空间一般力系

3、空间一般力系3.1内容提要3.1.1力在轴上的投影力在轴上的投影祥见表3-1表3-1力在轴上的投影内容表达式角度含义直接投影法、、分别为力与坐标轴x、y、z正向间夹角时二次投影法θ为力与平面Oxy的夹角，为力在Oxy平面上的投影与x轴的夹角3.1.2力对点的矩和力对轴的矩有关力矩的概念祥见表3-2表3-2力矩内容表达式定义力对点之矩力对点之矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积力对轴之矩力对轴之矩是代数量。力对任一轴z的矩，等于力在垂直于该轴的平面Oxy上的投影对该轴与该平面的交点O的矩，正负号按右手螺旋法则确定力矩关系定理力对某点O之矩矢在过此点任一轴上的投影，等于此力对该轴之矩合力矩定理合力对某轴之矩，等于各分力对同一轴之矩的代数和3.1.3空间一般力系的简化空间任意力系向任一点简化空间一般力系向简化中心简化，可得主矢和主矩，其结果见表3-3。表3-3主矢和主矩内容表达式定义主矢主矢等于原力系中各力的矢量和，与简化中心O的位置无关。主矩主矩等于原力系中各力对简化中心O点之矩的矢量和，一般情况下，它与简化中心的位置有关。2、空间一般力系简化的最后结果空间一般力系简化的最后结果见表3-4表3-4空间一般力系的最后简化结果主矢主矩最后结果说明平衡空间一般力系平衡的充要条件合力偶此时主矩与简化中心的位置无关合力合力作用线通过简化中心合力作用线到简化中心的距离力螺旋力螺旋中心轴通过简化中心与成角力螺旋中心轴到简化中心距离3.1.4空间一般力系的平衡空间一般力系是力系的最一般形式，其平衡的充要条件是，力系的主矢和对任一点O的主矩都等于零，即，空间力系的平衡方程见表3-5。表3-5空间力系平衡方程力系平衡方程空间一般力系空间特殊力系空间汇交力系，，空间力偶系，，空间平行力系，，（力系中各力与轴z平行）3.2解题要点空间一般力系的题型可分为空间力系的简化问题和平衡问题两大类。物体在空间力系作用下的平衡问题的解题方法和步骤与平面问题基本相同。但求解空间问题时，要有清晰的空间概念，熟练掌握力在轴上的投影和力对轴之矩。3、为了简化计算，在选取投影抽与力拒轴时，投影轴要与尽可能多的未知力或其所在的平面相垂直，力矩轴应与尽可能多的未知力相交或平行．投影轴不一定要彼此垂直，也不一定要与力矩轴相重合。在列平衡方程时，可用适当的力矩方程取代投影方程，即可采用四矩式、五矩式或六矩式的平衡方程，只要所建立的平衡方程是彼此独立的，就能解出全部未知量。4.解空间力系平衡问题时，有时采用将该力系向三个相互垂直的坐标平面投影的方法，将空间力系化为三个平面力系分别求解。采用此法时，必须注意各力在投影面上投影的大小、方向及作用点的位置。3.3范例分析例3-1图3-1(a)为直角三棱柱。其上作用力系：:F1=200N,=100N，试求该力系在各轴上的投影及对轴之矩。图3-1解解题思路：F1在轴上的投影可按直接投影法计算，对轴之矩可用力对轴之矩的解析式计算；组成一个空间力偶矩矢M1=F2×0.2=20N·m，如图（b）所示，对轴之矩直接投影即可。例3-2均质矩形板ABCD重P=200N，作用在其对角线交点上，矩形板用球形铰链A和蝶形铰链B固定在墙上，并用绳子CE维持在水平位置如图3-2（a）所示，若α=30°，试求绳子的拉力以及铰链A,B的反力。图3-2解解题思路：取矩形板为研究对象，空间球形铰链A的约束反力可用三个互相垂直的分力来表示。而蝶形铰链轴向的约束反力和垂直于轴向的约束力偶可以忽略，故约束反力的作用线在垂直于铰链轴的平面内。作用在板上的力组成一个空间任意力系，它有六个平衡方程，可求解六个未知力。（1）取矩形板为研究对象，受力图如图（b）所示。为便于计算绳子拉力F对x，y轴之矩，可将力F分解成平行于z轴的分力Fz=Fsin30°，与在板平面内的分力Fxy=Fcos30°。（2）建立空间任意力系的平衡方程：， （1），（2），（3），（4），（5），（6）[讨论]空间力系的平衡方程建立次序可以随意，一般，首先建立的是不用解联立方程的力矩平衡方程。