ｂ\ｌc\｜\rｃ\｜（\a\ｖs4\al\co１（4，0，0·\ｂ＼ｌc\(\rc＼）（＼a\ｖs4\ａl\co1（＼ｆ(\r（5)，5），0，\f(2＼r(5)，5)））））＝eｑ\f（4\ｒ(5）,5)，∴点B到平面PCD得距离为eq\ｆ(4\r(５），５)、１２.如图所示,在多面体ABCD.A1B１C1Ｄ１中,上、下两个底面A1Ｂ１C1D1与ABCＤ互相平行，且都就是正方形,ＤＤ1⊥底面ＡBCD，AB=２A１B１＝2DＤ1=2a、(1）求异面直线AB1与DD1所成角得余弦值；(２)已知F就是ＡＤ得中点,求证:FB1⊥平面BCＣ1B１；（3）在(2）得条件下，求二面角Ｆ。CC1。B得余弦值.解:以D为坐标原点，分别以DＡ，ＤC，DD１所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示得空间直角坐标系D­xyz,则A（２a，0,０)，B(2ａ，2ａ，0),C(0，2ａ,0）,D1（0,0，a），F（ａ,０，0）,B1(a,a，a),C1（0,ａ,a)。(１）∵=（－a,a,a)，＝(０,０，a），∴｜cos〈，〉｜=eｑ\ｂ＼lc\|\rc＼｜（\a\ｖｓ４\ａｌ\co1（\f（·,|｜·｜｜）)）＝eq\f（\r(3)，３），∴异面直线AＢ1与ＤD１所成角得余弦值为ｅｑ＼f(\r(３），3)、(2)证明：∵=（-ａ,-a，a）,=(—2a，0,０），＝（０,ａ,a），∴eｑ\b＼lｃ\｛＼rc\（\a\vs4\al\co1(·=0，，·=０,)）∴FB１⊥ＢB１,FB1⊥BC、∵BB1∩ＢＣ＝B,∴FＢ1⊥平面ＢCC1B１、（3)由(２)知，为平面BCC1B1得一个法向量。设n＝(x１，y1，z1）为平面FＣC1得法向量，∵＝（０,－ａ，a)，=(－ａ，２ａ，0），∴eｑ\b＼ｌc\｛＼rc\（\a\vs４＼ａl\co1（n·＝0，,n·＝0,)）得eｑ＼b\lｃ\{\rｃ\(\a\ｖs4\al＼co１(-ay１＋az１=0，,－ａx1＋2ay1＝０、)）令y１=1，则ｎ=（2，１，1）,∴cos〈,n〉=eq＼f(·ｎ，｜｜·|n｜)=eq\ｆ(\r（3)，3),∵二面角F.ＣC１。Ｂ为锐角,∴二面角F.CＣ1.B得余弦值为eq\ｆ（\r(３）,3）、13。如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，ＡB⊥AD,AD=CD=1，AＡ1=AB＝2,E为棱AA１得中点．（１)证明:B１C1⊥ＣE;（2）求二面角Ｂ1。ＣＥ.C1得正弦值.（3）设点M在线段C1E上，且直线ＡM与平面ADD1A1所成角得正弦值为eｑ＼f（\ｒ（2)，6）,求线段ＡM得长。解：法一：如图，以点Ａ为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0，0）,B(0，０，２）,C(1,０，1），B１(０,2，２)，Ｃ1（１，2,1），E（0,1,0).（1）证明：易得＝(1，0,－１）,＝（—1，1,-1),于就是·=0，所以B1Ｃ1⊥CE、(2）=（1,－2，－１).设平面Ｂ1CE得法向量m=（ｘ，ｙ，z），则eｑ\ｂ\lc＼{\rｃ\（\a\vs４\aｌ\co1（m·=０，，m·=０,）)即eq\b\lc\｛\rc＼（\ａ\vｓ4＼al\cｏ１(x－2y—z＝0,,－x＋ｙ－z＝0、））消去x，得ｙ＋2z=0，不妨令ｚ=1,可得一个法向量为m＝(-3,－２，1）.由(1）知，B1C1⊥CE，又ＣC１⊥B1C１，可得B１Ｃ1⊥平面CEＣ1，故＝（1，0,—1)为平面ＣEC1得一个法向量．于就是cos〈ｍ,〉＝eｑ\f（m·，｜m|·|｜)=ｅq\ｆ(-4,＼ｒ（14）×\r(2））=－eq＼ｆ(２\r(7),7)，从而sｉn〈m,〉=eq\ｆ（＼ｒ(２1），7）、所以二面角Ｂ１­CE。Ｃ1得正弦值为eq\f(\ｒ（２1)，7）、（３)＝(0,１，0）,＝（1，１,１）.设＝λ＝(λ,λ，λ）,0≤λ≤１,有＝＋=(λ，λ+1,λ）。可取=（0,0，2)为平面ADD1A1得一个法向量。设θ为直线AM与平面ADD１A1所成得角，则sinθ＝｜cos〈，〉|＝eq\f(｜·｜，｜|·｜｜)＝eq\f（２λ，２×\r（λ2＋λ＋１2+λ2))＝ｅq＼f(λ，\r（3λ２+2λ+1））、于就是eq\f(λ,\r（3λ2＋2λ+１））＝eq\f(\ｒ（2)，