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文档简介
高考模拟测试数学试题
(满分150分,时间:120分钟)
一、选择题(每小题5分).
1.已知集合用={x,-2x-8V。},N={x|lnx>0},则Mp|N=()
A.1x|-4<x<1}B.|x|-2<x<l}C.卜[1<%<2}D.1x|l<x<4}
2.已知复数z=1j,则|Z|=()
A.0B.V2C.2D.-2
3.将函数f(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍,得到函数g(x)=cos2x的图象,则/(%)是
()
A.周期为2%的偶函数B.周期为2万的奇函数
TT
C.周期为k的偶函数D.周期为王的奇函数
22
x+2y-2>0
4.若实数X,y满足<2x-y-4<0,贝!jz=x-2y的最小值为()
y<2
A—6B.-1C.2D.6
(叫
5.已知tana——=2,贝i]tana=
14)
11
A.B.——C.3D.-3
33
71
6.过点P作圆0:x2+V=i的两条切线,切点分别是A,B,若乙4尸8=一,则方•丽二()
3
B.1「上也
A.J---D.
~2222
7.恩格尔系数(坳ge-sCo助?cie”)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于
最终消费支出和储蓄的总和,即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数
和居民人均可支配收入的折线图.
恩格尔系数
31.50%
31.00%
30.50%
30.00%
29.50%
29.00%
28.50%
28.00%
201220132014201520162017201820192020
居民人均可支配收入
35000
30000
1
25000
—4
20000
15000
10000
5000
0
201220132014201520162017201820192020
给出三个结论:
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存在负相关关系;
②一个国家的恩格尔系数越小,说明这个国家越富裕;
③一个家庭收入越少,则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是()
A.①B.②C.①②D.②③
8.如图所示,已知抛物线,2=2px(〃>0)的焦点为尸,点A(七,3)是抛物线上一点,过A作抛物线准线
的垂线,垂足为“,HF交抛物线于点B,且班=2而,则。=()
A.2B.y/3C.V2D.1
9.古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源,因此极为重视数的理论研究,他们常把数描绘成沙滩上的
沙粒或小石子,并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数,是毕哥
拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数,若三角形数组成数列{q},四
边形数组成数列{d},记%=—1—,则数列{%}的前10项和为()
J
9D10-20
A.—B.—D.——
101111
10.如图所示,在棱长为2的正方体ABC。—A4G。中,点E,F,G,H,/.J分别是棱4瓦,
AR,DR,CD,BC,的中点,现在截面瓦G/〃/内随机取一点M,则此点满足|AM+|MG|<4
A百口6■兀「四n百万
x\.--D.1"k_x.U.,
9969
11.已知双曲线三一春•=1(。>°/>°)的左、右焦点分别为",尸2,过点片且斜率为4的直线/与双
曲线的右支交于点A,且是以区工为底边的等腰三角形,则该双曲线的离心率为()
A.2+V2B.2+V7C.2+20D.2+2近
12.若对任意xe(O,yo),不等式-lnx>0恒成立,则实数。的取值范围为()
(1n)fl>/、
A.[--,ejB.C.,ejD.(e,+ooj
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数/(x)=lnx—f的单调递增区间为.
14.已知一个球的半径与一个等边圆柱(过轴的截面是正方形)的底面半径相等,则该圆柱的表面积与球的表
面积的比值是.
15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,具有重大意义的是卷下第26题:“今有物不知其数,三三数
之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”是中国最早一元线性同余方程组问题,如图为由该算
法演变而来的一个程序框图,则程序运行后输出的结果是.
其中P三/w(mod〃)表示尸被〃除余
16.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于半时,费马
点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为胃.已知点P为△相。的费马点,角A,B,。的对边分
别为b,c,若©054=2$皿(。一"卜0$8,且〃=(a—c>+6,则P3+PB-PC+PC的
值为.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知数列{。“}的前〃项和为S,,,且满足2s“=32一1(〃wN*).
(1)求数列{《,}的通项公式;
⑵求数列{(2〃-1)为}的前〃项和.
18.2021年春节,由贾玲导演的春节档电影《你好,李焕英》总票房已突破50亿元,影片的感人情节引起
同学们广泛热议.开学后,某校团委在高三年级中(其中男生200名,女生150名),对是否观看该影片进行
了问卷调查,各班男生观看人数统计记为A组,各班女生观看人数统计记为5组,得到如图的茎叶图.已知
全年级恰有3个班级观看该影片的人数超过40.
