安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题理

安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试

题理

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

1.以复数一24+加(加e而的实部为首项，虚部为公差的等差数列EJ,当且仅当〃=10时

其前〃项和最小，则必的取值范围是()

2.已知集合4=3-1W尽1}和集合庐3尸玲，则4n8等于()

A.{y|0<y<l}B.{y|0Wj<l}C.{y\y>Q}D.{(0,1),(1,0)}

3.我市高中数学研究会准备从会员中选拔1名男生，y名女生组成一个小组去参加数学文

2x-y25,

化知识竞赛，若x,y满足约束条件•则该小组最多选拔学生()

x<8,

A.24名B.19名C.16名D.14名

4.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八,

欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576,买竹子78根，拟分大、小两种竹子为

单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大、小竹子各多少根？每根竹子单价各是

多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为()

A.6钱B.7钱C.8钱1).9钱

5.函数/(%)=皿(/+2)-61的图象可能是()

6.已知二项式(x+y)”的展开式的二项式项的系数和为64,

(2x+3)"=4+q(x+1)+a?(尤+D~T---卜a”(x+1)",则4=()

A.20B.30C.60D.80

7.已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是()

y

A.y=sin(x+—)B.y=sin(2x+—)C.y=cos(x+—)

444

n/c34、

D.y=cos(2x+—)

c

8.若等差数列｛4｝的公差为4前〃项和为S"，记d='则

n

A.数列是等差数列，｛勿｝的公差也为d

B.数列｛%｝是等差数列，｛2｝的公差为2d

C.数列｛%+%｝是等差数列，｛4+。,,｝的公差为d

D.数列｛%-勿｝是等差数列，｛4一2｝的公差为日

9.已知|万|=|石|=3,。是与向量5方向相同的单位向量，向量G在向量日上的投影向量为

3

一。，则〃与5的夹角为

2

A.30°B.60。C.120'D.150。

10.我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为

弦.若a,b”c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则1+〃=。2,称这个定理为勾股定

理.现将这一定理推广到立体几何中：

在四面体O—ABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC=90，S为顶点。所对面的面积，

E，§2,S3分别为侧面△。钻，AOAC,AOBC的面积，则下列选项中对于S「S2，S3满足的

关系描述正确的为

2222

A.S=S,+S2+53B.S~=a+a+/c.S-S1+ST+S3

0109

11.己知点A（l,-2）,B（2,0）,一为曲线y•2上任意一点，则Q.丽的取值范

围为

A.[1,7]B.[-1,7]C.[1,3+26]D.[-1,3+2^]

12.已知在R上的函数/（x）满足如下条件：①函数/（x）的图象关于>轴对称；②对于任

意xeR,/（2+x）—/（2—x）=0；③当xe[0,2]时，f（x）=x-④函数

%（x）=/（2fx）,MN*，若过点（TO）的直线/与函数九）（力的图象在xe[0,2]

上恰有8个交点，在直线/斜率上的取值范围是（）

二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.过点（2,4）作函数丫=/一2彳的切线，则切线方程是.

14.己知等差数列｛q｝中，6+%=22,4=9,数列也｝满足2=23，则

白也也…-bn=.

15.已知点尸（1,2）在抛物线E：y2=2px（p〉o）上，过点/（1,0）的直线/交抛物线E于

A，B两点，若丽/=3耐，则直线/的倾斜角的正弦值为_____.

16.己知三棱锥P—ABC中，二面角P-AB-C的大小为120。，AA6c是边长为4的

正三角形，是以尸为直角顶点的直角三角形，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（-）必考题：共60分。

4D-v3^zcosC=\2b-v3cIcosA

17.在AABC中，角A,B,C的对边分别是a,6,c,且'>

（1）求角1的大小；

（2）求cos（当一8）-2$血丁?的取值范围.

18.四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为直角梯形，BC//AD,ADVDC,BC=CD=T,

4）=2，PA=PD，E为PC的中点，尸为AD的中点，平面尸4）_L底面ABC。.

（I）证明：平面BEFJ_平面PAD；

71

（ID若PC与底面ABC。所成的角为一，求二面角七一防一4的余弦值.

