【模拟测试】高考数学预测试卷及答案解析

高考模拟测试数学试题

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4={才-5<x<l},B={x|x244}则4口8=()

A.(2,3)B,[2,3)C.[-2,1)D.(-2,1)

2.已知复数z=(a-3i)(3+2i)(aeR)的实部与虚部的和为7,则〃的值为()

A.1B.OC.2D.-2

3.设Q=5°3,b=log030.5,c=log30.4,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

4.已知等差数列｛4｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中

间项为（）

A.28B.29C.30D.31

5.已知两圆相交于两点A（l,3）,5（/,-1）,两圆圆心都在直线x+2y+c=0上，则f+c的值为（）

A.-3B.-2C.0D.1

3

6.市场调查发现，大约一的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局

5

49

抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为一，而实体店里的儿童玩具的合格率为一.现工商局12345

510

电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）

1345

A.—B.-C.-D.一

2456

7.两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能

单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）

A.48B.50C.98D.68

8.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补

原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一

个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数/（X）满足

/、/、ri|-Iog,(2-X),0<x<l/.

“4-x)=/(x),且当xw［0,2］时的解析式为,f(x)=62，则函数y=在

log?X,1<X-L

xe［0,4］的图象与直线丁=一1围成封闭图形的面积是()

A.2B.210g23C.4D.410g23

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形

图，如图所示：

39.6%

.2%|23%

司药.8%…

II同1.6%

Ir1

技术运营市场设计职能产品其他

则下列说法正确的是().

A.该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上

B.该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%

C.该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生

D.该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士

10.已知/(x)=2c320x+Jis沅25—1(0>0)最小正周期为左，则下列说法正确的有()

A.60=2

B.函数/(x)在［0,工］上增函数

6

C.直线x=?是函数y=/(x)图象的一条对称轴

D.酹兀,0是函数y=/(x)图象的一个对称中心

II.如图所示，在棱长为2的正方体A5CO-AgCA中，P,。分别是线段用。，AC上的动点，则下

列说法正确的有()

A.线段P。长度的最小值为2

B.满足PQ=272的情况只有4种

C.无论产，。如何运动，直线PQ都不可能与8。垂直

D.三棱锥P-ABQ的体积大小只与点。的位置有关，与点尸的位置无关

12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列,

再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得

至U数歹！11,4,3,5,2；...；第次得到数列1,芭，x2,七,…，xk,2；…记

an=l+xt+x2+---+xk+2,数列｛%｝的前〃项为5“，则（）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量£=（1,加），5=（2/），且。（2£+B）=7,则小=.

,、cos2a

14.已知sinacosa=-,且则.（乃）的值为.

15.任取一个正整数如若根是奇数，就将该数乘3再加上I；若帆是偶数，就将该数除以2.反复进行上

述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-2-1,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角

谷猜想”等），若加=5,则经过次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1,则〃?的可能值之和为

16.已知过抛物线焦点/直线与抛物线交于A,B两点,过坐标原点。的直线与双曲线

22

「-马=1（。＞0力＞0）交于M，N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为K，k,,

ab~

若不等式(%|+4网)(1AFI•IBE|)当AF|+18加恒成立，则双曲线的离心率为.

四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

7TTT

17.平面四边形ABCD中，NABC=—,ZADC=~,BC=4.

32

(1)若△ABC的面积为3Q，求AC；

⑵若A0=3百，ZACB=ZACD+-,求tanZACD

3

18.已知｛a,,｝是递增的等比数列，前3项和为13,且3勾，5a小3a3成等差数列.

(1)求数列｛6,｝的通项公式；

(2)各项均为正数的数列也｝的首项乙=1,其前"项和为S“，且，若数列匕｝满足%=anbn,求｛%｝

的前〃项和在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①。=2底-1；

②纥,=如+々用(〃22),%=3；③J-5,1=£+67(〃22).注：如果选择多个条件分别解答，

按第一个解答计分.