[组8组
86501678
■1120113378
54223
(I)根据茎叶图绘制2x2列联表,并判断是否有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关?
(n)若先从A组人数超过20的数据中随机抽取一个数据,再从3组人数少于20的数据中随机抽取一个数
据,求抽到的这两个数据来自同一个班的概率.
参考数据及公式如下:
2
P(K>k]0.10.050.0250010.0050.001
k2.7063.84150246.6357.87910.828
n(ad-be)"
,n-a+b+c+d
(a+0)(c+d)(a+c)(0+d)
19.如图所示,在四棱锥P—A3C。中,PZ)_L底面ABCD,四边形ABCO为矩形,8=2,
PD=AD=42>E为。。的中点.
(I)求证:AE_L平面P3D;
(H)求点A到平面PBE的距离.
27
Y
20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:—+y=l(a>8>0)的左、右焦点分别为K,F”M为
2
a~b
椭圆。上一点,线段〃片与圆相切于该线段的中点,且△“打工的面积为2.
(1)求椭圆。方程;
(U)过点八的直线/与椭圆。交于A,B两点、,且NAO5=90。,求AAQB的面积.
21.已知函数/(x)=e*+at,g(x)=f(x)-f(-X)(aG2?).
(1)若直线卜=履与曲线/(幻相切,求Z—a的值;
(11)若8(幻存在两个极值点为,%,且求a的取值范围.
X,-x2e
请考生在第22-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
■rr
22.在极坐标系Qr中,射线/的极坐标方程为6=彳(夕20),曲线C的极坐标方程为
p2-4psin6»=r2-4(r>0),且射线/与曲线C有异于点。的两个交点P,Q.
(1)求「的取值范围;
11
(2)求同+画的取值范围•
[选修4-5:不等式选讲】
23.已知函数/(x)=|x+2|T,zx-2|(aeR).
⑴当。=2时,解不等式
出当工W—2,2]时,求证:/(x)+/(-%)<().
答案与解析
一、选择题(每小题5分).
1.已知集合"={xM-2x-8<。},N={x|lnx>。},则MCN=()
A.{x|-4<x<l}B.{x|-2<x<l}C.{x[l<x<2}D.{x[l<x<4}
[答案]D
[解析]
[分析]求出集合M、N,利用交集的定义可求得集合McN.
[详解]M={x|-2<x<4},N={x|x>l},
McN={x[l<x<4}.
故选:D.
[点睛]关键点点睛:该题考查的是有关集合的问题,解题的关键是要正确求出集合并熟练掌握交集的定义.
2.己知复数2=-则忖=()
A.0B.72C.2D.-2
[答案]B
[解析]
[分析]利用复数除法求出z,再根据复数模的意义得解.
2i2/(1+/)-2+2/
[详解(j)(l+i广f=-1+Z,则Z=-l+z,
所以|z1=7(-1)2+12=V2.
故选:B
3.将函数/(x)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍,得到函数g(x)=cos2x的图象,则/(x)是
()
A.周期为2〃的偶函数B.周期为2〃的奇函数
TT7T
C.周期为一的偶函数D.周期为一的奇函数
22
[答案]C
[解析]
[分析]根据三角函数图像变换求得/(X),由此确定正确选项.
[详解]将函数/3)图象上所有点的横坐标都伸长到原来的两倍,
得到函数g(x)=cos2x的图象,
24TT
则/(x)=cos4x,故它是周期为」的偶函数.
42
故选:C
x+2y-2>0
4.若实数X,y满足<2x—y—4<0,则z=x-2y的最小值为()
.”2
A.-6B.-1C.2D.6
[答案]A
[解析]
[分析]先画出平面区域,然后结合图形求最小值即可.
[详解]作出不等式组对应的平面区域如图:
平移直线丁=,1-,z,由图象知当直线经过点C时,直线截距最大,
此时z最小,
-22
y=2fx=-2
由。c八得《c,即C(-2,2),
x+2y-2=0y=2
此时z=—2—2x2=—6,
故选:A.
(乃)c
5.已知tana—=2,则tana=
I4j
11c
A.-B,—C.3D.-3
33
[答案]D
[解析]
[详解]分析:利用两角和的正切公式即可.
故选:D.
点睛:解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时,“所
求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”
与“己知角”的和或差的关系.
■JT
6.过点尸作圆0:V+y2=]两条切线,切点分别是A,B,若=则次.丽=()
_1173A/3
A.DR.Ur.----DN.