3

19.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市

民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给

轻轨站停车场带来很大的压力.某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行

收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6

小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4

元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费.上

述标准不足一小时的按一小时计费.为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车

的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：

T（小时）(0,4]（4句(5,6](6,7]（7闾(8,24]

频数（车

10010020020035050

次）

以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率.

（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录

并统计了停车时长与司机性别的2x2列联表：

男女合计

不超过6小时30

6小时以上20

合计100

完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？

（2）（i）X表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求X的概率

分布列及期望f（x）；

（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，〈表示3辆车中停车费用大于£（X）的车辆数,

求尸抬N2）的概率.

n^ad-bc^

参考公式：k2，其中拉=a+b+c+d

(a+〃)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

p(2

K>k0)0.400.250.150.100.050.025

k00.7801.3232.0722.7063.8415.024

x

20.如图，已知椭圆C：一+l(a>b>0)过点,其的左、右顶点分别是A,B,

下、上顶点分别是C,D,尸是椭圆上第一象限内的一点，直线24,的斜率勺，&满

（1）求椭圆C的方程；

（2）过P点的直线尸。交椭圆于另一点Q,求四边形4PCQ面积的取值范围.

21.已知函数/(x)=orlnx-(a+l)lnx,/(x)的导数为/'(x).

（1）当。＞一1时，讨论/'（力的单调性;

3i

（2）设a＞0,方程=有两个不同的零点办,9（不＜%2）,求证内+6＞工2+一.

ee

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的

第一题计分。

x=6cosa

CJ_.

（H）22.在平面直角坐标系xOv中，已知曲线U=3sma为参数），以坐标原

点°为极点，％轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求曲线C的极坐标方程；

⑵若点A、3为曲线C上的两点，且。4_LQB,求的最小值.

23.已知函数〃x）=|x—4|+归+3].

（1）解不等式/（x）＜9；

（2）若不等式—N+1在实数R上的解集不是空集，求正数。的取值范围。

参考答案

1.D

【分析】

a.<0

由题可得q=-24,d=m,由<n，、可求得.

M〉o

【详解】

由题可得等差数列{a}的首项q=-24,公差d=m,

«=-24+9m12Q

10由题意知《«,o<0八

<则可解得一<m<一.

=-24+10/7/>053

故选：D.

2.B

【分析】

先由二次函数的值域求得集合B,再运用集合的交集运算可得选项.

【详解】

因为庐3%右，所以后3y20},4C/{y|0Wj<l}.

故选：B.

3.B

【分析】

画出不等式组表示的平面区域，然后求z=x+y的最大值即可.

【详解】

2x-y>5,

画出x,y满足约束条件,1,表示的平面区域，如图所示.

x<8

要求招入的人数最多，即2=》+丫取得最大值，

目标函数化为y=-x+z,在可行域内任意取x,y且为正整数，

fx=8,

使得目标函数代表的斜率为定值一1，截距最大时的直线过点A,联立「得

2x-y=5,

A（8,ll）,

此时目标函数取得最大值为z=8+11=19,

故选：B

【点睛】

本题考查的是线性规划的知识，属于基础题.

4.C

【分析】

根据题意设买大竹子x,每根单价为小,可得576=如+（78-x）（m—1）,由0<xW78,

解不等式组即可求解.

【详解】

依题意可设买大竹子x,每根单价为加，

购买小竹子78-每根单价为加一1,

所以576=mx+（78—,

即78〃z+x=654,BPx=6（109-13m）,

因为0WxW78,

109

[109-13m>0”一7796109

所以6（109.）V78=96<

113

根据选项机=8,x=30,

所以买大竹子30根，每根8元.

故选：C

【点睛】

本题考查了不等式，考查了数据处理能力以及分析能力，属于基础题.

5.B

【分析】

分析四个图像，从而判断函数的性质，利用排除法求解.

【详解】

由于函数/(X)的定义域为R,且在R上为连续函数，可排除A答案；

由于/(0)=1112-”1,ln2>ln&=g,,所以/(0)=ln2-e"〉。，可排除C

答案；

当Xf”时，/(%)->-oo,故排除D答案；

故答案选B.