19.如图，已知斜三棱柱ABC-AAG的底面是正三角形，点M，N分别是与G和A4的中点，

⑴求证：BN_L平面ABC；

(2)求二面角M—AB—C的余弦值.

20.每年的4月23日是世界读书日，设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，享受阅读带来的乐趣某高

校为了解在校学生的每周阅读时间X(单位：小时)，对全校学生进行了问卷调查从中随机抽取了100名学

生的数据，统计如下表：

每周阅读时间X[9/。[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21)[21,23]

频率0.050.10.150.40.2().060.04

(1)根据频率分布表，估计这100名学生每周阅读时间的平均值X(同一组数据用该组数据区间的中点值表

示)；

(2)若认为目前该校学生每周阅读时间X服从正态分布N(4,b2),用(1)中的平均值又近似代替〃，且

P(14<X<17.76)=0.5,若某学生周阅读时间不低于14小时，该同学可获得“阅读之星”称号.学校制定

如下奖励方案：“阅读之星”可以获赠2次随机购书卡，其他同学可以获赠1次随机购书卡.每次获赠的随机

购书卡的金额和对应的概率为：

购书卡的金额(单位：元)2050

3

概率

44

记y(单位：元)为甲同学参加问卷调查获赠的购书卡的金额，求y的分布列与数学期望.

22.

21.已知椭圆E:，+g=l(a>8>0)的左、右焦点分别为月卜6,0),乙(6,0),过点K的直线/与

(41

椭圆交于不同两点M，N.当直线/斜率为-1时，弦MN的中点坐标为

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)求△片的内切圆半径r最大时，直线/的方程.

22.已知函数/(xQe'—acSwR).

⑴讨论函数〃x)的单调性；

⑵当a=2时，求函数g(x)=/(x)-cosx在(一金+8)上的零点个数.

答案与解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4=｛刀|一5<%<1｝,5=｛厘％244｝则4［18=()

A.(2,3)B.［2,3)C.［-2,1)D.(-2,1)

［答案IC

［解析］

［分析］解出集合B的解集，按照交集定义求得交集即可.

［详解］B={x\尤2<4}=［-2,2］，则AcB=［-2,1)

故选：C

2.已知复数z=(a-3i)(3+2i)(aeR)的实部与虚部的和为7,则。的值为()

A.1B.OC.2D.-2

［答案］C

［解析］

［分析］根据复数的乘法运算化简后即可求解.

［详解］z=(a-3i)(3+2i)=3a+2ai-9i-6i?=3a+6+(2a-9)i,

所以复数Z的实部与虚部分别为3a+6，2a—9,

于是3«+6+2«-9=7,

解得a=2,

故选：C

3.设a=503,b=log030.5,c=log30.4,则a,b,。的大小关系是()

A.a<b<cB.h<c<aC.c<a<bD.c<b<a

［答案］D

［解析］

［分析］根据指对数的性质，即可比较。，b,，的大小.

［详解］由a=5°3>!>/?=log030.5>0>c=log30.4,

c<b<a.

故选：D

4.己知等差数列｛4｝的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319,所有偶数项之和为290,则该数列的中

间项为()

A.28B.29C.30D.31

1答案］B

［解析］

［分析］本题可设等差数列｛%｝共有2〃+1项，然后通过S奇-S偶即可得出结果.

［详解］设等差数列｛%｝共有2〃+1项，

则5奇=4+%+%+…+4"+1，S偶=&+/+4+…+%,，中间项为%+i，

故S奇-S偶=a\+(%-%)+(%-44)+,•-4”)

=a｝+d+d+・・・+d=a1+nd-an+］,

a,m=S奇-S偶=319-290=29，

故选：B.