2222
[答案]A
[解析]
[分析]根据向量数量积的运算,结合圆的切线的几何性质,求得砺•砺的值.
[详解]由题意可得:==ZA0B=~,
所以。4。月=1x1xcos—.
32
故选:A
7.恩格尔系数(E〃ge「sC。啰cie〃)是食品支出总额占个人消费支出总额的比重.居民可支配收入是居民可用于
最终消费支出和储蓄的总和,即居民可用于自由支配的收入.如图为我国2013年至2019年全国恩格尔系数
和居民人均可支配收入的折线图.
201220132014201520162017201820192020
居民人均可支配收入
35000
30000
①恩格尔系数与居民人均可支配收入之间存负相关关系;
②一个国家的恩格尔系数越小,说明这个国家越富裕;
③一个家庭收入越少,则家庭收入中用来购买食品的支出所占的比重就越小.
其中正确的是()
A.①B.②C.①②D.②③
[答案]C
[解析]
[分析]通过对2013年至2019年全国恩格尔系数和居民人均可支配收入的折线图的分析,了解两者间的相关
性而作出判断.
[详解]由折线图可知,恩格尔系数在逐年下降,居民人均可支配收入在逐年增加,
故两者之间存在负相关关系,结论①正确;
恩格尔系数越小,居民人均可支配收入越多,经济越富裕,结论②正确;
家庭收入越少,人们为解决温饱问题,收入的大部分用来购买食品,结论③错误.
故选:C
8.如图所示,已知抛物线丁2=2〃彳(〃>0)的焦点为6,点4(为,3)是抛物线上一点,过A作抛物线准线
的垂线,垂足为“,“F交抛物线于点B,且丽=2而,则〃=()
A.2B.GC.V2D.1
[答案]B
[解析]
[分析]设B(x,y),wl-^,3LFR,O1,由诙=2而化为坐标关系即可求解'值.
[详解]解:设8(x,y),wl-1,3LF1,o
因为H&=2B户,所以(尤+言"-3)=2
解得工7«丁=1,
6
所以l=2p-g,所以〃=百,
6
故选:B.
9.古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源,因此极为重视数的理论研究,他们常把数描绘成沙滩上的
沙粒或小石子,并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数,是毕哥
拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数,若三角形数组成数列{《,},四
边形数组成数列{%},记或=葭=一'则数列{%}的前1。项和为()
^n+\~an+\
[答案ID
I解析]
[分析]根据题中的信息分别求出再求出,,最后裂项求和即可.
Z7(+1|
[详解]由题意可得,%=1+2+3H---=---,bn=1+3+5H-----F(2几-1)=〃〜,
c1__________1__________2___L)
所以"%(〃+1)(〃+2)〃(〃+1)1〃〃+4,
设数列匕}的前〃项和为s“,
12n
所以S=2|1---1-----F•••H---
"1223n〃+11
所以Eo=言
故选:D.
10.如图所示,在棱长为2的正方体ABCO-AUGA中,点E,F,G,H,I,1分别是棱4与,
4。,DD{,CD,BC,BBl的中点,现在截面b内随机取一点M,则此点满足|4N|+|力1区4
A6口6■兀「2n岳
9969
[答案]D
[解析]
[分析]连接AG交平面EFGH1J于。,则。为AG和G/的交点,设|0M|=x,用%表示|+|Mg归4,
然后解出x的范围,即可判断点M轨迹,利用几何概型概率的计算求出要求的概率.
[详解]解:连接AG交平面瓦6〃1/于。,则。为AG和G/的交点,
由正方体的性质可得AG1平面EFGHIJ,二ACf10M,
设|C>M=x,•:AO=OC\=6
|皿+|MCj=5+(/『+「+(⑹2=2&+3«4,即E,
满足|AM+|MCJW4的点M的轨迹所围成的面积为万,
又截面EFGHIJ的面积为6x,xV2x^sin-=3V3,
23
故所求概率P=:=
3739
故选:D.
[点睛]关键点点睛:本题考查儿何概型概率的计算,解答的关键就是将问题转化为平面区域型儿何概型问题,
利用数形结合思想求解.
H.已知双曲线吞-£=1(。>0,。>0)的左、右焦点分别为耳,F2,过点片且斜率为,的直线/与双
曲线的右支交于点A,且AAK耳是以AB为底边的等腰三角形,则该双曲线的离心率为()
A.2+72B.2+SC.2+272D.2+277
[答案]A
[解析]
[分析]由双曲线的定义和三角形的余弦定理,可得a,c的关系,再由离心率公式可求解.
