第11讲-均值不等式-中等难度-讲义

均值不等式引入1、利用作差法证明：证明：∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”．2、当a>0，b>0时，a＝(eq\r(a))2，b＝(eq\r(b))2.据此证明：a>0，b>0时，a＋b≥2eq\r(ab).证明：∵a＋b－2eq\r(ab)＝(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2－2eq\r(a)·eq\r(b)＝(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0.∴a＋b≥2eq\r(ab).解读1、等号成立条件对于任意实数，，当且仅当时，等号成立．证明：，当时，；当时，．，当且仅当时，等号成立．2、基本不等式如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立．此结论又称均值不等式或基本不等式．证明：，即，所以3、均值不等式的理解（1）对于任意两个实数，叫做的算术平均值，叫做的几何平均值．此定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数．（2）对于的理解应为是的充要条件．也就是如果，则．（3）注意和成立的条件不同．前者是，后者是4、极值定理（1）若（和为定值），则当时，取得最大值是；证明：都是正数，，有，，当且仅当时，取得最大值是；（2）若（积为定值），则当时，取得最小值是；证明：都是正数，，当且仅当时，等号成立．又，．【注意】利用极值定理求最大值或最小值是应注意：=1\*GB3①注意均值不等式的前提条件：函数式中的各项必须都是正数，在异号时不能运用均值不等式，在同负时可以先进行转化，再运用均值不等式；=2\*GB3②求积最大值时，应看和是否是定值；求和最小值时，看是否为定值．=3\*GB3③通过加减的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式；=4\*GB3④注意“1”的代换；=5\*GB3⑤等号是否成立:只有具备了不等式中等号成立的条件，才能使函数式取到最大或最小值．否则不能由均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值．5、运用均值不等式的前提有口诀：一正二定三相等．探究下面是基本不等式的一种几何解释，请你补充完整．如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于点D，连接AD，BD.由射影定理可知，CD＝，而OD＝，因为ODCD，所以,当且仅当C与O，即时,等号成立．答案：．OD＝，，，当且仅当点C与圆心O重合，即时，等号成立．典例精讲一．选择题（共15小题）1．（2018秋•延吉市校级期中）已知x＞0，y＞0，x+2yxy=2A．6 B．3+2 C．6+42 【分析】先由已知条件得到2x+1【解答】解：由于x+2yxy=1y+所以，x+4y≥3+22当且仅当8yx=x因此，x+4y的最小值为3+22故选：D．2．（2017秋•平顶山期末）若a，b∈R，ab＞0，则a4A．6 B．4 C．22 D．【分析】由a4+4b4+1【解答】解：∵a，b∈R，ab＞0，则a4+4b4+1当且仅当a4即a=142故选：B．3．（2018秋•海淀区期中）已知函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点(1A．1 B．2 C．4 D．8【分析】函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点(14，2)，可得lo【解答】解：函数f（x）=logax，g（x）=bx，的图象都经过点(1∴loga1解得a=12则ab=8．故选：D．4．（2018春•孝感期末）已知两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则4m+3A．最大值3 B．最大值1 C．最小值27 D．最小值9【分析】由题意可得4m+3n=（4m+3n）（m+13n）=4+1【解答】解：两实数m＞0，n＞0，且3m+n=3，则4m+3n=（4m+3n）（m+13n）=4+1+4n3m+3mn≥当且仅当m=23故选：D．5．（2017秋•济宁期末）若正数x，y满足x+3y=5xy，则4x+3y的最小值为（）A．245 B．275 C．5【分析】将条件x+3y=5xy进行转化，利用基本不等式的解法即可得到式子的最小值【解答】解：由x+3y=5xy得x+3y5xy=15y+∴4x+3y=（4x+3y）（15y+35x）=125+35+4x5y+9y5x≥155+24x当且仅当4x5y=9y故4x+3y的最小值是275故选：C．6．（2018秋•新罗区校级月考）函数y=ax﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y=mx+4n的图象上，其中m，n＞0，则1mA．