5.已知两圆相交于两点A(l,3),5(/,-1),两圆圆心都在直线x+2y+c=0上，贝也+c的值为()

A.-3B.-2C.0D.1

［答案］A

［解析］

［分析］由相交弦的性质，可得A3与直线x+2y+c=0垂直，且的中点在这条直线x+2y+c=0上；

由AB与直线x+2y+c=0垂直，可得手3=2,解可得f的值，即可得3的坐标，进而可得A8中点

的坐标，代入直线方程可得c=-2；进而将f、c相加可得答案.

［详解］根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，

可得AB与直线x+2y+c=0垂直，且A3的中点在这条直线x+2y+c=。上；

由AB与直线x+2y+c=0垂直，可得半工=2,解可得£=一1,

则5(-1,-1),

故AB中点为(0/)，且其在直线x+2y+c=0上，

代入直线方程可得，0+2x1+c=0,可得c=-2；

故t+c=(-l)+(-2)=-3；

故选：A

［点睛］方法点睛：解答圆和圆的位置关系时，要注意利用平面几何圆的知识来分析解答.

3

6.市场调查发现，大约§的人喜欢在网上购买儿童玩具，其余的人则喜欢在实体店购买儿童玩具.经工商局

49

抽样调查发现，网上购买的儿童玩具合格率为一，而实体店里的儿童玩具的合格率为一.现工商局12345

510

电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是（）

1345

A.-B.—C.-D.一

2456

［答案］B

［解析］

［分析］根据已知条件，利用比例求得这个儿童玩具是在网上购买的可能性.

［详解］工商局12345电话接到一个关于儿童玩具不合格的投诉，则这个儿童玩具是在网上购买的可能性是

故选：B

7.两个三口之家（父母+小孩）共6人去旅游，有红旗和吉利两辆车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能

单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为（）

A.48B.50C.98D.68

［答案］A

［解析］

［分析］先求所有乘坐情况，再求两个小孩单独乘坐一辆车的情况，即可求出结果.

［详解］6人乘坐的所有情况有或+C；=15X2+20=50,

两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C；=2,

所以两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50-2=48,

故选：A

8.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补

原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一

个图形，则后一图形的面积或体积保持不变利用这个原理，解决下面问题：已知函数/（x）满足

/、/、r1log(2-%),0<X<1/\

"4一x)=/(x),且当xw［0,2］时的解析式为/(x)=B72，则函数y=/(x)在

log?X,1<X_L

xe［0,4］的图象与直线丁=一1围成封闭图形的面积是()

A.2B.210g23C.4D.41og23

［答案］C

［解析］

［分析］根据题设“出入相补原理”，结合函数y=在xe［0,4］的图象与直线y=-l围成封闭图形的特

征及其对称性，应用数形结合的方法，移补图形可得矩形即可求面积.

/、f—log,(2-x),0<x<1

［详解］由题意知：关于x=2对称，而/(%)=(62,c，且/(0)=/(4)=-1,

\'［log2x,\<x<2

/(2)=1,

.•.在xe[0,4],f(x)、)(4一幻及y=-l的图象如下,

将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、

y轴、y=l、x=4所围成的矩形的面积，

二函数y=/(x)在工«()，4］的图象与直线尸一1围成封闭图形的面积为4.

故选：C

［点睛］关键点点睛：利用函数的对称性及端点值，应用数形结合及“出入相补原理”，可将所围成的图形转

化为由x轴、y轴、y=l、x=4所围成的矩形.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图、从事该行业岗位分布条形

图，如图所示：

39.6%

本科

15%

黠\at3o%

।消唱腾8%

6.5%

11.6%

技术运营市场设计职能产品其他

则下列说法正确的是().

A.该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上

B.该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%

C.该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生

D.该高科技行业中从事技术岗位的人员主要是博士

［答案］AB

［解析］

［分析］根据两个图形进行数据分析可得.

［详解］从饼状图知该高科技行业从业人员中学历为博士的占55%,占一半以上，A正确；

从条形图该高科技行业中从事技术岗位的人数为总人数的39.6%,B正确；

两个图形中没有反应从事的职业与学历的关系，CD错.