[详解]解:由题意知,忻用=|A耳|=2c,
•••直线/的斜率为斗,即tan/Af;用=*,,cosNAGE=
在人月月中,由余弦定理知,
3
|Ag「=|4月「+忻用2_2卜用Mg|.cosZA耳5=4<?+4c2-2-2c-2c-^2c2,
:.\AF2\=y/2c,
由双曲线的定义知,|AkH伍|=2c—0c=2a,
离心率e=_=----尸=2+^2.
a2-V2
故选:A.
[点睛]方法点睛:
(1)求双曲线的离心率时,常将双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量〃为,c•的方程或不等式,利用
〃=。2-/和e=£转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
a
(2)对于焦点三角形,要注意双曲线定义的应用,运用整体代换的方法可以减少计算量.
12.若对任意X6(0,物),不等式四“,一111彳>0恒成立,则实数。的取值范围为()
A.B.gz)C.e]D.(e,+8)
[答案]B
[解析]
[分析]令x=l,则ae">0,得。>();当xc(O,l)时,lnx<0,田/">xlnx恒成立;当xe(l,+oo)时,
令g(x)=xlnx(x»l),求导分析单调性得e">x在],+8)恒成立,通过分离参数即可求解参数范围.
[详解]解:令x=l,贝iJae">0,/.«>0.
不等式ae,LX-Inx>0恒成立u>axeax>xInx,
①当xe(O,l)时,lnx<0,axe'">xInx恒成立;
②当xe(l,+oo)时,令g(x)=xlnx(xNl),
g'(x)=l+lnx>0,g(x)在[l,+oo)单调递增,
即*In*>x\nx等价于g(二)>g(x),
o/">x在],+8)恒成立.
即ar>lnx,a>见二在恒成立.
人,/、Inxz、八…、1-Inx,、一,D
令/z(x)=---(x>l),则/z(x)=——7—=0,可得%=e,
xx
・・・/心)在(l,e)递增,在(a+8)递减,
・,,(X)max=,7(e)=-,:・。>一,
ee
的取值范围为
故选:B.
[点睛]方法点睛:已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法:
(D函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利
用数形结合的方法求解.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.函数/(x)=lnx—V的单调递增区间为.
(五、
[答案]0,—
I2)
[解析]
[详解]由题意可得函数的定义域为((),+8).
11_oV-2
V/(x)=lnx-x2,.-./(x)=--2x=-!—
XX
由/'(x)>0可得1一2/>0,解得0<x<等.故函数的单调增区间为(0,白).答案:(0,白).
14.已知一个球的半径与一个等边圆柱(过轴的截面是正方形)的底面半径相等,则该圆柱的表面积与球的表
面积的比值是.
一3
[答案L
2
[解析]
[分析]设等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径1,即可求得圆柱的表面积与球的表面积的比值.
[详解]解:由题意可得:等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等,设为1,
所以等边圆柱的表面积为:6兀,
球的表面积为:47.
所以等边圆柱的表面积与球的表面积之比为3:2.
3
故答案为:一.
2
15.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,具有重大意义的是卷下第26题:“今有物不知其数,三三数
之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”是中国最早一元线性同余方程组问题,如图为由该算
法演变而来的一个程序框图,则程序运行后输出的结果是.
其中三双mod〃)表示P被〃除余加
[答案]6
[解析]
[分析]根据程序框图,对每一步进行计算直到得到结果为止.
[详解]模拟程序的运行,可得
〃=3,i=1
〃=7,1=2
不满足判断框条件,〃=11,i=3
不满足判断框条件,〃=15,/=4
不满足判断框条件,〃=19,i=5
不满足判断框条件,〃=23,i=6
满足判断框条件,故输出的i的值为6.
故答案为:6.
16.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于g时,费马
27r
点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为5.已知点P为AABC的费马点,角A,B,C的对边分
别为。,b,c,若cosA=2sin。一[cosB,S.h2=(a-c)2+6,则的
值为.