8 B．9 C．18 D．16【分析】根据指数恒过定点求解A，带入一次函数，利用“乘1”法即可求解．【解答】解：函数y=ax﹣2（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，令x﹣2=0，可得x=2，带入可得y=1，恒过定点A（2，1）．那么1=2m+4n．则1m+2n=（1m+2n故选：C．7．（2017秋•新乡期末）已知a＜b，则b-a+1b-aA．3 B．2 C．4 D．1【分析】将代数式进行变形得b-a+1b-a【解答】解：∵a＜b，所以，b﹣a＞0，由基本不等式可得b-a+1b-a当且仅当1b-a=b-a(b＞a)，即当b﹣a=1时，等号成立，因此，故选：A．8．（2018春•成都期末）若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据题意，将x+4y=xy，变形可得1y+4x=1，进而可得x+y=（x+y）（1y+4x）=x【解答】解：根据题意，实数x＞0，y＞0，若x+4y=xy，则1y+4x+y=（x+y）（1y+4x）=xy+4yx+5≥当且仅当x=2y时等号成立，即x+y的最小值为9；故选：C．9．（2018春•吉安期末）设x≥2，则y=1+3x+1x-1A．4+32 B．4+23 C．8 D．1+23【分析】构造基本不等式，结合勾勾函数的单调性即可求解．【解答】解：y=1+3x+1x-1=3（x﹣1）+1x-1令x﹣1=t，t≥1．∴y=3t+1t+当t≥3∵t≥1，∴当t=1时，即x=2时，函数y=1+3x+1x-1故选：C．10．（2018春•上虞区期末）已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．10【分析】首先对函数的关系式进行恒等变换，进一步利用分类讨论思想，利用均值不等式求出结果．【解答】解：已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则：x=y+2y-2所以，由x＞0，得到y＞2时，x+y=y+2y-2+y=y-2+4y-2+y=1+4故函数x+y的最小值为7．故选：B．11．（2018春•重庆期末）已知正数x，y满足x+y=1，则1xA．5 B．143 C．92【分析】由x+y=1得x+（1+y）=2，再将代数式x+（1+y）与1x+4【解答】解：∵x+y=1，所以，x+（1+y）=2，则2(1x+41+y所以，1x当且仅当4x1+y=1+y因此，1x+4故选：C．12．（2017秋•亳州期末）不等式3-2xx+2A．{x|x≤13} C．{x|x≤13且x≠﹣2} 【分析】根据题意，原不等式等价于（1﹣3x）（x+2）≥0且（x+2）≠0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，3-2xx+2≥1⇒1-3xx+2≥0⇔（1﹣3x）（x+2）≥0且（x+解可得：﹣2＜x≤13则不等式的解集为（﹣2，13]故选：B．13．（2018秋•长汀县校级月考）不等式x+2x+1＞A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】根据题意，原不等式可以等价转化为x（x﹣1）（x+1）＞0，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，x+2x+1＞2⇒x﹣2+2x+1＞0⇒x2-xx+1＞0⇒解可得：﹣1＜x＜0或x＞1，即原不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；故选：A．14．（2018秋•武平县校级月考）不等式（x3﹣4x2+4x）（3+2x﹣x2）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或0＜x＜3} B．{x|0＜x＜3且x≠2} C．{x|﹣1＜x＜0或x＞3} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜2或2＜x＜3}【分析】化简不等式为因式乘积的形式，利用穿根法求解即可．【解答】解：不等式（x3﹣4x2+4x）（3+2x﹣x2）＞0，化为x（x﹣2）2（x﹣3）（x+1）＜0．作图：由穿根法可知不等式的解集为：{x|x＜﹣1或0＜x＜2或2＜x＜3}．故选：D．15．（2018春•朝阳区校级期中）a＞1，关于x的不等式axx+1≥A．[﹣1，1a-1] B．（﹣1，1a-1C．（﹣∞，1）U（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）U[1a-1，+∞【分析】根据题意，将原不等式变形为[（a﹣1）x﹣1]（x+1）≥0且x≠﹣1，解可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，axx+1≥1⇒axx+1-1≥0⇒(a-1)x-1x+1≥0⇒[（a﹣1）x﹣1]（x+1）解可得：x＜﹣1或x≥1a-1则不等式的解集为（﹣∞，﹣1）U[1a-1，+∞故选：D．