故选：AB.

10.已知/(x)=2c32s:+Gs%2ox—1(0>0)的最小正周期为万，则下列说法正确的有()

A69=2

B.函数/(x)在［0,马上为增函数

C.直线x=?是函数y=/(x)图象的一条对称轴

D.彰兀,0是函数y=图象的一个对称中心

［答案］BD

［解析］

［分析］

首先化简函数小）=2可25+£|,根据周期求

。=1,然后再判断三角函数的性质.

［详解］/(x)=cos26yx+百sin2,0%=2sin(2s+V

女”，二0=1

2（o

［

=2sin2%?,故A不正确;

TTJT7/JT

当xe0,-时，2x+-e是函数y=sinx的单调递增区间，故B正确;

6662

jrIT7T57r、冗!

当尤=—时，2x—+—=,，sin—=—7±1,所以不是函数的对称轴，故C不正确；、

336662

,5万,-5万乃sin%=0,所以W，0）是函数＞=/（%）的一个对称中心，故D正确.

当x=—时，2X------1----=71，

12126

故选：BD

［点睛］本题考查三角函数的化简和三角函数的性质，本题的思路是整体代入的思想，属于基础题型.

11.如图所示，在棱长为2的正方体A3CD-4与GA中，P,。分别是线段8a,AC上的动点，则下

列说法正确的有（）

A.线段P。长度的最小值为2

B.满足PQ=20的情况只有4种

C.无论P,。如何运动，直线PQ都不可能与8。垂直

D.三棱锥P-A8Q的体积大小只与点。的位置有关，与点尸的位置无关

［答案］ABD

［解析］

［分析］对于A选项，当P，Q分别是线段耳0,AC的中点时，满足；对于B选项，PQ=2/只能是

AA，CA，A4，Cq四种；对于C选项，当P与8'点重合，点。与。点重合时，故PQLB。；对于D

选项，由于点P到平面A3。的距离是2,底面AQBA的面积随着点。的移动而变化即可得答案..

［详解］对于A选项，当P,。分别是线段用。，AC的中点时，PQ是异面直线用。，AC的公垂线，此

时线段PQ长度最小，为2,故A选项正确；

对于B选项，PQ=2&只能是面对角线，此时PQ可以是A",C9，A片,。用四种，故B选项正确；

对于C选项，当P与8'点重合，点。与C点重合时，此时的直线P。（即AC）与平面BG。垂直，故

PQ±BDX,故c选项错误；

对于D选项，由于点P到平面A8Q的距离是2,底面AQBA的面积随着点。的移动而变化，所以三棱锥

尸-ABQ的体积大小只与点Q的位置有关，与点P的位置无关，故D选项正确.

故选：ABD

［点睛］本题考查空间线线，线面位置关系和距离体积的求法，考查运算和推理能力，转化思想，数形结合思

想，是中档题.本题解题的关键在于取特殊的点，寻找使得条件成立的实例，进而求解.

12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，

再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得

到数歹IJ143,5,2；…；第〃（〃eN*）次得到数列1,%,乙，如…，4,2；…记

an=l+xy+x2+---+xk+2,数列｛为｝的前〃项为S,，则（）

33/,+

A.%+1=2"B.a”+］=3。“-3C.cin-耳（"一+3"）D.Sn——^3'+2〃—3）

［答案］ABD

［解析］

［分析］根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.

