实验二自适应信号滤波

数字信号处理实验二班级：电信硕3122学号：3113313052姓名：王晓杰实验二自适应信号滤波一、实验目的利用自适应LMS算法实现FIR最正确维纳滤波器。观察影响自适应LMS算法收敛性，收敛速度以及失调量的各种因素，领会自适应信号处理方法的优缺点。通过实现AR模型参数的自适应估计，了解自适应信号处理方法的应用。二、实验原理如果信号是由有用信号和干扰信号组成，即 〔2－1〕利用维纳滤波方法可以从信号中得到有用信号的最正确估计。假设最正确维纳滤波器由一个FIR滤波器所构成，那么其最正确权系数向量h可表示为 〔2－2〕其中 〔2－3〕〔2－4〕 〔2－5〕 〔2－6〕但是实际中，一般很难知道准确的统计量R和r，因此，假设设计一个维纳滤波器,事先要估计出R和r。同时，当R和r改变时〔如果信号或干扰是非平稳的〕，需要重新计算h，这是非常不方便的。虽然卡尔曼滤波方法无需事先知道R和r，但它必须知道系统的状态方程和噪声的统计特性，这在实际中也是很难办到的。根据卡尔曼滤波的思想，Widrow等提出了一种自适应最小均方误差算法(LMS)，这种算法不需要事先知道相关矩阵R和r，当得到一个观察值，滤波器自动“学习〞所需要的相关函数，从而调整FIR滤波器的权系数，并最终使之收敛于最正确值，即维纳解。下面是自适应FIR维纳滤波器的LMS算法公式： 〔2－7〕〔2－8〕〔2－9〕因此，给定初始值，每得到一个样本，可以递归得到一组新的滤波器权系数，只要步长满足 〔2－10〕其中为矩阵R的最大特征值，当时，收敛于维纳解。为说明自适应滤波方法的根本原理，我们首先考察一个最简单的滤波器，它仅有一个权系数〔如图2.1所示〕。假设信号由下式确定:〔2－11〕〔2－12〕图2.1其中为常数，与互不相关，我们希望利用和得到的估计。利用公式〔2-7〕，〔2-8〕和〔2-9〕，我们可以得到下面的自适应估计算法： 〔2－13〕 〔2－14〕其框图如图2.2所示。图2.2选择的初始值为，对式〔2-14〕取数学期望可得： 〔2－15〕其中 〔2－16〕因此，只要满足 〔2－17〕的条件，总归可以收敛于最正确值h，从而也逐渐地收敛于。自适应信号处理方法的应用十分广泛，其中一个非常重要的方面是用来进行参数估计。本实验第二局部就是利用LMS算法实现AR模型参数的估计。我们已经知道，如果信号为一个M阶的AR模型，即 〔2－18〕通过解Yule-Walker方程可以得到AR模型的参数估计，同样，利用LMS算法，我们也可以对AR模型的参数估计进行自适应估计，其算法如下： 〔2－19〕 〔2－20〕〔2－21〕这种算法的实现框图如图2.3所示。图2.3同样可以证明，只要步长值选择适宜，当时，上述自适应算法得到的也收敛于AR模型的参数。三、实验步骤及结果分析仔细阅读有关自适应滤波的内容，根据图2.4给出的框图，编制自适应滤波的通用程序。〔程序见附录一〕运行自适应滤波程序，观察并记录：和有何差异，分析原因。答：实验结果如图1：〔为蓝色点图，为红色线图〕图SEQ图\*ARABIC1如下图，从0开始递减，逐渐稳定在h=-0.8处，由于，其中，所以此时必然收敛于h。最终在0.8周围波动，由于，随着n的增大的在-0.8周围的波动范围会不断减小，对于的近似程度越来越好。自适应滤波效果如何〔比拟和〕？答：实验结果如图2：〔为蓝色线图，为红色点图〕图SEQ图\*ARABIC2如上图所示，随着L的增大和的相似程度在提高，在经过适应阶段以后滤波效果较好。但在值变化较大时，自适应滤波的略有增大。根据框图2.4产生100个样本和，利用实验一维纳滤波估计和，即将作为自适应滤波系统的输入，作为参考信号，自适应估计得出，再将与估计出的相卷积得到的估计。并与步骤2中的结果比拟。答：编程计算可得1000次的维纳滤波算法估计的的均值为-0.7996，自适应滤波方法1000次的均值为-0.7907。维纳滤波器的结果由于自适应滤波方法，但是维纳滤波器所需要的条件更加严格。改变，其它条件同步骤2，运行自适应滤波程序，观察并记录值的大小对的收敛性，收敛速度以及失调量的影响。答：当时，和如图3所示，和如图4所示：图SEQ图\*ARABIC3图SEQ图\*ARABIC4当时，和如图5所示，和如图6所示：图SEQ图\*ARABIC5图SEQ图\*ARABIC6当时，和如图7所示，和如图8所示：图SEQ图\*ARABIC7图SEQ图\*ARABIC8可见：随着步长因子越小时，收敛于h的速度越慢，但失调量变小；对于的近似方面，步长因子越大能以更快的速度近似，但是步长因子过大、过小都将不利于最终的滤波效果。因为R约为1且时才收敛，所以当µ=1时，不在收敛。步长因子µ决定了每次转移的长度，失调量M随着的增大而变大。改变，其它条件同步骤2，运行程序，观察的方差对自适应算法的收敛性，收敛速度以及失调量的影响。答：与时的实验结果分别如图9、10所示：图SEQ图\*ARABIC9图SEQ图\*ARABIC10对收敛速度没有影响。