【点睛】

本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方向的应用，属于中档题

6.C

【分析】

根据题意赋值可得2"=64,从而求出〃，再换元，设x+l=f,将二项式展开，即可根据

二项展开式的通项公式求出的.

【详解】

根据题意，令工=1,丁=1可得2"=64,即〃=6,(2X+3)"=(2X+3)6

设x+l=f,即2x+3=2f+l

(2x+3)"=(2,x+3)6=(2/+1)6=a。+a/+厂+•—F,即工一］=C；x(2r)x1',

令6—r=2,解得r=4.，7；+i=C：x(27)6-4xl4=c：x22xf2=6()/2,可知々=60.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查利用二项展开式的通项公式求某指定项的系数，以及二项式定理，赋值法的应

用，解题关键是换元法的使用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题.

7.C

【解析】

T37r7i

试题分析：4=1,—=------nT=2^=>69=1,

444

所以sin(3子4+°)=—1=亍37r+°=3;4+2左1(ZeZ)=e=3^7r+2^4(ZeZ)

3471

所以它的解析式可能是y=sin(x+—+2k兀)=cos(x+-),选C.

44

考点：三角函数解析式

[方法点睛】已知函数y=Asin(a>x+。)+8(A>0,。>0)的图象求解析式

(])4_)'max)'min§一)inax+)min

_2，—2

(2)由函数的周期T求3,7=生.

co

(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求。.

8.D

【分析】

根据己知写出若等差数列｛4｝的通项公式和求和公式，根据等差数列通项公式的函数性质

判断即可得出结论.

【详解】

由题可得4=4-l)d，S“d,则

b“=&=«,+—d=%+；而是关于n的一次函数，则数列也｝是公差为Jd的

等差数列，故A,B错误；由2+勿=2q-丁3+科3〃是关于〃的一次函数，得数列｛%,+2｝

311

是公差为5d的等差数列，故C错误；又4-2=一耳。+/而是关于〃的一次函数，则数

列｛a,,-bn｝是公差为;d的等差数列，故D正确.

故选:D.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等差数列｛4｝,a“=〃〃+q是关于〃的一

次函数，公差为。，熟练掌握等差数列通项公式的函数性质是解题的关键，属于基础题.

9.B

【分析】

设0=丸5(几>0)，求出几=；，再根据向量在向量上的投影向量的定义列式求

-9

出箱。=一,最后利用平面向量的夹角公式可求得结果.

2

【详解】

因为0是与向量方方向相同的单位向量，设。=丸日。>0),

则|。|=|几5|=，出所以1=34,得4=；,所以己=：5,

—•1々

因为向量汗在向量B上的投影为肾，且向量少在向量B上的投影向量为:。，

,a-bb3_,a-bb31,a-b1一1一9

所以r...--—e,所以r---X-br,所以所以箱力=上|切2='，

闻|。|2闻|。|23闻2222

9

设M与方的夹角为。，则8S0=万石5=1，

\a\-\b\3x32

又0。麴8180°,所以6=60，

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：利用向量在向量上的投影向量的定义以及平面向量的夹角公式求解是解题关

键.

10.C

【分析】

作四面体O-ABC,ZAOB=ZBOC=ZAOC=90-。〃八BC于点。，连接A£>,结合

勾股定理可得答案.

【详解】

作四面体O-ABC，ZAOB=ZBOC=ZAOC=90-OABC千点、D,连接AZ)，如图

A

D

B

=；BO?.AO?=J.(QR2+002)

S2

^(OB2+OC2)-0^+^BC2-OD2OA^j+[^OC'OA]+[^BC'°D}

22

=sj+S2+S3.

即S?uS:+SzZ+S??

故选c.

【点睛】

本题主要考查类比推理，解题的关键是将勾股定理迁移到立体几何中，属于简单题.

11.A

【分析】

结合已知曲线方程，引入参数方程，然后结合和角正弦公式及正弦函数的性质即可求解.