［详解］由题意可知，第1次得到数列1,3,2,此时％=1

第2次得到数列143,5,2,此时左=3

第3次得至IJ数歹U1,5,4,738,5,7,2,此时k=7

第4次得至IJ数歹U1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2,此时左=15

第〃次得到数列1,王，X2,孙…，Z，2此时％=2"-1

所以左+1=2"，故A项正确;

4=3+3

a2=3+3+9

结合A项中列出的数列可得:

%=3+3+9+27

4=3+3+9+27+81

=4=3+3'+32+...+3"(〃WN*)

用等比数列求和可得%=3+

3+史上U3«+2-3_3,,+23

则。，向=+

2~^~~r2

又3%-3=3[3+生上1邛+2Q

-3-9+--—2-33

22222

所以an+}=3an-3,故B项正确:

3+空心

由B项分析可知为

2I。』）

即产|（〃2+3〃），故C项错误.

5“=。|+。2+/+■•.+/

32(1-3")

3

1—3+一〃

22

3*即_23

=—（3e+2〃—3）,故D项正确.

~4~T-4

故选：ABD.

［点睛］本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华

罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方，是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂

问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了，钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量a=(l,/n),Z?=(2,l),且Z?-(2a+»=7,则m=.

［答案］-1

［解析］

［分析］向量数量积的坐标表示，列式求加.

［详解］2日+5=(4,2〃2+1),;B+5)=7,

.1.2x4+2m+l=7,

解得：m=-\.

故答案为：一1

14.已知sinacosa==，且ae的值为

8

［解析］

3

［分析］根据sinacosc=二求出sine+cosa,再利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简原式即可求得.

8

［详解］由题意，(sina+cosa)2=l+2sinocos。=—

4

又ae,所以sina+cos。＞0,则sina+cosa=

cos2cr-sin2a(cosa-sina)(cosa+sina)\/14

——(sina-cosa)——(sina-cosa)

故答案为：一位

2

15.任取一个正整数〃?，若根是奇数，就将该数乘3再加上1：若，"是偶数，就将该数除以2.反复进行上

述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-2-1,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角

谷猜想”等)，若加=5,则经过________次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1,则〃?的可能值之和为

［答案］⑴.5(2).41

［解析］

［分析］

(1)设4=1,根据“冰雹猜想”，分别写出后面的项，直至为1,求解；(2)若第5次步骤后变成1,则必=1，

根据“冰雹猜想”，写出前面的项，直至6,求所有可能的首项.

［详解］⑴当=5时，q=5,4=5x3+1=16,4=8，%=4,%=2,4=1，

所以需5次步骤后变成1；

(2)若第5次步骤后变成1,则。6=1，%=2，4=4，%=8或1，

当%=8,々=16,%=32或q=5；

当/=1时，1=2,4/1=4,

所以加的可能值是{4,5,32},“的可能值的和是4+5+32=41.

故答案为：5；41

［点睛］易错点点睛：当首项为〃?时，注意次数指项数-1，第二问，注意两种变换，有两个值，不要丢根・

16.已知过抛物线焦点尸的直线与抛物线交于A,B两点,过坐标原点。的直线与双曲线

22

二-4=1(“>0力>0)交于A/,N两点，点P是双曲线上一点，且直线PM，PN的斜率分别为匕，k,

a~b~2

若不等式(/|+4|z：2|)(|AF\-\BF\)>\AF\+\BF\恒成立，则双曲线的离心率为.

［答案］0

［解析］

［分析］由(图+4闷)(5用・|3用以4用+|斯|可得网+4网2曲幅=忸耳+前，直线4?