这是因为时间常数只取决于和，是特征值，其中与不相关，R与无关。对收敛性无影响。收敛性取决于步长因子的取值，必然收敛，与的取值无关。对失调量M没有影响。失调量，只与步长因子和输入的自相关函数有关，与噪声功率无关。仔细阅读有关自适应系统仿真的内容，按照图2.5给出的框图,编制自适应AR模型参数估计程序。〔程序见附录二〕运行自适应AR模型参数估计程序,选择,，观察并记录的收敛情况及和。答：参数取时，的收敛情况如图11所示：图SEQ图\*ARABIC11可见：a1与a2的估计值分别收敛于0.8与-1.3，在收敛值上下波动。利用100个，通过实验一解Yule-Walker方程的方法，得和估计和，与步骤7中的和比拟，有什么差异？为什么？答：使用实验一的解Yule-Walker方程方法，作1000次实验取平均获得的估计如下：，而用自适应的参数估计方法进行1000次的参数估计值平均值为。可见该估计值比自适应系统仿真算法得到的和要更接近理想值和。9.改变噪声的方差，其它条件同步骤7，观察的方差对自适应算法的收敛性，收敛速度以及失调量的影响。答：时，的收敛情况如图12：图SEQ图\*ARABIC12当样本个数L=10000时，的收敛情况如图13：图SEQ图\*ARABIC13〔1〕可见：的改变对于收敛性没有影响，收敛性仍然取决于步长因子取值。〔2〕变小，使收敛时间大幅上升。时间常数变大，AR模型中的大小直接影响了输入的相关性，从而影响了特征值。当变小时，变小，时间常数变大。〔3〕变小，使收敛时间大幅上升，而，大幅上升会使失调量下降。另一方面，超调量决定于步长设定是否合理以及输入的波动大小，变小意味着输入的波动变小，从而也能提高估计准确度，降低失调量。四、思考题在公式〔2-11〕中，和的方差变化对自适应算法的收敛性，收敛速度，失调量以及值的选择范围有何影响？答：〔1〕和的方差变化不会对收敛性产生影响，仅有步长因子决定。〔2〕的方差增大会导致自相关矩阵的迹的增大，由于，增大进而使得收敛速度变快。的方差对于无影响，所以对收敛速度无影响。〔3〕由上可知的方差增大使得变小，，当收敛速度变小时，失调量不可防止的增大。的方差对于无影响，所以对于失调量也没有影响。推导公式〔2-19〕至公式〔2-21〕答：推导过程如下：附录一clearallL=100;%根据实验要求变动h=-0.8;u=0.03;sigma=1;h_e=zeros(L,1);%定义h的估计矩阵h1=0;%赋值h_e(0)w=sqrt(sigma)*(randn(L,1));%生成高斯分布的wnx=sqrt(1)*(randn(L,1));%生成高斯分布的xns=h*x;y=s+w;R=xcorr(x,x','unbiased');r=R(L);%计算自相关%%%%%%%%%%%%%%h估计值计算%%%%%%%%%%%h_e(1)=h1+2*u*(y(1)-h1*x(1))*x(1);fori=1:Ls_e(i)=h_e(i)*x(i);h_e(i+1)=h_e(i)+2*u*(y(i)-h_e(i)*x(i))*x(i);E(i)=h+(1-2*u*r)^i*(h1-h);end%%%%%%%作图%%%%%figure(1),clfstem(s,'r')%画出理论sholdonplot(s_e,'b')%画出s的估计值title('理想情况下的s与自适应估计下的s')figure(2),clfplot(h_e,'r')%画出h的估计值holdonstem(E,'b')%h的期望值title('h估计值与h的期望值')附录二clearallL=100;%根据实验要求变动M=2;%阶数p=2;a1=-1.3;a2=0.8;u=0.01;%步长因子sigma=1;%噪声功率a10=0;a20=0;%令a1_e(0)、a2_e(0)为0al_e=zeros(1,L);a2_e=zeros(1,L);e=zeros(1,L);y=zeros(1,L);w=sqrt(sigma)*(randn(L,1));%生成高斯分布的wny(1)=0;y(2)=0;fori=3:Ly(i)=-a1*y(i-1)-a2*y(i-2)+w(i);%计算理论输出yend%%%%%%%%%%%估计值计算%%%%%%%%%%y_e(1)=0;y_e(2)=0;a1_e(1)=a10;a1_e(2)=a10;a1_e(3)=a10;a2_e(1)=a10;a1_e(2)=a10;a2_e(3)=a10;%估计值初值设定fori=3:Ly_e(i)=-a1_e(i)*y(i-1)-a2_e(i)*y(i-2);e(i)=y(i)-y_e(i);a1_e(i+1)=a1_e(i)-2*u*e(i)*y(i-1);a2_e(i+1)=a2_e(i)-2*u*e(i)*y(i-2);enda1_e=a1_e(1:L);a2_e=a2_e(1:L);%%%%%%%作图%%%%%figure(1),clfstem(y,'r')h