应尽可能使一个方程包含一个未知量，使未知量从方程中直接解出。最后还可以用非独立的平衡方程来校核所得约束力。如对DB线用平衡方程来校核力F，FAz的值。例3-3图3-3（a）所示电杆OD高7m，D处受水平力F=10kN作用。O处视为球铰支座，A处以钢索AB、AC与地面相连，略去电杆自重。试求钢索拉力及支座反力。解：解题思路：电杆OD受已知力F、钢索的拉力F1与F2以及球铰支座O处的反力FOx、FOy、FOz作用，计有5个未知量，可由空间一般力系平衡方程的基本形式求解。OD杆的受力如图（b）所示。对图示坐标系，列平衡方程图3-3，（1），（2），（3），（4）（5）由图示几何关系知：，联立求解上述5个平衡方程，可得，FOx=0，FOy=–4kN，FOz=17.5kN其中，负号表示约束反力的实际方向与假设的方向相反。讨论为了避免解联立方程组，如何合理选取力矩轴？理论依据是当力与轴相交或平行时，力对该轴之矩等于零。首先，欲使力矩平衡方程中不出现F1及F2，可过F1、F2交点A作及轴（图b），此时力F、FOy、FOz与轴共面，则这些力对轴之矩为零。故应以轴为矩轴。即，得同理，应以轴为矩轴列为矩平衡方程。由于已求出，在下面建立平衡方程时，可不再考虑。由，得其次以F1、F2的交线BC为矩轴，即，得最后，求F1及F2。分别以OC及OB为力矩轴，列出力矩平衡方程，，可解出应注意到，在上式的力矩计算中，应用了力矩关系定理。例如，当求时，是将力对O点之矩先表示为矩矢，再投影到OC轴上。在本例中还可应用对CG及BE轴的力矩平衡方程，以求解F1及F2。综上述可知，由于合理地选取了力矩轴，并以力矩方程代替了投影方程，使得每个未知量都可由一个平衡方程单独解出来。既避免了解联立方程组，又可避免由于数值计算而产生误差的传播。例3-4在铅垂轴AB上有一个水平圆盘。A点为向心轴承，B点为止推轴承。盘上C点有力F作用，在转轴上绕有一软绳，绳的一端悬挂有重物P，如图3-4（a）所示。已知：P=100KN，r1=0.2m,r2=0.5m,a=1m,α=30°,β=60°.试求平衡时力F及轴承反力。解解题思路：先对z轴取矩，列平衡方程，求出力F，然后再求出A及B处的反力。图3-4(1)选取AB物体为研究对象，A点具有两个方向的轴向约束,B点具有三个方向的轴向约束，将传动轴上软绳分割。显然，分割后绳子的拉力为P值。物体的受力图见图(b)，为方便地建立平衡方程，可将力F分解成三个轴向的分力，按二次投影法，可得各分力大小为：Fx=Fcos60°cos30°，Fy=Fcos260°，Fy=Fsin60°。在作力F的二次投影时，可以作辅助图（c）来表示。(2)按尽可能避免求解联立方程的原则建立方程：，得F=80kN，得FAy=63﹒3kN，得FAx=–17﹒3kN，得：FBx=–17﹒3kN，得FBy=56﹒7kN，得FBz=69﹒3kN讨论：对空间一般力系的平衡问题，可先将空间力沿三个坐标轴方向分解，然后再列平衡方程求解，较为方便。例3-5边长为a的等边三角形板ABC用三根铅直杆1、2、3和三根与水平面各成30°角的斜杆4、5、6支撑在水平位置。在板的平面内作用有力偶M，如图3-5(a)所示。板和各杆的自重不计，求各杆的内力。图3-5解：解题思路：因支撑三角板的杆都是二力杆，故用截面法将各杆截开，取三角板为研究对象，受力如图（b）所示。它们构成空间一般力系，有六个未知量，可用空间一般力系平衡方程式求解。下面分别用三种方法求解。[方法一]用空间力系一般形式的平衡方程式求解。坐标系Dxyz如图（b）所示。，（1）得，（2）得，（3）得，得（4），（5）得，（6）得上述求得的结果为各杆内力的大小。负号说明杆件受压。在上面的分析中，我们应用了空间任意力系平衡方程的基本形式。与平面任意力系一样，空间任意力系平衡方程也有其他形式。我们可以根据需要选择投影轴或力矩轴，用力矩方程部分或全部地代替上述中的三个投影方程。