为x=my+L设A(%,y),3(x,,%)，然后将直线方程与抛物线方程联立，消去工,利用根与系数的关系,

4

11,

结合已知可得而+丽=4,由题意可得M，N关于原点对称，所以设"(小，%)，N(-/，-%)，

PG，%)，可得"2=勺，再利用基本不等式可得同+4网22师两=4x',从而可得4x，=4,

进而可求出双曲线的离心率

［详解］解:由驹+4冏)(|AF|•|"|)才他|+1|恒成立,

可得同+4网2鬻喘=盛+/p

因为V=x,所以/（•！,（）），则设直线A8为x=+设&知乂）,8（%,力），令弘>0,%<0,

44

［1

\x-my+—211

由，4,得y-my-=0,则y+%=相，,%=一：，

U=x

2

因为|AF|=JU版闻，忸F|=J?+m|y2|,

1yl+|%|=回一％|=4%+%）2-4必%=JM+I,

所以「，J"/.、i小1+冈

,1^1M后才闻帆|）

所以网+4冏“恒成立,

因为直线MN过原点，所以M，N关于原点对称,

设M（Xo，yo）,N（—Xo，-%），P（X3，%），

22

因为点尸（当，％）在双曲线上，所以之一冬=1,

a"b~

22

所以女他=上山・丛土瓦=乌二咚

七一天）%3+玉）％3—7）

1r22力2

=—―^/（勺一1）—/（々-1）］==，

忍一/_aa~a

所以同+4k2怛2网丽［=4x3,当且仅当同=4网时取等号，

b

所以4x—=4,所以人=a,所以02=匕2+。2=2",即’=及。，

a

所以离心率为e=£=V2,

a

故答案为：72

［点睛］关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查基本不等式的应用，解题的关键是由

/­I、I.I|AFBF11

（同+4闷）（|河|・|5尸|）习4可+|3”恒成立，可得同+川图2高||+鬲|=|西+而，而求得

血+亩=4,由基本不等式得网+4闷22历祠=4xg,从而可得4xg=4,考查计算能力和

转化思想，属于中档题

四、解答题：本题包括6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

TTJT

17.在平面四边形ABCD中，ZABC=-,ZADC=-,BC=4.

32

(1)若△ABC的面积为3括，求AC；

⑵若AD=>NACB=AACDH—,求tanNACD.

［答案］(i)Jii；(2)£L

7

［解析］

分析］(1)应用三角形面积公式有SaA8c=gAB-8C-sinNABC,可求A3，由余弦定理即可求AC；

AnAr

(2)设NACD=a,在用八4。中AC=——,在△ABC中应用正弦定理有-------=----------

sinasinZBACsinZABC

即可求tan。，得解.

jr

［详解］(1)在△ABC中，BC=4,NABC=一,

3

S^BC=1AB-BC-sinZABC=3y/3,可得A8=3,

在△ABC中，由余弦定理得AC?=.2+8。2一24?.8(；85乙钻。=13，

njr

(2)设ZAO)=a,则/AC8=NACO+-=a+-,

33

在HAACD中，AD=3日易知：4。=上~=上叵，

sinasina

TT

△ABC中，ZBAC=TT-ZACB-ZABC=一一a,

3

43G

BCAC

由正弦定理得即./71、6.

sinABACsinZABCsin-a——sincr

(3)2

3G3.可得tana=±叵，即tanZACD=之亚.

/.2sina=3sin(——a)=---cosa——sina

2277

18.已知｛q｝是递增的等比数列，前3项和为13,且3q,5%,3%成等差数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵各项均为正数的数列也｝的首项仇=1,其前〃项和为S,,且，若数列｛c„｝满足c„=anbn,求｛c„｝

的前〃项和刀「在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题.①a=26-1；

②多=27+々用(〃22),优=3；③S“—邑_1=疯+67(〃22).注：如果选择多个条件分别解答，

按第一个解答计分.

［答案］⑴a“=3"T；(2)答案见解析.

［解析］

［分析］(D设数列｛q｝的公比为q,由题意联立方程组求出外和q即可求解；

⑵选择①：将仇+1=2区两边平方，根据d=5.-5,1(〃22)可得勿一41=2(〃22),由等差数列

的定义知数列｛4｝是等差数列，从而可求出。“通项公式，进而可得c“，最后利用错位相减法即可求解数列

｛%｝的前〃项和7.；

选择②：因为2d="_1+。,川(〃22),瓦=3,所以由等差中项公式可得数列｛a｝是等差数列，从而求出

求出力，以下同①;

选择③：由S“一=卮+£:得后一拖二=1，所以｛£｝为等差的数列，从而可求后，进而

S.(n-1)

得S〃，再根据勿=；'c)(求出力，以下同①.

