曲阜师范大学数学建模 期末复习题

《数学建模》复习资料(一)一、解答题1.某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？(建立模型不计算)。2.记时刻渔场鱼量为，在无捕捞时的增长服从Logistic规律，单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正比，比例常数为，试求满足什么条件时渔场鱼量稳定，怎样才能获得最大的持续产量？3.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，甲丙合作获利5元，乙丙合作获利4元，三人合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？（1）求出协商解、最小距离解与Raiffa解。（2）如果甲乙丙三人单独经商时各获利1元，用Shapley合作对策对三人合作时的获利进行分配。（3）试用以上数据说明合作对策中三类分配方法的特点。4.生产与存贮问题：一个生产项目，在一定时期内，增大生产量可以降低成本费，但如果超过市场的需求量，就会因积压增加存贮费而造成损失。相反，如果减少生产量，虽然可以降低存贮费，但又会增加生产的成本费，同样会造成损失。因此,如何正确地制定生产计划，使得在一定时期内，生产的成本费与库存费之和最小，这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。但由于生产条件的变化，该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示：月份(k)：123456月需求量(bk)：853274单位工时(ak)：111813172010设库存容量H=9，开始时库存量为2，期终库存量为0。要求制定一个半年逐月生产计划，使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。《数学建模》复习资料(一)答案一、解答题1、答:（1）．确定决策变量：x1=生产桌子的数量x2=生产椅子的数量（2）．确定目标函数：家具厂的目标是销售收入最大maxz=50x1+30x2（3）．确定约束条件：4x1+3x2≤120（木工工时限制）2x1+x2≤50（油漆工工时限制）x1≥0,x2≥0。2、解令两个平衡点为,,不难算出,,故若,则点稳定,不稳定,反之,则点不稳定,稳定.由图知,当y=f(x)与y=Ex在抛物线顶点P*相交时可获得最大的持续产量,此时平衡点为,且单位时间的最大产量为,所以保持渔场鱼量稳定在的捕捞率为.3、解(1)协商解:b=(4,5,7),B=11，x=(4,3,1),x=(5,4,2),最小距离解:,x=(5,4,2).Raiffa解(2)(3)shapley值方法公正、合理，但是需要的信息太多,n较大的实际问题难以提供。B类方法计算简单，便于理解，但通常偏袒强者，可用于各方实力相差不大的情况，C类方法Raiffa解考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保护了弱者。4、解：S：总耗费工时。a(n):月耗工时。H（n）：月库存量。Y（n）:月生产量。B（n）：月需求量。Q：总成本费。W：总存贮费。M:总费用。由保证需求量及库存容量的约束条件下，我们可以得到以下的约束条件，转换成数学建模。H1=Y1+2-80<=H1<=9H2=Y2+H1-50<=H2<=9H3=Y3+H2-30<=H1<=9H4=Y4+H3-20<=H1<=9H5=Y5+H4-70<=H1<=9H6=Y6+H5-4H6=0由此可以得到以下的式子：0<=Y1+2-8<=96<=Y1<=150<=Y2+H1-5<=911-Y1<=Y2<=20-Y10<=Y3+H2-3<=914-(Y1+Y2)<=Y3<=23-(Y1+Y2)0<=Y4+H3-2<=916-(Y1+Y2+Y3)<=Y4<=25-(Y1+Y2+Y3)0<=Y5+H4-7<=923-(Y1+..Y4)<=Y5<=32-(Y1+...Y4)Y6+H5-4=0Y1+Y2+.....Y6-27=0我们是从一月份开始逐月的确定生产量，又要考虑耗费工时的最小。a1=Y(1)11/8a2=Y(2)18/5a3=Y（3）13/3a4=Y（4）17/2a5=Y(5)20/7a6=Y(6)10/411/8=1.3（最小）18/5=3.613/3=4.317/2=8.5(最大)20/7=310/4=2.5（第二小）所以：总工时S=a1+a2+...............a6总费用M=Q+W经分析要使得S取最小值，库存量H1，H2必须取最大值，H4，H5取最小值。所以得到的逐月生产计划是：月份123456生产量1550034《数学建模》复习资料(二)一．应用题1.（5分）某外贸进出口公司拟用集装箱托运甲乙两种货物，每包体积、重量、可获利润及集装箱数目所受限制见下表：货物（包） 体积（立方米） 重量（千克） 利润(千元)甲乙 54 25 2010集装箱限制 24 13 问每个集装箱中两种货物各装多少包，可以使所获利润最大？试对该问题建立合适的数学建模，不需要求出具体结果。2深水中的波速与波长、水深、水的密度和重力加速度有关。用量纲分析法确定与其余变量之间的关系。3.