简单三角恒等变换MicrosoftWord文档行业资料

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13.2简洁的三角恒等变换（一）

一．教学目标

1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高同学的推理力量。

2、理解并把握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简洁的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。

3、通过例题的解答，引导同学对变换对象目标进行对比、分析，促使同学形成对解题过程中如何选择公式，如何依据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的熟悉，从而加深理解变换思想，提高同学的推理力量．

二、教学重难点

熟悉三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的力量．

三、教学过程：

（一）复习：三角函数的和（差）公式，倍角公式

βαβαβαsincoscossin)sin(-=-βαβαβαsincoscossin)sin(+=+βαβαβαsinsincoscos)cos(+=-βαβαβαsinsincoscos)cos(-=+βαβαβαtantan1tantan)tan(?+-=-βαβαβαtantan1tantan)tan(?-+=+sin2sinsincoscossin2sincosααααααααα

=+=+=22222cos2cossin1sinsin12sinαααααα=-=--=-；

22222cos2cossincos(1cos)2cos1αααααα=-=--=-；

2tantan2tantan2tan1tantan1tanααααααααα+=+=

=--．（二）新课讲解：

1、由二倍角公式引导同学思索：2αα与

有什么样的关系？例1、试以cosα表示222sin,cos,tan222α

α

α

．

2解：我们可以通过二倍角2cos2cos

12αα=-和2cos12sin2αα=-来做此题．由于2cos12sin

2αα=-，可以得到21cossin22αα-=；由于2cos2cos12αα=-，可以得到21coscos22α

α+=

．又由于222

sin1cos2tan21coscos2α

α

ααα-==+．思索：代数式变换与三角变换有什么不同？

代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换经常首先查找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．

例2．已知135sin=

α，且α在第三象限，求2tanα的值。例3、求证：

（１）、1sincossinsin2αβαβαβ=++-???

?；（２）、sinsin2sincos22θ?

θ?

θ?+-+=．

证明：（１）由于sinαβ+和sinαβ-是我们所学习过的学问，因此我们从等式右边着手．

sinsincoscossinαβαβαβ

+=+；sinsincoscossinαβαβαβ-=-．

两式相加得2sincossinsinαβαβαβ=++-；即1sincossinsin2αβαβαβ=++-???

?；（２）由（１）得sinsin2sincosαβαβαβ++-=①；设,αβθαβ?+=-=，那么,22θ?

θ?

αβ+-==．

把,αβ的值代入①式中得sinsin2sincos22θ?

θ?

θ?+-+=．

3例3证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式。

3.2简洁的三角恒等变换（二）

一、教学目标

1、通过三角恒等变形，形如xbxacossin+的函数转化为)sin(?+=xAy的函数；

2、敏捷利用公式，通过三角恒等变形，解决函数的最值、周期、单调性等问题。

二、教学重点与难点

重点：三角恒等变形的应用。

难点：三角恒等变形。

三、教学过程

（一）复习：二倍角公式。

（二）例题讲解

例1：.54sin,20=απ

α已知的值求αααα2coscos2sinsin)1(22++；的值求)45tan2(πα-．解：（1）由,54sin,20=απ

α得,5

3cos=α.201

cos3cossin2sin2coscos2sinsin2222=-+=++∴αααααααα（2）.7

1tan11tan)45tan(,34cossintan=+-=-==ααπαααα例2．.10tan3150sin）（利用三角公式化简?+?解：）（原式?

?+?=10cos10sin3150sin??+???=10cos)10sin2310cos21(250sin?

??+???

?=10cos10sin30cos10cos30sin50sin2????=10cos40sin40cos2110cos10cos10cos80sin=??=??=.例３．已知函数xxxxxf4

4sincossin2cos)(--=

（1）求)(xf的最小正周期；

4（2）（2）当]2,

0[π∈x时，求)(xf的最小值及取得最小值时x的集合．例4．若函数]2

0[cos22sin3)(2π

，mxxxf在区间++=上的最大值为6，求常数m的值及此函数当Rx∈时的最小值及取得最小值时x的集合。

留意：常见的三角变形技巧有

①切割化弦；

②“1”的变用；

③统一角度，统一函数，统一形式等等．

3.2简洁的三角恒等变换（三）

一、教学目标

1.娴熟把握三角公式及其变形公式．

2.抓住角、函数式得特点，敏捷运用三角公式解决一些实际问题．

二、教学重难点

（1）和、差、倍角公式的敏捷应用．

（2）如何敏捷应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明．

三、教学过程

例1.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为3π

的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇

形的内接矩形.记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.

例2：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法能使横截面的面积最大？（分别设边与角为自变量）

解：（1）如图，设矩形长为l，则面积224lRlS+=，

所以,4)4(22222222lRllRlS+-=-=当且仅当,22422

2

RRl==

5即Rl2=时，2S取得最大值44R，此时S取得最大值22R，矩形的宽为

RR

R2222

=即长、宽相等，矩形为圆内接正方形.（2）设角为自变量，设对角线与一条边的夹角为θ，矩形长与宽分别为

θsin2R、θcos2R，所以面积θθθ2sin2sin2cos22RRRS=?=.

而12sin≤θ，所以22RS≤，当且仅当12sin=θ时，S取最大值22R，所以当且仅当

?=902θ即?=45θ时，S取最大值，此