实验六-重积分及其应用

实验六重积分及其应用【实验类型】验证性【实验学时】1学时【实验目的】1.通过使用Matlab的一些根本功能〔主要是计算功能〕，理解和掌握重积分的相关根本概念及其相应的计算方法；2.会用Matlab计算立体的体积、曲面的面积等应用问题。【实验内容】1.使用Matlab掌握二重积分的直角坐标、极坐标的计算方法；2.使用Matlab掌握三重积分的直角坐标、柱面坐标、球面坐标的计算方法；3.使用Matlab掌握曲面柱体体积的计算方法；4.使用Matlab掌握空间曲面面积的计算方法； 5.使用Matlab掌握平面薄片质量和重心坐标的计算方法；【实验方法与步骤】〔对于必须编写计算机程序的实验，要附上学生自己编写的程序〕一、实验的根本理论与方法二重积分的直角坐标计算方法：假设，那么〔2〕假设，那么二重积分的极坐标计算方法：假设，那么曲面柱体的体积：一曲面为顶，为底的曲顶柱体的体积：曲面的面积：设曲面由给出，为曲面在面上的投影区域，那么曲面的面积球面坐标、柱面坐标和直角坐标系的关系：直角坐标与柱面坐标的关系：直角坐标与球面坐标的关系：二、实验使用的Matlab函数1.plot函数：绘制二维曲线的最根本函数plot函数的根本调用格式为：plot(x,y)，其中x和y为长度相同的向量，分别用于存储x坐标和y坐标数据。2.双纵坐标函数plotyy：绘制二维曲线的最根本函数它能把函数值具有不同量纲、不同数量级的两个函数绘制在同一坐标中。调用格式为：plotyy(x1,y1,x2,y2)，其中x1—y1对应一条曲线，x2—y2对应另一条曲线。横坐标的标度相同，纵坐标有两个，左纵坐标用于x1—y1数据对，右纵坐标用于x2—y2数据对。3.绘制图形的辅助操作---图形标注有关图形标注函数的调用格式为：title(图形名称)xlabel(x轴说明)ylabel(y轴说明)text(x,y,图形说明)legend(图例1,图例2,…)4.绘制三维曲线的最根本函数plot3函数与plot函数用法十分相似，其调用格式为：plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n)5.绘制三维曲面的函数surf函数和mesh函数的调用格式为：mesh(x,y,z,c)surf(x,y,z,c)6.计算累次积分：int(int(f,x,a,b),y,c,d),其中f=f(x,y),,；int(int〔int(f,x,a,b),y,c,d),z,e,f〕(其中f=f(x,y,z),,,.三、实验指导例1求。>>symsxy;>>f=x*y;对内部函数定义对内部函数定义>>int(int(f,y,2-x,sqrt(2*x-x^2)),x,1,2)二重积分二重积分ans=1/4例2求，其中由直线、及曲线所围成的闭区域。首先求出闭区域的边界曲线的交点：>>[x,y]=solve('x-2=0','y-x=0')求两曲线交点求两曲线交点x=2y=2>>[x,y]=solve('x-2=0','y*x-1=0')x=2y=1/2>>[x,y]=solve('y-x=0','y*x-1=0')x=1-1y=1-1最后计算积分：>>symsxy>>int(int(x^2/y^2,y,1./x,x),x,1,2)ans=9/4例3利用极坐标计算二次积分。积分区域。利用极坐标计算积分;>>symsrt;>>ans=int(int(r^3,r,1/(cos(t)+sin(t)),1),t,0,pi/2)>>ans=-1/6+1/8*pi例4求由曲面及所围成的立体的体积。立体关于XOY平面坐标面的投影柱面为：，投影区域为：计算立体的体积：>>symsxyz1z2rt；>>x=r*cos(t);y=r*sin(t);>>z1=x^2+2*y^2;z2=6-2*x^2-y^2;>>ans=int(int((z2-z1)*r,t,0,2*pi),r,0,sqrt(2));ans=6例5求球面含在圆柱面内的那局部的曲面面积。立体关于XOY面的投影柱面为。计算曲面面积>>symsxyzrtdsuvm>>z=sqrt(4-x^2-y^2)；>>ds=sqrt(1+diff(z,x)^2+diff(z,y)^2);>>u=r*cos(t);v=r*sin(t);>>m=subs(ds,[xy],[uv])；转换自变量，这里是为了方便才这样写的，也可以不写第三个的。>>int(int(4*m*r,r,0,2*cos(t)),t,0,pi/2)转换自变量，这里是为了方便才这样写的，也可以不写第三个的。>>ans=8*pi-8*4^(1/2)ans=4(-4+2)例6求位于两圆和之间的均匀薄片D的重心。设重心坐标为〔〕，D关于y轴对称，所以，下面求>>symsrt>>1/(3*pi)*int(int(r^2*sin(t),r,2*sin(t),4*sin(t)),t,0,pi)>>ans=例7计算，其中由平面旧机房、、以及抛物柱面所围成的闭区域。求积分>>symsxyz>>int(int(int(x*z,z,0,y),y,x^2,1),x,-1,1)>>ans0例8计算，其中由平面与平面、和所围成的闭区域。计算三重积分>>symsxyz>>Int(int(int(x*y^2*z^3,z,0,x*y),y,0,x),x,0,1)>>ans=例9求，其中由两个球与〔〕的公共局部。用球面坐标计算积分>>symsxyzabRt1t2>>x=r*sin(t2);y=r*sin(t2)*(t1);z=r*cos(t2);>>a=int(int(int(z^2*r^2*sin(t2),t1,0,2*pi),t2,0,pi/3),r,0,R);>>b=int(int(int(z^2*r^2*sin(t2),r,0,2*R*cos(t2)),t1,0,2*pi),t2,pi/3,pi/2);>>ans=a+bans=【实验练习】要求：在MATLAB中编写下述练习题的程序，然后运行，将源程序及运行结果保存，并以实验报告形式交回。练习1计算二次积分〔1〕〔2〕练习2计算二重积分〔1〕，；〔2〕，练习3求下面曲面所