北师大版2021-2022学年度九年级下册数学期末检测试题（含答案）

北师大版2021-2022学年度九年级下册数学期末检测试题

一、选一选（本大题共10小题,每小题3分，共30分.下列各题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求）

1.在RtZXABC中，ZC=90°,AC=5,AB=13,则sinA的值为（）

551213

A.—B.—C.—D.—

12131312

【答案】C

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出BC得长，再根据锐角三角函数正弦的定义解答即可.

【详解】如图，根据勾股定理得，BC=^AB--AC2=V132-52=12.

BC12

:.sinA=---=—

故选c.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义及勾股定理，熟知锐角三角函数正弦的定义是解决

问题的关键.

2.在RSABC中，ZC=90°,斜边AB上的中线是3cm,sinA=§,则SAABC等于（）

A.々'em?B.2cm2C.35/2cm2D.4^2cm2

【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：•••斜边/B上的中线是3cm,.•./5=6cm.

,1

乂sinJ=—,

3

1

BC=ABs,mJ=6x—=2（cm）.

2222

由勾股定理，得AC=ylAB-BC=A/6-2=4五（cm）.

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11

**-S^ABC=—ACBC=-x4,2*2=4,2(cm2).

故选D.

11.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=]x02平移得到抛物线y=/x2-2x,其对称轴与

两段抛物线所围成的阴影部分的面积为

【解析】

【详解】试题分析：过点C作CA_Ly轴于点A,根据抛物线的对称性可知：OBD的面积等于

的面积，从而阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积.

顶点坐标为C(2,—2).

对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：2x2=4.

故选B.

4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，且。4=。。,则()

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OX

A.ac+l=bB.ab+\=cC.be+1=aD,以上都没

有是

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意可知，本题考察二次函数图像与系数的关系，根据图像与坐标轴的交点，运

用两边相等求出交点坐标，代入坐标进行求解.

【详解】U：OA=OC

・••点A、C的坐标为(・c,0),(0,c)

，把点A的坐标代入y=ax2+6x+c得

ac2-6c+c=0

/.c(ac-Z>+1)=0

•・•cw0

ac-b+l=0

ac+1=/?

故选A

【点睛】本题考察二次函数图像与系数关系，解题关键是根据图像得出系数取值范围，再代入

点的坐标进行解决.

5.函数y=。工2一。与y=3(々WO)在同一平面直角坐标系中的图象可能是().

x

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【答案】D

【解析】

【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否

一，致，逐一排除.

【详解】A、由二次函数开口方向，得“V0.当时、反比例函数图象在二、四象限，故A

错误；

B、由二次函数图象开口方向，得a>0.当a>0时，抛物线与y轴的交点在x轴的下方，故B

错误；

C、由二次函数图象开口方向，得“<0.当a<0时，抛物线与y轴的交点在x轴的上方，故C

错误；

D、由抛物线的开口方向和抛物线与y轴的交点在x轴的上方，得。<0,反比例函数的图象应

在二、四象限，故D正确.

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数图象和反比例函数图象，应该识记反比例函数丫=0在没有同情况

x

下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.

6.如图，Z^ABC内接于00,AB是0O的直径，ZB=30°,CE平分NACB交◎()于E,交

AB于点D,连接AE,则SAADE：SKDB的值等于()

A.1：^2B.1：招C.I：2D.2：3

【答案】D

【解析】

【分析】由AB是00的直径，得到NACB=90。，根据已知条件得到江=@,根据三角形

BC3

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的角平分线定理得到生=丝=正，求出AD=工方AB,BD=」尸AB,过C作CELAB

BCBD33+V33+V3

于E,连接OE,由CE平分NACB交00于E,得到0ELAB,求出0E=?AB,CE=^AB,

24

根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：:AB是。0的直径，

.,.ZACB=90°,

：NB=30。，

.AC也

••沃―石’

VCE平分/ACB交。0于E,

.ACADV3

••---=----=---,

BCBD3

V33

.•AD=------f=AB>BD=------7=AB,

3+V33+V3

过C作CEJ_AB于E,连接0E,

，OE=；AB,CE=@AB,

24

.".SAADE：SACDB=(|AD*OE)：(yBD«CE)

=(^x—^1—AB*VAB)：(yx—AB•立AB)

23+0223+V34

=2：3.