【详解】

解：设P（x,y）则由）,=,3—'•可得田+/=1（”0），

令x=2cos。,y=GsinO,(0w[0,同，

.\AP=(x-l,y+2),通=(1,2),

AP-AB=x-l+2y+4=x+2y+3=2cos0+2百sin夕+3=4sin崂卜3,

\-O<0<7T

666

--<sin[^+—j<1,

2I6j

.-.l<4sin++3<7,

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的运算及三角函数性质的简单应用，参数方程的应用是求解

本题的关键.

12.A

【分析】

先由条件①②，得到函数是周期为4的周期函数；根据③求出函数/(X)在一个周期

[一2,2]上的表达式为〃x)=L，根据④得到彳4)(月的周期为:，其图象可

由“X)的图象压缩为原来的L得到，作出(4)(X)的图象，结合图象，即可求出结果.

8

【详解】

因为函数“X)是偶函数，由/(2+x)_〃2_x)=0得/(2+x)=/(2r)=/(x_2),

即〃x+4)=/(x)所以函数“X)是周期为4的周期函数；

若xe[-2,0],则xe[0,2]；

因为当xe[0,2]时，/(x)=x,

所以一xe[0,2]时，f[-x)=-x,

因为函数/(x)是偶函数，所以〃—x)=-x=/(x),

即/(x)=-x,xe[-2,0],

则函数/(X)在一个周期[一2,2]上的表达式为=L,

因为4)(x)=/(2"'.x)，〃eN*,

所以函数彳4)(6=〃8x),nwN*，

故/(4)(%)的周期为!，其图象可由〃力的图象压缩为原来的)得到，

28

作出彳4)(X)的图象如图:

易知过M(-1,0)的直线/斜率存在，设过点(一1,0)的直线/的方程为y=Z(x+l),

则要使直线/与九)(x)的图象在xe[0,2]上恰有8个交点，则0<k<%,

(7、k=^2=18

因为A2,所以"―7J”,故0<%<三.

14)-+111

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到加4)(x)的图象，再由函数交点个

数，利用数形结合的方法，即可求解.

13.y=101—16或y=x+2

【解析】

试题分析：设切点为侬意-勖琐，/=融4-乐所以切线方程为

理T亥一软球=窗殿-额>一球，即解=微点-期::一鬟点,又切线过(2,4),代入方程

得:噎-禽｛分解因式得：躯一颗噌-/：-期=0>即躯-窃*年#4=领,解得

盘=堤或一：1当肛：=魅时,切线方程为丁=10%—16；当鼻=-：1时，y=x+2.所以正确答

案是y=10x-16或y=x+2.

考点：函数的切线方程.

14.2，+"

【分析】

根据等差数列的通项公式求出％,从而求出a=2""T,再利用等差数列的前〃项和公式即

可求解.

【详解】

cu+2d+/+6d=224=3

由题意〈

e=9，解得d=2’

所以/=4+(〃-1)d=2〃+1,所以勿==2?”,

.(2+2.)

则々也也••…^,=22-24-26…-22n=22=2""

故答案为：2"“"一

15.—

2

【分析】

求出〃=2,设过点"(1,0)的直线方程为％=冲+1,将直线与抛物线联立，利用韦达定

理可得X+%=4根，乂%=-4,根据向量可得一乂=3%,从而求出直线的倾斜角，即

求.

【详解】

因为点在抛物线E：/=2*(〃>0)上，

所以4=2pxl,得p=2,所以；/=4尢，

设过点”(1,0)的直线方程为：x=my+l,

x=my+1.

所以jy2_4x'所以y-4冲一4=0,

设A(%,y),B(孙为)，

所以y+%=4根，yty2=-4.

又因为砺=3丽，所以一乂=3%，

所以/〃=土一->因为直线的斜率Z=tan。=土百，

3

由6»e(O,»),所以e=?或耳，所以sine=#.

故答案为：B

2

【点睛】

本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了基本运算求解能力，属于中档题.

208万

16.-------

9

【分析】

找到三棱锥P-ABC外接球球心的位置，求得外接球的半径，进而求得三棱锥P-ABC外

接球的表面积.

【详解】

依题意，三角形ABC是等边三角形，设其外心为。一线段的中点设为则

CO21AB,且。।在线段CO2上、黑=2.