某种电热水器加热时间x与水温y之间有如下的实验数据：x（分钟） 15 20 25 30 35y（℃) 12.16 13.97 14.96 15.49 16.8试确定x与y的最佳拟合多项式的阶数，确定该拟合函数表达式，并估计加热1小时时的温度。《数学建模》复习资料(二)答案一．应用题1）.中间关键步骤不能少，否则不给分！2）开头计算错误，但整体思路、算法正确适当给一些分。1.解：设x1、x2分别为每个集装箱中甲乙两种货物的托运包数，f为总利润，则该问题可以视为整数线性规划问题，其数学建模为：目标函数1分，每个约束条件各1分常见错误：没有非负、整数约束，未写ILP标准形式2解：问题的物理量有：波速与波长、水深、水的密度和重力加速度。令.取1=，2=，3=，4=，5=基本量纲为M，L，T，各物理量的量纲为：[1]=L,[2]=LT-1，[3]=L,[4]=M-1L-3,[5]=LT-2。――――量纲矩阵为：,r(A)=3,――――的一个基本解系为：,――――――从而得到两个无量纲量―――――注：此处有且仅有两个无量纲量（形式可以有所不同），并且只有一个含有，否则后面无法求解！由Backingham定理得与某一方程等价。由隐函数定理可得。――――――3.解：因为自变量为等距分布，故采用差分表确定拟合多项式阶数：注：1.因指定采用多项式形式，故其它拟合函数一律不给分！2.最佳阶数应由差分表确定！主观认定或散点图认定均不给分。3.采用代入部分点求解参数的方法不给分，应为不符合拟合原则！y12.160013.970014.960015.490016.8000dy1.81000.99000.53001.3100d2y-0.8200-0.46000.7800d3y0.36001.2400―――――――一阶差分波动为0.82，二阶差分波动为1.24，根据差分表确定最佳多项式的次数为1。―――――――假设x与y之间的关系为：。根据最小二乘法，求解本问题的正规方程：。其中，，，――――――则，解此正规方程可得：，故最佳多项式为：。―――――――当加热1小时，即时，代入拟合函数计算可得此时温度22.236℃。――4.注：本题如果采用和法、根法等不能保证精度的算法求解得到的只能作为其它算法的初值，不能作为最终结果使用，否则不给分。解法一：A的特征多项式：，用牛顿迭代公式，可根据根的隔离方法得出隔离区间，从中取初值，建议取为3，解出（取3.15～3.25均可算对），代入验证，所以A的不一致程度不在容许范围之内。解法二：A为3阶矩阵，对应的RI=0.58由层次分析法一致性检验可知，当随机一致性比率时可以认为A的不一致程度在容许范围之内，其中一致性指标。因此如果A的不一致程度在容许范围之内，则将的上界3.116代入A的特征多项式：，直接计算可知，因为，从而由连续函数介值定理可以知道，因此假设不成立，所以A的不一致程度不在容许范围之内。――――――――――5．常见错误：1.将本模型混同为Leslie模型。2.不知所云，生搬硬套书上定岗定编模型，转而求解平衡点、稳定域等概念。解：假设第n年技术人员分布情况用向量表示，总人数为,调入企业人数为R=80,退出企业人数为.内部一步转移概率矩阵为，调入分布向量,退出向量.则.关于人数分布情况的演化规律可以用下面的模型描述：，即或者由递推法可以知道:――――记，则，关于总量的演化规律可以用下面的模型描述：（直接表达式）或者（间接表达式）―――――《数学建模》复习资料(三)一、解答题1、三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34。（1）用比例加惯性对20席进行分配。（2）若增加为21席，用Q值方法进行分配。2、长、吃水深度的船以速度航行，若不计风的影响，那么航船受的阻力除依赖于船的诸变量,,以外，还与水的密度和重力加速度有关。下面用量纲分析方法确定与这些物理量之间的关系。3、在按年龄分组的种群增长模型中,设一群动物的最高年龄为15岁,每5岁一组,分成3个年龄组,各组的繁殖率为存活率为开始时三组各有1000只.求15年后各组分别有多少只,以及时间充分长以后种群的增长率(即固有增长率)和按年龄组的分布。4、基因问题在基因遗传过程中,考虑3种基因类型:优种D(dd),混种H(dr),劣种R(rr).对于任意的个体,每次用混种与之交配,所得后代仍用混种交配,如此继续下去.构造马氏链模型,说明它是正则链.求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数.如果每次用优种与之交配,所得后代仍用优种交配,如此继续下去.构造马氏链模型,说明它是吸收链.求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数.《数学建模》复习资料(三)答案一、解答题1、答:人数（%）比例结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44按人数比例的整数部分已将19席分配完毕,第20席计算Q值Q1=96.4,Q2=94.5,Q3=96.3Q1最大，第20席给甲系,第21席Q1=80.4,Q3最大，第21席给丙系。2、解：要寻求的关系记为，物理量的量纲为，，，，，，rankA=3=0有=3个基本解为得到阻力的显式表达式3、记时段种群按年龄组的分布向量为.由繁殖率和存活率构成的矩阵为,则按年龄组的分布方程为.15年后各组分别为14375,1375,875只.由可得其正的特征根对应的特征向量为时间充分长之后种群的增长率为1.5,按年龄组的