二．填空题（共4小题）16．（2018秋•徐州期中）已知正实数a，b满足a+2b=1，则(1+1a)(2+【分析】由题可知，(1+1a)(2+1b)=（1【解答】解：正数a，b满足a+2b=1，则(1+1a)(2+1b)=（1+a+2ba）（2+a+2bb）=（2+2ba）（4当且仅当2ab=8ba且a+2b=1即a=故答案为：1817．（2017秋•资阳期末）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为60°，四边形CDEF为该扇形的内接矩形，则该矩形面积的最大值为233【分析】设∠EOA=θ，利用直角三角形中的边角关系、余弦定理求得DE、EF，化简接矩形CDEF的面积DE•EF的解析式为433[cos（2θ﹣60°）﹣1【解答】解：设∠EOA=θ，θ∈（0°，60°）由题意可得矩形的一边DE=OE•sinθ=2sinθ．△OEF中，由正弦定理可得EFsin(60°-θ)=OEsin(30°+90°)，即EFsin(60°-θ)=2sin120°=43故内接矩形CDEF的面积为DE•EF=2sinθ•433sin（60°﹣θ）=833•sinθ•sin（60°﹣θ）=433[cos（2θ﹣60°）﹣cos60°]=故当cos（2θ﹣60°）最大时，内接矩形CDEF的面积最大．而cos（2θ﹣60°）的最大值为1，此时，θ=30°，故内接矩形CDEF的面积最大值为23故答案为：2318．（2018春•河南期末）若x＞0，y＞0，且log23x+log2【分析】求出x，y的关系式，然后利用基本不等式求解函数的最值即可．【解答】解：实数x、y满足x＞0，y＞0，且log23x+lo∴log232x+log可得x+2y=2，∴x2+∴2x+13y=（2x+13y）（x2+y）=1+13+2y故答案为：4+2319．（2018春•金安区校级期末）已知点（1，2）在直线xa+yb=2(ab＞0)【分析】根据题意，由点（1，2）在直线xa+yb=2(ab＞0)上，分析可得1a+2b=2，进而有2a+b=12（2a+b）（1a+2【解答】解：根据题意，已知点（1，2）在直线xa则有1a+2则2a+b=12（2a+b）（1a+2b）=12×（4+4ab+ba）当且仅当b=2a时等号成立，即2a+b的最小值为4；故答案为：4．三．解答题（共4小题）20．（2017秋•上饶期末）（1）若x，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求x+y的最小值；（2）若1＞x＞﹣4，求x2【分析】（1）把已知2x+8y﹣xy=0，变形为2y+8x=1，而x+y=（x+y）（2y（2）化简所求利用基本不等式即可求解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由2x+8y﹣xy=0，得2y+8∴x+y=（x+y）（2y+8x）=10+8yx+∴当x=2y=12时，x+y取最小值18．…………（6分）（2）若1＞x＞﹣4，则x2-2x+22x-2=﹣12[（1﹣x）即若1＞x＞﹣4，x221．（2018春•东胜区校级期末）已知a，b为正实数，a+b=1．（1）求(a+1（2）求(a+1【分析】（1）由题意利用基本不等式可得ab的最大值，从而求得(a+1（2）把(a+1a)(b+1b)化简为ab+2ab【解答】解：（1）∵a+b=1，∴ab≤（a+b2）2=14，∴1ab≥(a+1a)2+(b+1b)2≥12（a+1a+b+1b）2≥12当且仅当a+1a=b+1b时，即a=b=∴(a+1a)（2）（a+1a）（b+1b）=ab+1ab+ba+ab=ab+1ab令ab=t，t=ab≤(a+b)24=14，∴t∈则y=t+2t在（0，14∴t+2t≥334，∴t+2t﹣2≥254，故（a+1a）（b22．（2018春•南京期中）志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD上，AE=CE，AB＞AD，矩形的周长为8cm．（1）设AB=xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；（2）计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽．【分析】（1）由题意可得AD=4﹣x，求得2＜x＜4，再由直角三角形ADE中运用勾股定理，化简可得DE的函数式；（2）运用三角形的面积公式，化简整理再由基本不等式即可得到所求最大值，以及矩形的长和宽．【解答】解：（1）由题意可得AD=4﹣x，且x＞4﹣x＞0，可得2＜x＜4，由CE=AE=x﹣DE，在直角三角形ADE中，可得AE2=AD2+DE2，即（x﹣DE）2=（4﹣x）2+DE2，化简可得DE=4﹣8x（2＜x＜（2）S△ADE=12=12（4﹣x