故选D

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【点睛】考点：（1）圆周角定理；（2）三角形的角平分线定理；（3）三角形的面积的计算；（4）

直角三角形的性质.

7.已知二次函数歹=〃/+法+。+2的图象如图所示，顶点为（-1,0）,下列结论：①用c<0；

@4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是（）

B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【详解】解：根据函数图象可知：抛物线开口向上,

.40,

,对称轴为x=-l

导一

・b=2a>0,

・抛物线与y轴交于正半轴,

.c+2>2,即c>0,

.ahc>0,故①错误;

.抛物线与x轴只有一个交点,

.〃一4。（。+2）=0,所以②错误;

因为对称轴为X=-I,所以-3=-1，所以b=2a，把点（-1,0）代入解析式得：a-b+c+2^0,

2a

所以a—2a+c+2=0,所以a=c+2>2,所以③正确；

根据抛物线的对称性可得：当％=-2时，y=4a—26+c+2>2,所以4a—2b+c>0,所以④

正确.

因此共有③④正确，

故选B.

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8.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为

A.6,3亚B.3亚，3C.6,3D.6/，3拒

【答案】B

【解析】

【详解】由正方形的边长、外接圆半径、内切圆半径正好组成一个直角三角形，从而求得它们

的长度：

如图，

:正方形的边长为6,，AB=3.

又,.♦/AOB=45°,.，.OB=3.

/.AO=732+32=372-

故选B.

9.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点O为BC的中点，以O为圆心作交BC于点

M、N,OO与AB、AC相切，切点分别为D、E,则。O的半径和/MND的度数分别为()

A.2,22.5°B.3,30°C.3,22.5°D.2,30°

【答案】A

【解析】

【详解】解：连接OA,

•/AB与00相切，

AOD1AB,

:在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,()为BC的中点,

AAOIBC,

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・・・OD〃AC,

•IO为BC的中点，

・・・OD=AC=2；

VZDOB=45°,

AZMND=ZDOB=22.5°,

故选A.

【点睛】本题考查切线的性质；等腰直角三角形.

10.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”

的面积为【】

2

A.nB.1C.2D.—TC

3

【答案】C

【解析】

【详解】设扇形的半径为r,则弧长也为r,根据扇形的面积公式得5=工1-工-2-2=2.故选C.

22

二、填空题(本大题共8小题,每小题3分，共24分)

11.在△Z8C中,sin8=cos(90O-C)=；,则ZU8C的形状是_____.

【答案】等腰三角形

【解析】

【详解】试题解析：/B=NC=30,

•••/XABC的形状是等腰三角形.

故答案为等腰三角形.

12.如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30。的斜坡AB到达山顶B,如果AB=2000米，则

他实际上升了米.

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B

【答案】1000

【解析】

【分析】过点B作BC_L水平面于点C,在Rtz^ABC中，根据AB=200米，NA=30。，求出BC

的长度即可.

【详解】过点B作BCL水平面于点C,

在RtZ\ABC中，•；AB=2000米，ZA=30°,

ABC=ABsin30°=2000xy=1000（米），

故答案为：1000.

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，直角三角形30度角的性质.

13.二次函数y=-/+2x-3图象的顶点坐标是.

【答案】（1,-2）.

【解析】

【详解】试题分析：：y=—x2+2x—3=—（x—If—2,故顶点的坐标是（1,-2）.故答案为

（1,-2）.

考点：二次函数的性质.

14.ZU8C中,48=10cm,/C=8cm,BC=6cm,以点8为圆心,6cm为半径作。8,则边4c所在的直

线与。8的位置关系是

【答案】相切

【解析】

【详解】试题解析：中，AB=10cm,AC=8cm,BC=i>cm,

AB-=AC2+BC2,

ZACB=90\

则圆心到直线的距离即为BC的长6C7«,等于圆的半径，则直线和圆相切.

故答案为相切.