［S“-S,i("N2)

［详解］解：(1)设数列｛《,｝的公比为夕，

4+%+%=13=10

由题意有，所以《

10g=3《+3%

31

所以一+3q=10,即3q2_]0q+3=0,解得q=—或q=3

Q3

因为｛4｝是递增的等比数列，所以4>1,所以4=3,

所以6=1,所以q=3"，

(2)选择①：因为〃=2底—1,

所以4S,="+2b,+1,45„,,=反।+1(〃22),

两式相减得改=此一%+2(瓦—如)(〃22),即(2+”.)(—)=0(〃>2),

因为#0(〃22),所以/一2_|=2(〃22)

所以数列｛2｝是以仇=1为首项，2为公差的等差数列，

故d=1+2(〃-1)=2〃-1,因此g=(2〃-1>3”1,

7；=lx3°+3x3l+5x32+...(2n-l)x3n-1,

37；,=lx31+3x32+5x33+---(2n-l)x3n,

两式相减得一27；=1+2(『+3?+…+3"T)-(2〃-1)•3”,

即—27；=1+2，。3_^_(2〃_1>3"=]_3(1_3"，_(2"_1>3”

1—3

=—2+3"-(2〃-1)-3"=-2-(2〃一2>3”,

所以+

选择②：由2b„=如+bn+l(n>2),仇=3,

所以数列｛%｝是以仇=1为首项，2为公差的等差数列，故2=1+2(〃-1)=2〃-1,

因此c.=(2〃—以下同①；

选择③：由s.一5,一=底+瓦得S—67=1，

，｛底｝是以1为首项1为公差的等差的数列，£=〃，

S„=n2,所以〃=S“一Si=2〃一1(〃22),检验〃=1时也满足，

所以2=2〃—1,c,=(2〃—以下同①.

［点睛］方法点睛：一般地，如果数列｛小｝是等差数列，｛仇｝是等比数列，求数列｛斯•5｝的前〃项和时，可采

用错位相减法求和，具体步骤是在和式两边同时乘以等比数列｛d｝的公比，然后作差求解.

19.如图，己知斜三棱柱ABC-A4G的底面是正三角形，点”，N分别是gG和44的中点,

⑴求证：BN_L平面AAG；

(2)求二面角M—AB—C的余弦值.

［答案］⑴证明见解析；⑵冬

［解析］

［分析］(1)通过判断BN±AA和BN上MN即可证明；

(2)取A3的中点。，连结A。，以点。为原点建立空间直角坐标系，求得平面M43和平面A3C的一个

法向量，利用向量关系即可求解.

［详解］(1)证明：连结MN,AtB,侧面是平行四边形，且44,43=60。，

所以AAR4正三角形，

又点N分别是AB|的中点，所以BNJ.AM

又因为A，&—AB—BM-2,所以BN-V3»MN=1.

所以BN?+MM=BM：所以BNLMN,

又％B、cMN=N,所以BN平面44G.

(2)取AB的中点。，连结A。，则4O//BN.

由(1)知4。_1_平面ABC,COLAB,

如图，以点。为原点，直线OE,oc,。4所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

CJj3

则。((),(),0),A(O,-1,O),3(0,1,0),C(G,0,0),A(0,0,G),4(0,2,百)，M—,-,>/3

I、22

设平面MAB的一个法向量为)=(x,y,z),

则1_L次7,n.LBM.

亭+Ty+V3z=0

所以《,可取)=(2,0,-1),

4^1y+y/3z-0

易得平面ABC的一个法向量为后=（0,0』）

——n.-n->

所以cosy2>=m^=

M•同

因为二面角4-AB-M为锐角，所以其余弦值为手

［点睛］思路点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破’‘：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角

坐标系；第二，