【模拟测试】数学高考检测试卷及答案解析

高考模拟测试数学试题

(满分150分，时间：120分钟)

一、选择题(每小题5分).

1.已知集合用={x，-2x-8V。},N={x|lnx>0},则Mp|N=()

A.1x|-4<x<1}B.|x|-2<x<l}C.卜［1<%<2}D.1x|l<x<4}

2.已知复数z=1j,则|Z|=()

A.0B.V2C.2D.-2

3.将函数f(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，得到函数g(x)=cos2x的图象，则/(%)是

()

A.周期为2%的偶函数B.周期为2万的奇函数

TT

C.周期为k的偶函数D.周期为王的奇函数

22

x+2y-2>0

4.若实数X,y满足<2x-y-4<0,贝！jz=x-2y的最小值为()

y<2

A—6B.-1C.2D.6

(叫

5.已知tana——=2,贝i]tana=

14)

11

A.B.——C.3D.-3

33

71

6.过点P作圆0：x2+V=i的两条切线,切点分别是A,B,若乙4尸8=一,则方•丽二()

3

B.1「上也

A.J---D.

~2222

7.恩格尔系数(坳ge-sCo助?cie”)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于

最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数

和居民人均可支配收入的折线图.

恩格尔系数

31.50%

31.00%

30.50%

30.00%

29.50%

29.00%

28.50%

28.00%

201220132014201520162017201820192020

居民人均可支配收入

35000

30000

1

25000

—4

20000

15000

10000

5000

0

201220132014201520162017201820192020

给出三个结论:

①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系；

②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；

③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.

其中正确的是()

A.①B.②C.①②D.②③

8.如图所示，已知抛物线，2=2px(〃>0)的焦点为尸，点A(七,3)是抛物线上一点，过A作抛物线准线

的垂线，垂足为“，HF交抛物线于点B,且班=2而，则。=()

A.2B.y/3C.V2D.1

9.古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的

沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥

拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列｛q｝,四

边形数组成数列｛d｝,记%=—1—,则数列｛%｝的前10项和为（）

J

9D10-20

A.—B.—D.——

101111

10.如图所示，在棱长为2的正方体ABC。—A4G。中，点E，F，G,H,/.J分别是棱4瓦，

AR,DR,CD,BC,的中点，现在截面瓦G/〃/内随机取一点M，则此点满足|AM+|MG|<4

A百口6■兀「四n百万

x\.--D.1"k_x.U.,

9969

11.已知双曲线三一春•=1（。>°/>°）的左、右焦点分别为"，尸2,过点片且斜率为4的直线/与双

曲线的右支交于点A,且是以区工为底边的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）

A.2+V2B.2+V7C.2+20D.2+2近

12.若对任意xe（O,yo）,不等式-lnx>0恒成立，则实数。的取值范围为（）

（1n）fl>/、

A.[--,ejB.C.，ejD.（e,+ooj

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/（x）=lnx—f的单调递增区间为.

14.已知一个球的半径与一个等边圆柱（过轴的截面是正方形）的底面半径相等，则该圆柱的表面积与球的表

面积的比值是.

15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数

之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一元线性同余方程组问题，如图为由该算

法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是.

其中P三/w(mod〃)表示尸被〃除余

16.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于半时，费马

点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为胃.已知点P为△相。的费马点，角A,B,。的对边分

别为b,c,若©054=2$皿(。一"卜0$8,且〃=(a—c>+6,则P3+PB-PC+PC的

值为.

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛。“｝的前〃项和为S,,,且满足2s“=32一1(〃wN*).

(1)求数列｛《,｝的通项公式；

⑵求数列｛(2〃-1)为｝的前〃项和.

18.2021年春节，由贾玲导演的春节档电影《你好，李焕英》总票房已突破50亿元，影片的感人情节引起

同学们广泛热议.开学后，某校团委在高三年级中(其中男生200名，女生150名)，对是否观看该影片进行

了问卷调查，各班男生观看人数统计记为A组，各班女生观看人数统计记为5组，得到如图的茎叶图.已知

全年级恰有3个班级观看该影片的人数超过40.

［组8组

86501678

■1120113378

54223

(I)根据茎叶图绘制2x2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关？

(n)若先从A组人数超过20的数据中随机抽取一个数据，再从3组人数少于20的数据中随机抽取一个数

据，求抽到的这两个数据来自同一个班的概率.