[答案]6
[解析]
[分析]化简COSA=2sin(Cq卜OS8求得3=(,结合余弦定理以及尸=(。一cf+6求得ac,利用三
角形的面积列方程,化简求得
[详解];cosA=2sin(C-弓■卜osB,
cosA=21^^sinC-gcosCcosB,即cosA=GsinCcosB-cosCcosB,
,**A+B+C=,
:.cosA=-cos(B+C)=—cosBcosC+sinBsinC,
•*--cosBcosC+sinBsinC=>/3sinCcosB—cosCcosB,即sinBsinC=GsinCeos3,
・八八sinBr-
sinC0,tanB=----=v3,
cosB
Be(O,7r)fA5=y,
由余弦定理知,cos8=a+c-b=
lac2
b2=(a—c)2+6,
••ac=6,
•*.SABC=—PA-PBsin-1—PB-PCsin---1—PA-PCsin—=—acsinB=-x6xsin————,
iABC2323232232
PAPB+PBPC+PAPC=6.
故答案为:6
[点睛]三角恒等变换是化简己知条件常用的方法,在解决与三角形有关的问题时,要注意结合余弦定理、正
弦定理、三角形的面积公式.
三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知数列{对}的前〃项和为S”,且满足25,,=3%-1(〃eN*).
(1)求数列{4}的通项公式;
⑵求数列{(2〃-l)a„}的前〃项和Tn.
[答案]⑴a“=3"-1;(2)7;=(〃-1)x3"+1.
[解析]
[详解]试题分析:(1)当〃=1时,得4=1;当〃22时,得&=3,所以数列{4}是以1为首项,3为
an-\
公比的等比数列,即可得到a„=3"-'.
(2)由(1)得(2〃-1)氏=(2〃-1)3"T,利用乘公比错位相减法,即可求解数列的前w项和.
试题解析:
(1)当〃=1时,2q=3q—l,q=l;
当〃22时,2S“=3an-1,①
2s“_|=3%-1,②
a
a3
①一②得,2an=3an-34T,n=3%,=,
an-\
数列{%}是以1为首项,3为公比的等比数列,所以。“=3"T.
(2)由(1)得(2〃一1)。“=(2〃—1)3"T,
7;,=1X30+3X3'+5X32+...+(2/?-1)X3,-1,①
37;,=1x3'+3x3?+...+(2〃-3)x3"T+(2〃—l)x3",②
①-②,得—2雹=l+2(3i+32+33+3+3"T)—(2〃—l)x3"
3-V
=l+2x-p^-—(2〃-1)x3"=-2(〃-1)x3"-2.
所以<=(“-1)x3"+1.
18.2021年春节,由贾玲导演的春节档电影《你好,李焕英》总票房已突破50亿元,影片的感人情节引起
同学们广泛热议.开学后,某校团委在高三年级中(其中男生200名,女生150名),对是否观看该影片进行
了问卷调查,各班男生观看人数统计记为A组,各班女生观看人数统计记为5组,得到如图的茎叶图.已知
全年级恰有3个班级观看该影片的人数超过40.
/组8组
86501678
4420113378
54223
(I)根据茎叶图绘制2x2列联表,并判断是否有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关?
(II)若先从A组人数超过20的数据中随机抽取一个数据,再从3组人数少于20的数据中随机抽取一个数
据,求抽到的这两个数据来自同一个班的概率.
参考数据及公式如下:
P(K2>k)0.10.050.0250.010.0050.001
k2.7063.8415.0246.6357.87910.828
K?n(ad
(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)
2
[答案](I)表格见解析,没有;(II)—.
[解析]
[分析](I)绘制2x2列联表,计算K2的值,由此判断出没有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关.
(II)利用古典概型计算公式,计算出所求概率.
[详解](I)根据茎叶图绘制2x2列联表如下,
观看没观看合计
男生14060200
女生12030150
合计26090350
计算K2_350x(140x30-120x60)2
''260x90x200x150«4.0487<5.024,
所以没有97.5%的把握认为观看该影片与性别有关.
(II)因为全年级恰有3个班级观看该影片的人数超过40,
所以这三个班的男女生人数依次是:
“男22女23,男24女17,男25女18”或“男22女23,男24女18,男25女17”;
若先从A组人数超过20的数据中随机抽取一个数据,再从3组人数少于20的数据中随机抽取一个数据,
可能情况有3x9=27(种),其中满足抽到的这两个数据来自同一个班的情况有2种,
所以所求的概率为P=2.
27
19.如图所示,在四棱锥P—ABCZ)中,底面A8CO,四边形A8CO为矩形,8=2,
PD=AD=叵,£为。。的中点.
(I)求证:4£_1平面正比>;
(II)求点A到平面PBE的距离.
[答案](I)证明见解析;(IDV2.
