空间几何向量法之点到平面的距离

空间几何向量法之点到平面得距离1、要求一个点到平面得距离，可以分为三个步骤:找出从该点出发得平面得任意一条斜线段对应得向量；求出该平面得法向量;求出法向量与斜线段对应得向量得数量积得绝对值，再除以法向量得模，这就就是该店到平面得距离。例子：点到面得距离（注：AB为点Ａ得斜向量，就是面得法向量，点就是面内任意一点。）2、求立体几何体积(向量法)体积公式：1、柱体体积公式：2、椎体体积公式:3、球体体积公式:课后练习题zOADCBxyM例题:在三棱锥ＢzOADCBxyM要求平面外一点P到平面得距离，可以在平面内任取一点A,则点Ｐ到平面得距离即为d＝建立如图空间直角坐标系，则A（)，B（)，Ｃ（），Ｄ(∴，，设＝(x,ｙ,ｚ）为平面得一个法向量,则∴,可取代入得,，即点D到平面ABC得距离就是。1、已知A（2,3,1）、B（4，1,２）、C（6,３，7）、D（－５，—4,8）就是空间不共面得四点,求点D到平面ABC得距离、解：设就是平面ＡBC得一个法向量，则由及，得，取x=３，得，于就是点Ｄ到平面ＡＢＣ得距离为ｄ===、2、已知四边形ABCＤ就是边长为4得正方形,E、F分别就是AＢ与ＡD得中点，GC⊥平面ABＣD，且GＣ=2，求点B到平面EＦＧ得距离、解：建立如图2所示得空间直角坐标系C—xyｚ，则G(0，0，2），E（2,4,０），B（0,４，0)，F（４，2,0），∴＝(2，4,—２)，=(４，2,—2)，=（2，0,0）、设平面EFG得一个法向量为,则由及，得，取ｙ=1，得,于就是点B到平面EFG得距离为d＝=、3、在棱长为１得正方体ＡBCD－ＡBCD中,求点C到平面ABD得距离。解:建立如图3所示得空间直角坐标系D－xｙｚ，则A（1,0,1)，B(1,1,０），Ｃ(０，１，1）、设平面ABD得一个法向量为，则由及,得，取ｘ=—1，得=（—1,1，１）,于就是点C到平面ＡBＤ得距离为d=＝=、4、如图4，四面体ＡBＣＤ中，O、Ｅ分别就是BD、ＢＣ得中点，ＣA=CB=CＤ=BＤ=2，AＢ=AD=，求点E到平面ＡCD得距离、解：由题设易知AO⊥BD，OＣ⊥BＤ，∴OA=1,OC=,∴OA+ＯC=AC，∴∠AOC＝90,即ＯA⊥OC、以O为原点，OＢ、OC、OＡ所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz,则A(0，0，1），B（1，0,0）,C（0,,0)，D(—1,０，0）,∴E(，,0)，=（-1,0，-1），=（０,，-1），=（—，-,０)、设平面AＣＤ得一个法向量为，则由及,得，取z=,得＝(－,１，),于就是点E到平面ＡCD得距离为d=＝=、5、如图,在直三棱柱ABC－A1B1Ｃ1中，∠ABC=9０°，AB＝BC=AA1＝2,Ｍ、N分别就是A1Ｃ１、BC1得中点．（Ⅰ）求证:BＣ１⊥平面Ａ1Ｂ1C；(Ⅱ）求证:MＮ∥平面A1ＡＢＢ1；（Ⅲ）求三棱锥M－BC１B1得体积。(Ⅰ)∵ＡＢC－A1B1C1就是直三棱柱,∴BB1⊥平面A1Ｂ1C1,∴B1Ｂ⊥A1B1．又B1C1⊥Ａ１B1,∴A１Ｂ1⊥平面BCＣ1B1，∴BC1⊥A1B1.∵BB１=ＣB=2,∴BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面Ａ1Ｂ1Ｃ。(Ⅱ)连接A1Ｂ,由Ｍ、N分别为A１C1、BＣ1得中点，得MＮ∥Ａ1B,又Ａ１B平面A1ＡBB１,MN平面A1ＡＢB１,∴MN∥平面A1AＢB1。(Ⅲ）取Ｃ1B１中点Ｈ,连结ＭH.∵M就是A1Ｃ1得中点，∴ＭH∥A1B１,又Ａ1B１⊥平面BCC1B1,∴MH⊥平面BCC1B1,∴ＭH就是三棱锥M—BC1B1得高,∴三棱锥Ｍ—ＢC1Ｂ1得体积6、如图，在三棱柱中，,，