参考数据及公式如下：

2

P(K>k]0.10.050.0250010.0050.001

k2.7063.84150246.6357.87910.828

n(ad-be)"

,n-a+b+c+d

(a+0)(c+d)(a+c)(0+d)

19.如图所示，在四棱锥P—A3C。中，PZ)_L底面ABCD,四边形ABCO为矩形，8=2,

PD=AD=42>E为。。的中点.

(I)求证：AE_L平面P3D；

(H)求点A到平面PBE的距离.

27

Y

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：—+y=l(a>8>0)的左、右焦点分别为K，F”M为

2

a~b

椭圆。上一点，线段〃片与圆相切于该线段的中点，且△“打工的面积为2.

(1)求椭圆。方程；

(U)过点八的直线/与椭圆。交于A,B两点、,且NAO5=90。，求AAQB的面积.

21.已知函数/(x)=e*+at,g(x)=f(x)-f(-X)(aG2?).

(1)若直线卜=履与曲线/(幻相切，求Z—a的值；

(11)若8(幻存在两个极值点为，%，且求a的取值范围.

X,-x2e

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

■rr

22.在极坐标系Qr中，射线/的极坐标方程为6=彳(夕20),曲线C的极坐标方程为

p2-4psin6»=r2-4(r>0),且射线/与曲线C有异于点。的两个交点P,Q.

(1)求「的取值范围；

11

(2)求同+画的取值范围•

［选修4-5：不等式选讲】

23.已知函数/(x)=|x+2|T，zx-2|(aeR).

⑴当。=2时，解不等式

出当工W—2,2］时，求证：/(x)+/(-%)<().

答案与解析

一、选择题(每小题5分).

1.已知集合"={xM-2x-8<。},N={x|lnx>。},则MCN=()

A.{x|-4<x<l}B.{x|-2<x<l}C.{x［l<x<2}D.{x［l<x<4}

［答案］D

［解析］

［分析］求出集合M、N,利用交集的定义可求得集合McN.

［详解］M={x|-2<x<4},N={x|x>l},

McN={x［l<x<4}.

故选：D.

［点睛］关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，解题的关键是要正确求出集合并熟练掌握交集的定义.

2.己知复数2=-则忖=()

A.0B.72C.2D.-2

［答案］B

［解析］

［分析］利用复数除法求出z,再根据复数模的意义得解.

2i2/(1+/)-2+2/

［详解(j)(l+i广f=-1+Z,则Z=-l+z,

所以|z1=7(-1)2+12=V2.

故选：B

3.将函数/(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，得到函数g(x)=cos2x的图象，则/(x)是

()

A.周期为2〃的偶函数B.周期为2〃的奇函数

TT7T

C.周期为一的偶函数D.周期为一的奇函数

22

［答案］C

［解析］

［分析］根据三角函数图像变换求得/（X）,由此确定正确选项.

［详解］将函数/3）图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍，

得到函数g（x）=cos2x的图象，

24TT

则/（x）=cos4x,故它是周期为」的偶函数.

42

故选：C

x+2y-2>0

4.若实数X,y满足<2x—y—4<0,则z=x-2y的最小值为（）

.”2

A.-6B.-1C.2D.6

［答案］A

［解析］

［分析］先画出平面区域，然后结合图形求最小值即可.

［详解］作出不等式组对应的平面区域如图：

平移直线丁=,1-，z,由图象知当直线经过点C时，直线截距最大,

此时z最小,

-22

y=2fx=-2

由。c八得《c，即C（-2,2）,

x+2y-2=0y=2

此时z=—2—2x2=—6,

故选：A.

（乃）c

5.已知tana—=2,则tana=

I4j

11c

A.-B,—C.3D.-3

33

［答案］D

［解析］

［详解］分析：利用两角和的正切公式即可.

故选：D.

点睛：解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.（1）当“已知角”有两个时，“所

求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”

与“己知角”的和或差的关系.

■JT

6.过点尸作圆0：V+y2=］两条切线，切点分别是A,B,若=则次.丽=（）

_1173A/3

A.DR.Ur.----DN.

2222

［答案］A

［解析］

［分析］根据向量数量积的运算，结合圆的切线的几何性质，求得砺•砺的值.

［详解］由题意可得：==ZA0B=~,

所以。4。月=1x1xcos—.

32

故选：A

7.恩格尔系数（E〃ge「sC。啰cie〃）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于

最终消费支出和储蓄的总和，即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数

和居民人均可支配收入的折线图.

201220132014201520162017201820192020

居民人均可支配收入

35000

30000

①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存负相关关系；

②一个国家的恩格尔系数越小，说明这个国家越富裕；

③一个家庭收入越少，则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.