15.如图用12m长的木条，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线至多,选择窗子的高

5

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ABB为：—.

【答案】3m

【解析】

12-2x

【详解】试题解析：设长为x米，根据题意知横档的长为：------米，

3

故透光面积S=X•_x=--X2+4X=--(X-3)2+6,

333

•.---<0,

3

.•.当尸3时，S取得值，值为6；

即窗子的高为3米时，透进的光线至多为6平方米.

故答案为3m.

16.如图,OO的直径43=8/C=3C8,过点C作AB的垂线交。。于M,N两点，连接"8,则NMBA

的余弦值为

【答案】y

【解析】

【详解】试题分析：如图，连接AM；

VAB=8,AC=3CB,

/.BC=-AB=2：

4

VAB为00的直径，

.,.ZAMB=90°；

由射影定理得：

BM2=AB«CB,

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./BM1

..BM=4,cosZMBA=------=—

AB2

故答案为2.

2

考点：垂径定理；解直角三角形.

17.如图,已知点A从点(1,0)出发,以每秒1个单位长度的速度沿着x轴的正方向运动Js后，以CM

为顶点作菱形O/3C,使点B,C都在象限内，且/4。。=60。,又以点尸(0,4)为圆心,PC为半径的圆恰

好与04所在的直线相切，则/=.

【答案】4^-1

【解析】

【详解】试题解析•：由题意可知，当以点尸(0,4)为圆心,PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切

时,如图.

连接PC,作PD1.OC于点。，则ZPOC=90°-ZAOC=90°-60°=30°,

OD=—OP=—x4=2y/3.

22

：.OC=2OD=4y]3,

AOA=OC=46,则/=4百-1.

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故答案为4JJ-L

18.如图，将一块长为4cm,宽为3cm的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），

木板上点4的位置变化为4一小一血，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面

成30°角，则点A翻滚到A2时共走过的路径长为cm.（结果保留n）

【解析】

【分析】根据图形的特征可得次翻滚时走过的路径长为圆心角为90。半径为AB长的弧长，次翻

滚时走过的路径长为圆心角为60。半径为A.C长的弧长.

【详解】由图可得=，4?+32=5cm

门1人》sr,，/907r,560）・3・

则共走过的路径长=-----+-------=3.5）cm

180180

点评：解答本题的关键是熟练掌握弧长公式：/=竺三，注意使用公式时度没有带单位.

180

三、解答题（本大题共6小题，共66分）

19.如图，在aABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，ZC=45°,si=-,AD=1.

3

（1）求BC的长；

（2）求tan/DAE的值.

【答案】（1）2-^2+1；（2）5/2——

【解析】

【分析】（1）先由三角形的高的定义得出NADB=NADC=90。，再解Rt^ADC,得出DC=1；

解RtZ\ADB,得出AB=3,根据勾股定理求出BD=20，然后根据BC=BD+DC即可求解.

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（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE-CD,然后在RtAADE中根据正切函

数的定义即可求解.

【详解】解：（1）在△ABC中，:AD是BC边上的高，

.,.ZADB=ZADC=90°.

在△ADC中，VZADC=90°,ZC=45°,AD=1,

ADC=AD=1.

1

在AADB中,VZADB=90°,si=-,AD=1,

3

AB;处.1

sinB一1=3

3

•*-BD=VAB2-AD2=A/32-12=272•

•*-BC=BD+DC=2V2+1-

(2)：AE是BC边上的中线，.••CE=；BC=JI+1.

22

.*.DE=CE-CD=V2--.

2

___1

AtanZDAE=——=JI——.

AD2

【点睛】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解

RtAADC与RtAADB,得出DC=1,AB=3是解题的关键.

20.如图,E是正方形ABCD的边AB上的动点,E尸，DE交BC于点F.

（1）求证:

（2）设正方形的边长为4/E=x,8尸=），.当x取什么值时,y有值?并求出这个值.

【答案】（1）证明见解析；（2）1

【解析】

【详解】试题分析：（1）这两个三角形中，己知的条件有/=90。,

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那么只要得出另外一组对应角相等即可得出两三角形相似，因为乙〃汹+/。笈4=90。.