[方法二]，（1）得，（2）得，（3）得，（4）得，（5）得，（6）得[方法三]本题中，结构对称，荷载也对称，所以反力也应该对称，即F1=F2=F3，F4=F5=F6因此，只有列出两个平衡方程，就可求出各杆内力。讨论：（1）由上述三种方法可知，合理选择投影轴和力矩轴对求解空间力系的平衡问题尤为重要。同时，不一定总要使三个力矩轴分别与投影轴重合；而且也不一定要采用三个投影式和三个力矩标准形式的平衡方程来求解。只要根据具体问题灵活选用，就能使求解简便。（2）根据结构对称或荷载对称条件，也会给求解带来方便。选不同力矩轴和投影轴建立平衡方程有一定的限制。当然，要判别任意写出的六个平衡方程是否独立是一个比较复杂的问题。但是，如果一个方程能解出一个未知量，这不仅避免了解联立方程，而且这个方程也一定是独立的。所以，在列平衡方程的其他形式时，要尽可能地使方程中只含有一个未知数。例3-6已知均质杆AB和BC分别重为P和Q，A和C用球形铰链支座连接在水平面上，另一端B用球形铰链相连，靠在光滑的墙上，AC与墙与地面的交线平行，，AC=AO，杆AB与水平线交角为45°，如图3-6（a）所示。试求A、C的支座反力及墙上B点所受的压力。（b）图3-6解：解题思路：本题为空间力系的物系平衡问题，可分别取整体及其中一部分为研究对象，列平衡方程求解。列平衡方程时应合理地选取力矩轴以避免解联立方程。1、以整体为研究对象，受力图如图（a）所示，应注意两杆在B点铰接后靠在墙上，故B处为光华面约束。为方便计，取辅助坐标轴和。，得，得，得，得，得，2、以杆AB为研究对象，受力图见图（b）。，得讨论：对于空间力系的物系平衡问题，应特别注意研究对象及力矩轴、投影轴的选取，避免求解联立方程。3.4课后练习3.4.1是非题1、一空间力系，若各力的作用线不是通过固定点A，就是通过固定点B，则其独立的平衡方程式只有5个。（）2、若空间力系各力的作用线都垂直某固定平面，则其独立的平衡方程最多有3个。（）3、一空间力系，对不共线的任意三点的主矩均等于零，则该力系平衡。（）4、物体的重心和形心虽然是两个不同的概念，但它们的位置却总是重合的。（）3.4.2填空题1、通过A（3，0，0）、B（0，1，2）两点（长度单位为m），由A指向B的力在z轴上的投影为，对z轴之矩为。2、图3-7中力，力对x轴之矩为，对y轴之矩为，对z轴之矩为。图3-7图3-83、已知力F和长方体的边长a、b、c及角、，如图3-8所示，力F对AB轴之矩的大小为。4、边长为的立方体，受三个力作用，如图3-9所示。设，则此力系的简化结果为。FF1oF3F2xyz图3-93.4.3选择题空间力矩是（）。（a）标量；（b）定点矢量；（c）滑动矢量；（d）自由矢量。空间力偶矩是（）。标量；（b）定点矢量；（c）滑动矢量；（d）自由矢量。3、正立方体的顶角上作用着6个大小相等的力，如图3-10所示。此力系向任一点简化的结果是（）。（a）主矢等于零，主矩不等于零（b）主矢不等于零，主矩也不等于零（c）主矢不等于零，主矩等于零（d）主矢等于零，主矩也等于零图3-104、正立方体的前侧面沿AB方向作用一力F，如图3-11所示。该力（）。（a）对x、y、z轴之矩全相等（b）对三轴之矩全不相等（c）对x、y轴之矩相等（d）对y、z轴之矩相等图3-115、在一个正方体上沿棱边作用6个力，各力的大小都等于F，如图3-12所示。此力系的最终简化结果为（）。合力（b）平衡(c)合力偶(d)力螺旋图3-123.4.4计算题3-1正方体的边长a=20cm，力F沿对顶线AB作用，如图3-13所示，其大小以AB线的长度表示，每1cm代表10N。试求：力F在各坐标轴上的投影，（2）力F对各坐标轴之矩，（3）力F对O点的矩矢。答案：（1）X=–200N，Y=Z=200N（2），，（3）3-2均质等腰三角形薄板ABC，重为P，用球铰A及不计自重的细杆BE、BD及CD维持于水平位置上，如图3-14所示。没EA=AB=BC=a，试求A处的反力及各杆的内力。答案：，，，，