其中正确的是（）

A.①B.②C.①②D.②③

［答案］C

［解析］

［分析］通过对2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图的分析，了解两者间的相关

性而作出判断.

［详解］由折线图可知，恩格尔系数在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，

故两者之间存在负相关关系，结论①正确；

恩格尔系数越小，居民人均可支配收入越多，经济越富裕，结论②正确；

家庭收入越少，人们为解决温饱问题，收入的大部分用来购买食品，结论③错误.

故选：C

8.如图所示，已知抛物线丁2=2〃彳（〃>0）的焦点为6，点4（为,3）是抛物线上一点，过A作抛物线准线

的垂线，垂足为“，“F交抛物线于点B,且丽=2而，则〃=（）

A.2B.GC.V2D.1

［答案］B

［解析］

［分析］设B（x,y）,wl-^,3LFR,O1,由诙=2而化为坐标关系即可求解'值.

［详解］解:设8(x,y),wl-1,3LF1,o

因为H&=2B户，所以（尤+言"-3）=2

解得工7«丁=1，

6

所以l=2p-g,所以〃=百，

6

故选：B.

9.古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的

沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥

拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列｛《,｝,四

边形数组成数列｛%｝,记或=葭=一'则数列｛%｝的前1。项和为（）

^n+\~an+\

［答案ID

I解析］

［分析］根据题中的信息分别求出再求出，，最后裂项求和即可.

Z7(+1|

［详解］由题意可得，%=1+2+3H---=---,bn=1+3+5H-----F(2几-1)=〃〜，

c1__________1__________2___L)

所以"%(〃+1)(〃+2)〃(〃+1)1〃〃+4,

设数列匕｝的前〃项和为s“,

12n

所以S=2|1---1-----F•••H---

"1223n〃+11

所以Eo=言

故选：D.

10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCO-AUGA中，点E，F,G,H,I,1分别是棱4与，

4。，DD{,CD,BC,BBl的中点，现在截面b内随机取一点M,则此点满足|4N|+|力1区4

A6口6■兀「2n岳

9969

［答案］D

［解析］

［分析］连接AG交平面EFGH1J于。，则。为AG和G/的交点，设|0M|=x,用％表示|+|Mg归4,

然后解出x的范围，即可判断点M轨迹，利用几何概型概率的计算求出要求的概率.

［详解］解：连接AG交平面瓦6〃1/于。，则。为AG和G/的交点，

由正方体的性质可得AG1平面EFGHIJ，二ACf10M,

设|C>M=x,•:AO=OC\=6

|皿+|MCj=5+(/『+「+(⑹2=2&+3«4,即E，

满足|AM+|MCJW4的点M的轨迹所围成的面积为万，

又截面EFGHIJ的面积为6x,xV2x^sin-=3V3,

23

故所求概率P=：=

3739

故选：D.

［点睛］关键点点睛：本题考查儿何概型概率的计算，解答的关键就是将问题转化为平面区域型儿何概型问题,

利用数形结合思想求解.

H.已知双曲线吞-£=1（。＞0,。＞0）的左、右焦点分别为耳，F2,过点片且斜率为，的直线/与双

曲线的右支交于点A,且AAK耳是以AB为底边的等腰三角形，则该双曲线的离心率为（）

A.2+72B.2+SC.2+272D.2+277

［答案］A

［解析］

［分析］由双曲线的定义和三角形的余弦定理，可得a，c的关系，再由离心率公式可求解.

［详解］解:由题意知，忻用=|A耳|=2c,

•••直线/的斜率为斗，即tan/Af；用=*,，cosNAGE=

在人月月中，由余弦定理知，

3

|Ag「=|4月「+忻用2_2卜用Mg|.cosZA耳5=4＜?+4c2-2-2c-2c-^2c2,

：.\AF2\=y/2c,

由双曲线的定义知，|AkH伍|=2c—0c=2a,

离心率e=_=----尸=2+^2.

a2-V2

故选：A.

［点睛］方法点睛：

(1)求双曲线的离心率时，常将双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量〃为,c•的方程或不等式，利用

〃=。2-/和e=£转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.

a

(2)对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量.

12.若对任意X6(0,物)，不等式四“，一111彳>0恒成立，则实数。的取值范围为()

A.B.gz)C.e］D.(e,+8)

［答案］B

［解析］

［分析］令x=l，则ae">0,得。>()；当xc(O,l)时，lnx<0,田/">xlnx恒成立；当xe(l,+oo)时,

令g(x)=xlnx(x»l),求导分析单调性得e">x在］,+8)恒成立，通过分离参数即可求解参数范围.