三角形RLB是以P为直角顶点的直角三角形，所以其外心为。2.过。2在三角形PAB内作

O.D1AB.

所以/CO2。是二面角P-AB-。的平面角，所以/。。2。=120°.

设外接球球心为。，则平面ABC,。。2，平面行5,所以。a_LCC、

oo1

2O2D,

所以NOQC=30°.

在三角形OCO2中，CO,=|cO2=|x2V3=^>GO?=；C02=；x2>/5=孚,

tanNOO,C==—^OO.

00231

所以外接球的半径R=OC="G+co：

所以外接球的表面积为4万a=4女生=型包.

99

208乃

故答案为:

9

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球的有关计算，属于中档题.

17.(1)A=工；(2)-"+2,6—1.

6I2,

【分析】

(1)由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA,又sinBwO,可求cosA=3,

2

结合/为内角即可求得/的值;

(2)由三角函数恒等变换化简已知可得6sin8-9-1,A=工可求5=工的范围,

\6766

从而可求sin18--5

P1,即可得解.

【详解】

(1)由正弦定理可得，V3sinAcosC=2sinBcosA-VBsinCcos/l»

从而可得，^sin(A+C)=2sinBcosA,

即sinB=2sin3cosA,又8为三角形的内角,

所以sinBwO,于是COSA=Y3,

2

TT

又力为三角形内角，因此，A=一.

6

(2),/cos^^--B^-2sin2y=sinB+cosC-1=sinB+cos^-^--B^-l

sinS+cos—cos5+sin—sinfi-1

66

3.A6

--smB------

22

由A=%可知，

6

因此，V3sinf5-^Vle-立市7

故cos]：-B)-2sin2]■的取值范围为,V3-1

18.(I)证明见解析；(II)一立.

7

【分析】

(I)根据线段中点的性质、平行四边形形的判定定理和性质定理，结合面面垂直的性质定

理和判定定理、平行线的性质进行证明即可；

(II)连结PE,根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质定理可以证明出PF_L底面

ABCD,这样可以建立以可，FB，丽分别为x,丁，z轴的正方向建立空间直角坐标

系，根据空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

(I)•.•BC//DF

二四边形8C"是平行四边形

:.BF//CD.

又〈CD上AD,;.BFA.AD.

又•.•面面ABC。，面PADD面ABCQ=AD,

BFu面ABC。

.•.3/_1_面94£)

旦Bbu面BE尸

二平面庞产_L平面PA。.

(II)连结PF，•.•/%=「£>，F为AO中点，.-.PF±AD

又PFu平面P4D，平面%D,平面ABCD,

平面PA。n平面ABCD=A。，

.•.Pb_L底面ABC。，

又BF工AD,以丽，丽，而分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，设

尸(0,01),。(一1,1,0),取平面ABC。的法向量1=(0,0,1)，定=(—l,l,T)，B(0,1,0),

土=」困」_V3

t=V6

.,.川0,0,司，E

设平面EBF的法向量%=(x,y,z),

n,■FE=-—x+—y+^-z=0

•••<-222，令z=l，

%•丽=y=0

x=V6-n2=(76,0,1).

设二面角上一BE—A的平面角为。

■,■lC0S^=FTn=^

\m7

又。为钝角，；.cose=-也，即二面角£一即一A的余弦值为一立.

77

【点睛】

本题考查了证明面面垂直，考查了面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查了利用空间

向量夹角公式求二面角的平面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.

19.(1)列联表见解析，没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关；(2)

(i)分布列见解析，E(X)=14.65；(ii)P管22)=备

【分析】

(1)先根据频数分布表填写2x2列联表,再将数据代入K2公式求解即可；

(2)(i)X的可取值为5,8,11,15,19,30,根据频数分布表分别求得概率,进而得到分布列,

并求得期望；(ii)先求得2(X〉14.65)=|,则4~8(3,1),进而求得概率即可

【详解】

100+100+200

(1)由题,不超过6小时的频率为=0.4,则100辆车中有40辆不超过6

1000

小时,60辆超过6小时,

贝IJ2x2歹U联表如下：

男女合计

不超过6小时103040

6小时以上204060

合计3070100

根据上表数据代入公式可得y=l°°x(2°x30-10x40)=50»0.794<2.706

30x70x60x4063

所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关

(2)(i)由题意知:X的可取值为5,8,11,15,19,30,则

P（X=5）4，P（X=8）4,P（X=ll）q,P（X=15）q,

71

P"=19）=）,P（X=30）=与

所以X的分布列为:

X58ii151930

I

P（x）117I

ToTo552020

x-+8x—+llx-+15xl+19x—+30x—=14.65

E(X)=5

1010552020

=工+与+与=3，所以4~8

（ii）由题意得P(X>14.65)

520205

3

3x"乌81

所以P(4>2)=月传=2)+P(J=3)=C；

255125125

【点睛】

本题考查独立性检验的应用，考查二项分布,考查离散型分布列及期望,考查数据处理能力与

运算能力

2

20.（1）?+/=］；⑵Q,2及］

【分析】

1h21

（1）由匕-&=一：可得—勺=一上，再把已知点的坐标代入后列出关于的方程组求解

2

4a4

可得椭圆标准方程;

⑵设直线PQ的方程为＞="（%＞0）,求出点A,C到直线PQ的距离4，4在，再由

直线与椭圆相交的弦长公式求得弦长|PQ|，表示出四边形面积为左的函数，由函数性质可

得取值范围.

【详解】

（1）设P（毛,为），则

为丫。—工

2

毛+QxQ-aXg-a

又可+\=lny：="（a：*）,所以快=「=一①

a~h-aa4

13

又由椭圆C过点1,得②

2

由①②得。=2,b=\,故椭圆方程为三+丁=1.

4

（2）A（-2,0）,C（0,—1）,设直线尸Q的方程为丁=丘（2＞。），则点A,C到直线P,

J2k,1

。的距离分别为4=/,1&=~7^=.

y/k2+\"2+1

y=kx,

’22k、'所以阙=21”卜篙

又由《/2得产

丁)'1+1J—+1,

四边形APQC的面积

S=+Q|(4+4)=¥^=2l+4k+4k2

2

2，1+4Kl+4k2

由，+4%e[4,+oo）得Se仅,2&].

k

故四边形APCQ面积的取值范围是（2,2血].

【点睛】

本题考查求椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交的面积问题.解题时列出关于的方程组

是求方程的关键.直线与椭圆相交问题可设出直线方程为y="/>0),把面积用火表示,

然后由函数性质得出取值范围.

21.⑴当—l<a<0时:/'(X)在(0,一?)上单调递增，在卜等,+8)上单调递减;

当aNO时，尸(力在(0,+")上单调递增；

(2)证明见解析.

【分析】

(1)先求导得/'(x)=a(lnx+l)-qJ,再分一1<。<0和。》0讨论即可得/'(x)的

单调性；

⑵令函数g(x)=/(x)+x-二，则g<x)=/'(x)+l,结合(1)得在(0,+8)上g'(x)

单调递增，g'⑴=0,进而得在(0,1)上g(x)单调递减，在(1，位)上g(x)单调递增，再

结合g(l)<0,g(e)>0得％>，，x2<e,故x+eAz+g.

【详解】

解：⑴/，(x)=a(lnx+l)一史±xe(0,+oo),

,a)一+”

XXX

若一1<。<0,

令/"(X)>0解得0<X<,即/'(X)在(o,-"1］单调递增；

令/"(X)<0解得X>-号!■时，即/'(x)在‘等，+°°)上单调递减.

若“20,易得当％>0时，r(x)>0,即/'(X)在(0,+8)单调递增.

故当一1<。<0时，/'(X)在［o,—上单调递增，在(一誓,+s］上单调递减；当

a20时，/'(x)在(O,+。)上单调递增.

(2)令g(x)=/(x)+x-7则g'(x)=/'(x)+l.

由(1)知在(0,+8)上g'(x)单调递增.

又g'⑴=/''⑴+1=0,所以在(0,1)上,g'(x)<0，g(x)单调递减;在(1，内)上,

g1x)>0,g(x)单调递增.

⑴a/八131)人21八

又gL=——+(a+l)+----=