而NAED+NFEB=9。。,因此N4DE=NFER那么就构成了两三角形相似的条件；

（2）可用x表示出BE的长，然后根据（1）中△ZDEsASEE可得出关于的

比例关系式，然后就能得出一个关于x，丁的函数关系式.根据函数的性质即可得出N的值及相

应的x的值.

试题解析：（I）；四边形是正方形，

NDAE=NEBF=90°,

：.ZADE+ZDEA=90°.

又EFLDE,

：.ZAED+ZFEB=90°,

：.NADE=NFEB.

AADEs4BEF.

（2）由⑴△BEF$D=4,BE=4-x,得上=上，得y='（-x2+4x）

x4’4

1,1,

=-[-（x-2）2+4]=--（x-2）2+l,

44

当x=2时y有值少的值为1.

21.如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能

热水器：先安装支架N5和C。（均与水平面垂直），再将集热板安装在上.为使集热板吸

热率更高，公司规定：与水平面夹角为4,且在水平线上的射影/尸为1.4加.现已测量出

屋顶斜面与水平面夹角为%，并已知tan仇=1.082,tan02=0.412.如果安装工人确定支架

高为25c加，求支架CD的高（结果到1cm）?

【答案】支架DC的高应为119cm.

【解析】

【分析】过A作AE〃BC,则NEAF=NCBG=（h，EC=AB=25cm,再根据锐角三角函数的定义

用6、。2表示出DF、EF的值，再根据DC=DE+EC进行解答即可.

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【详解】解：如图所示，过A作AE〃BC,则NEAF=NCBG=02,

EC=AB=25cm

RtADAF中：ZDAF=6i,DF=AFtan0i,

RtZ\EAF中：ZEAF=02，EF=AFtan02,

DE=DF-EF=AF(tan0i-tan02)

又AF=140cm,tan0i=l.O82,tan02=O.412,

ADE=140x(1.082-0.412)=93.8,

・・・DC=DE+EC=93.8+25=118.8cm-119cm.

答：支架DC的高应为119cm.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用

锐角三角函数的定义进行解答是解答此题的关键.

22.已知点A(-2,n)在抛物线yud+fer+c上.

(1)若b=l,c=3,求n的值；

(2)若此抛物线点B(4,n),且二次函数y=，+H+c的最小值是一4,请画出点P(x-1,

2

x+bx+C^的纵坐标随横坐标变化的图象，并说明理由.

【答案】(1)5；(2)作图见试题解析，理由见试题解析.

【解析】

【分析】(1)代入b=l,c=3,以及A点的坐标即可求得n的值；

(2)根据题意求得抛物线的解析式为y=(x—I)?—4,从而求得点P(x-1,f+bx+c)的

纵坐标随横坐标变化的关系式为＞=x'2—4,然后利用5点式画出函数的图象即可.

【详解】(1)b=1,c=3,A(-2,n)在抛物线y=x?+6x+c上，

n=4+(-2)x1+3=5；

(2):此抛物线点A(-2,n),B(4,n),

-2+4

抛物线的对称轴x=--------=1,

2

♦.•二次函数y=x2+6x+c的最小值是-4,

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...抛物线的解析式为了=(x—1)2—4,令x—l=x',

.,.点P(x-1,f+bx+c)的纵坐标随横坐标变化的关系式为y=x"-4,

点P(x-1,x2+bx+cy的纵坐标随横坐标变化的如图：

考点：1.二次函数的性质；2.二次函数图象上点的坐标特征；3.二次函数的最值.

23.如图，点0为Rt^ABC斜边AB上的一点，以0A为半径的00与BC切于点D,与AC

交于点E,连接AD.

(1)求证：AD平分NBAC；

(2)若NBAC=60。，OA=2,求阴影部分的面积(结果保留万).

2

【答案】(1)见解析；(2)—7T

3

【解析】

【详解】试题分析：(1)由RtaABC中，ZC=90°,。。切BC于D,易证得AC〃OD,继而

证得AD平分NCAB.

(2)如图，连接ED