［详解］解：令x=l,贝iJae">0，/.«>0.

不等式ae,LX-Inx>0恒成立u>axeax>xInx，

①当xe(O,l)时，lnx<0,axe'">xInx恒成立；

②当xe(l,+oo)时,令g(x)=xlnx(xNl),

g'(x)=l+lnx>0,g(x)在［l,+oo)单调递增，

即*In*>x\nx等价于g(二)>g(x),

o/">x在］,+8)恒成立.

即ar>lnx,a>见二在恒成立.

人,/、Inxz、八…、1-Inx,、一,D

令/z(x)=---(x>l),则/z(x)=——7—=0，可得％=e,

xx

・・・/心）在（l,e）递增，在（a+8）递减，

・,，（X）max=，7（e）=-，：・。＞一，

ee

的取值范围为

故选：B.

［点睛］方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值（取值范围）问题常用的方法：

（D函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利

用数形结合的方法求解.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数/（x）=lnx—V的单调递增区间为.

（五、

［答案］0,—

I2）

［解析］

［详解］由题意可得函数的定义域为（（）,+8）.

11_oV-2

V/（x）=lnx-x2,.-./（x）=--2x=-!—

XX

由/'（x）＞0可得1一2/＞0,解得0＜x＜等.故函数的单调增区间为（0,白）.答案：（0,白）.

14.已知一个球的半径与一个等边圆柱（过轴的截面是正方形）的底面半径相等，则该圆柱的表面积与球的表

面积的比值是.

一3

［答案L

2

［解析］

［分析］设等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径1，即可求得圆柱的表面积与球的表面积的比值.

［详解］解：由题意可得：等边圆柱（底面直径和高相等的圆柱）的底面半径与球的半径相等，设为1,

所以等边圆柱的表面积为：6兀,

球的表面积为：47.

所以等边圆柱的表面积与球的表面积之比为3:2.

3

故答案为：一.

2

15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数

之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一元线性同余方程组问题，如图为由该算

法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是.

其中三双mod〃)表示P被〃除余加

［答案］6

［解析］

［分析］根据程序框图，对每一步进行计算直到得到结果为止.

［详解］模拟程序的运行，可得

〃=3,i=1

〃=7,1=2

不满足判断框条件，〃=11,i=3

不满足判断框条件，〃=15,/=4

不满足判断框条件，〃=19,i=5

不满足判断框条件，〃=23,i=6

满足判断框条件，故输出的i的值为6.

故答案为：6.

16.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于g时，费马

27r

点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为5.已知点P为AABC的费马点，角A,B,C的对边分

别为。，b,c,若cosA=2sin。一［cosB,S.h2=(a-c)2+6,则的

值为.

［答案］6

［解析］

［分析］化简COSA=2sin(Cq卜OS8求得3=(,结合余弦定理以及尸=(。一cf+6求得ac,利用三

角形的面积列方程，化简求得

［详解］;cosA=2sin(C-弓■卜osB,

cosA=21^^sinC-gcosCcosB,即cosA=GsinCcosB-cosCcosB，

,**A+B+C=,

:.cosA=-cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinC,

•*--cosBcosC+sinBsinC=>/3sinCcosB—cosCcosB,即sinBsinC=GsinCeos3，

・八八sinBr-

sinC0,tanB=----=v3，

cosB

Be(O,7r)fA5=y,

由余弦定理知，cos8=a+c-b=

lac2

b2=(a—c)2+6,

••ac=6,

•*.SABC=—PA-PBsin-1—PB-PCsin---1—PA-PCsin—=—acsinB=-x6xsin————，

iABC2323232232

PAPB+PBPC+PAPC=6.

故答案为：6

［点睛］三角恒等变换是化简己知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注意结合余弦定理、正

弦定理、三角形的面积公式.

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛对｝的前〃项和为S”,且满足25,,=3%-1(〃eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛(2〃-l)a„｝的前〃项和Tn.

［答案］⑴a“=3"-1;（2）7；=（〃-1）x3"+1.

［解析］

［详解］试题分析：（1）当〃=1时，得4=1；当〃22时，得&=3,所以数列｛4｝是以1为首项，3为

an-\

公比的等比数列，即可得到a„=3"-'.

（2）由（1）得（2〃-1）氏=（2〃-1）3"T,利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前w项和.

试题解析：

（1）当〃=1时，2q=3q—l,q=l；

当〃22时，2S“=3an-1,①

2s“_|=3%-1，②

a

a3

①一②得，2an=3an-34T，n=3%,=,

an-\

数列｛%｝是以1为首项，3为公比的等比数列，所以。“=3"T.

（2）由（1）得（2〃一1）。“=（2〃—1）3"T,

7；,=1X30+3X3'+5X32+...+（2/?-1）X3,-1,①

37；,=1x3'+3x3?+...+（2〃-3）x3"T+（2〃—l）x3",②

①-②，得—2雹=l+2（3i+32+33+3+3"T）—（2〃—l）x3"

3-V

=l+2x-p^-—（2〃-1）x3"=-2（〃-1）x3"-2.

所以＜=（“-1）x3"+1.

18.2021年春节，由贾玲导演的春节档电影《你好，李焕英》总票房已突破50亿元，影片的感人情节引起

同学们广泛热议.开学后，某校团委在高三年级中（其中男生200名，女生150名），对是否观看该影片进行

了问卷调查，各班男生观看人数统计记为A组，各班女生观看人数统计记为5组，得到如图的茎叶图.已知

全年级恰有3个班级观看该影片的人数超过40.

/组8组

86501678

4420113378

54223

(I)根据茎叶图绘制2x2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关？

(II)若先从A组人数超过20的数据中随机抽取一个数据，再从3组人数少于20的数据中随机抽取一个数

据，求抽到的这两个数据来自同一个班的概率.

参考数据及公式如下：

P(K2>k)0.10.050.0250.010.0050.001

k2.7063.8415.0246.6357.87910.828

K?n(ad

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

2

［答案］(I)表格见解析，没有；(II)—.

［解析］

［分析］(I)绘制2x2列联表，计算K2的值，由此判断出没有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关.

(II)利用古典概型计算公式，计算出所求概率.

［详解］(I)根据茎叶图绘制2x2列联表如下，

观看没观看合计

男生14060200

女生12030150

合计26090350

计算K2_350x(140x30-120x60)2

''260x90x200x150«4.0487<5.024,

所以没有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关.

(II)因为全年级恰有3个班级观看该影片的人数超过40,

所以这三个班的男女生人数依次是：

“男22女23,男24女17,男25女18”或“男22女23,男24女18,男25女17”；

若先从A组人数超过20的数据中随机抽取一个数据，再从3组人数少于20的数据中随机抽取一个数据,

可能情况有3x9=27(种)，其中满足抽到的这两个数据来自同一个班的情况有2种，

所以所求的概率为P=2.

27

19.如图所示，在四棱锥P—ABCZ)中，底面A8CO,四边形A8CO为矩形，8=2,

PD=AD=叵,£为。。的中点.

(I)求证：4£_1平面正比＞;

(II)求点A到平面PBE的距离.

［答案］(I)证明见解析；(IDV2.

［解析］

［分析］(I)由尸。J_平面ABC。，可得PDLAE,再由矩形ABC。与边长，可得由线面垂直

的判定定理可得AE_L平面PBD-.

/_匕-EPB

(H)通过等体积法求得点到平面距离，VA-EPB=V~ABE得一！0，即可求解.

\AEPB

［详解］(I)证明：因为四边形A3CD为矩形，所以24。七=/948=90°,

所以tan/E4£＞=tanNA8£)=2-，所以NE4D=NAB£＞，

2

又NADB+乙钻。=90°,所以NE4Z)+NAZ)B=90°,

所以AEL8D，又因为PD_L平面ABC。，AEu平面ABC。，所以PDLAE,

又BD,PDu平面PBD,所以AE_L平面

(H)由(I)可知，点P到平面ABE距离为P£)=血，

又S&tsE=耳x2xy/2=6,

所以VA-EPB=^P-ABE=X夜*近一§,

由题意可知，JAD2+AB2=显，

BE=NBC2+CE2=6'

PE=dPD?+DE?=g,

由（I）可知，PD±BD,所以PB=JPD?+BD?=+（娓¥=2人,

所以△EP8为等腰三角形，

取/>8的中点。，则EO-LPB,£（）=yjpE2-PO2=1-

所以S&EPB=~X2^2X1=A/2,

2

所以点A到平面PBE的距离d=-=73-=&.

—SFPB-XV2

3403

［点睛］方法点睛：求点到面的距离常用方法：

1、等体积法；

2、直接作出点到平面的垂线，则该垂线段的长度就是所求的距离；

3、向量法：用向量距离公式求解.

22

20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：鼻+齐=1(。＞人＞0)的左、右焦点分别为6，F］,M为

椭圆C上一点，线段“耳与圆/+＞2=1相切于该线段的中点，且△加耳鸟的面积为2.

(I)求椭圆。的方程；

(II)过点用的直线/与椭圆。交于A,B两点,且NAO8=90°,求AAOB的面积.

［答案］(I)工+其=1；(II)迪.

425

［解析］

［分析］(I)设线段加4的中点为N,则由题意可得|g|=2,MF,1MF2,从而可得|M|=2a-2,再

由鸟的面积为2,可求出。=2,再利用勾股定理可求得c=2,从而可求出。，进而可得椭圆。的

方程;

（2）先判断出直线/的斜率不为0,则直线/的方程为x=my+0,A（%,y）,3（私必），再将直线方程

与椭圆方程联立方程组，消去x,整理后利用根与系数的关系，由N4A仍=90°可得

2

（l+/n）yly2+V2（m-l）（y1+y2）+4=0,从而可求出"的值，进而可求AAQB的面积.

［详解］解：（I）设线段加6的中点为N,则|ON|=1,又ON是三角形5乙的中位线，

所以眼用=2,MFtlMF2,

由椭圆的定义可知|5|=2。-2,因为三角形晰后的面积为S=g（22）x2=2a—2=2,

所以a=2,又因为旧鸟|==J（2a_20+22=2&，所以c=JL

则人=及，所以椭圆的方程为,+与=1；

（］|）当直线/的斜率为0时，此时NAQB=180°,不合题意,

当直线/的斜率不为。时，设直线/的方程为x=my+0,A（/y）,3（马,必），

x=my+V2

联立方程〈22消去x整理可得：（疗+2）V+2夜阳-2=0,

XJ-I

U2

__20m—2

所以%+丫2%丫2

m2+2m2+2

所以X|X2=（my+何（my1及+++

因ZAOB=90°,所以。A_LO5,则为々+%%=。，

—4，"+4—2八KUI”2

即—；----+———=0,所以加一

m-+2m-+22

所以S-OB=曰。闾lx—必|=4,（凹+%）2-4"2=4J+-4-Z

ZZ2Vl-m苦+J2）7〃+2

2日口还

2国玲

工+25

2

［点睛］解决直线与椭圆的综合问题时，要注意:

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三

角形的面积等问题.

21.已知函数/3=6*+以，g(x)=/(x)-/(-x)(£ZG/?).

(I)若直线y=H与曲线/(X)相切，求左一a的值；

(1【)若且(%)存在两个极值点玉，%2,且烈止也J>-2,求a的取值范围.

x}-x2e

'e+e”、

［答案］(I)攵—a=e：(II)----―,-lj.

［解析］

［分析］(I)设切点求导得斜率，利用切线列方程求解即可；

(II)g(x)存在两个极值点再，工2,故导数为0存在两不同根，判断g(x)的奇偶性，可得玉=-&<0,

代入已知条件一2化简求导并分析单调性即可求出X,范围，从而求解参数a范围.

xi-x2e

［详解解：(I)设切点为(毛,%)，/(x)="+a,

:直线与曲线/(x)相切，

e*>+a=后，e，"+ax0=kx(),

攵)=0,

解得%=1,。=女(不成立，舍去)，

:.k-a=e；

(II)^(x)=ex-e~x+lax,g'(x)=e*+e-*+2a,

①当aN-1时,g'(x)>2+2a>0,

g(x)在R上单调递增，函数g(x)无极值，不符合题意，舍去.

②当。<一1时,g'(x)=ex+e'x+2a=0,

不妨设占<七，解得：/=ln卜a_Jcr卜4=In卜<+Na1-］.

可得函数g(X)在(-8,')单调递增，在(%,%)单调递减，在(占，+8)单调递增，符合题意.

g(-x)=-g(x)，,g(x)为R上的奇函数，

"=-々<。，g(%)=g(-W)>。，

+厂)]>二/>。

...g(xl)-g(x2)=gfe)=£1-£1+2a=_Lr(e.t2y，>(*，

LV7v

x}-x2x2x2x2e

：.S_ef)一卜+e-二卜>0

令/?(x)=e*-e-*-卜+e-“%>0,

则h'(x)=--x(ex-e-x),：.h"(x)=-[(eA+e-x)x+(ex-e-x)],