[解析]
[分析](I)由尸。J_平面ABC。,可得PDLAE,再由矩形ABC。与边长,可得由线面垂直
的判定定理可得AE_L平面PBD-.
/_匕-EPB
(H)通过等体积法求得点到平面距离,VA-EPB=V~ABE得一!0,即可求解.
\AEPB
[详解](I)证明:因为四边形A3CD为矩形,所以24。七=/948=90°,
所以tan/E4£>=tanNA8£)=2-,所以NE4D=NAB£>,
2
又NADB+乙钻。=90°,所以NE4Z)+NAZ)B=90°,
所以AEL8D,又因为PD_L平面ABC。,AEu平面ABC。,所以PDLAE,
又BD,PDu平面PBD,所以AE_L平面
(H)由(I)可知,点P到平面ABE距离为P£)=血,
又S&tsE=耳x2xy/2=6,
所以VA-EPB=^P-ABE=X夜*近一§,
由题意可知,JAD2+AB2=显,
BE=NBC2+CE2=6'
PE=dPD?+DE?=g,
由(I)可知,PD±BD,所以PB=JPD?+BD?=+(娓¥=2人,
所以△EP8为等腰三角形,
取/>8的中点。,则EO-LPB,£()=yjpE2-PO2=1-
所以S&EPB=~X2^2X1=A/2,
2
所以点A到平面PBE的距离d=-=73-=&.
—SFPB-XV2
3403
[点睛]方法点睛:求点到面的距离常用方法:
1、等体积法;
2、直接作出点到平面的垂线,则该垂线段的长度就是所求的距离;
3、向量法:用向量距离公式求解.
22
20.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:鼻+齐=1(。>人>0)的左、右焦点分别为6,F],M为
椭圆C上一点,线段“耳与圆/+>2=1相切于该线段的中点,且△加耳鸟的面积为2.
(I)求椭圆。的方程;
(II)过点用的直线/与椭圆。交于A,B两点,且NAO8=90°,求AAOB的面积.
[答案](I)工+其=1;(II)迪.
425
[解析]
[分析](I)设线段加4的中点为N,则由题意可得|g|=2,MF,1MF2,从而可得|M|=2a-2,再
由鸟的面积为2,可求出。=2,再利用勾股定理可求得c=2,从而可求出。,进而可得椭圆。的
方程;
(2)先判断出直线/的斜率不为0,则直线/的方程为x=my+0,A(%,y),3(私必),再将直线方程
与椭圆方程联立方程组,消去x,整理后利用根与系数的关系,由N4A仍=90°可得
2
(l+/n)yly2+V2(m-l)(y1+y2)+4=0,从而可求出"的值,进而可求AAQB的面积.
[详解]解:(I)设线段加6的中点为N,则|ON|=1,又ON是三角形5乙的中位线,
所以眼用=2,MFtlMF2,
由椭圆的定义可知|5|=2。-2,因为三角形晰后的面积为S=g(22)x2=2a—2=2,
所以a=2,又因为旧鸟|==J(2a_20+22=2&,所以c=JL
则人=及,所以椭圆的方程为,+与=1;
(]|)当直线/的斜率为0时,此时NAQB=180°,不合题意,
当直线/的斜率不为。时,设直线/的方程为x=my+0,A(/y),3(马,必),
x=my+V2
联立方程〈22消去x整理可得:(疗+2)V+2夜阳-2=0,
XJ-I
U2
__20m—2
所以%+丫2%丫2
m2+2m2+2
所以X|X2=(my+何(my1及+++
因ZAOB=90°,所以。A_LO5,则为々+%%=。,
—4,"+4—2八KUI”2
即—;----+———=0,所以加一
m-+2m-+22
所以S-OB=曰。闾lx—必|=4,(凹+%)2-4"2=4J+-4-Z
ZZ2Vl-m苦+J2)7〃+2
2日口还
2国玲
工+25
2
[点睛]解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:
(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三
角形的面积等问题.
21.已知函数/3=6*+以,g(x)=/(x)-/(-x)(£ZG/?).
(I)若直线y=H与曲线/(X)相切,求左一a的值;
(1【)若且(%)存在两个极值点玉,%2,且烈止也J>-2,求a的取值范围.
x}-x2e
'e+e”、
[答案](I)攵—a=e:(II)----―,-lj.
[解析]
[分析](I)设切点求导得斜率,利用切线列方程求解即可;
(II)g(x)存在两个极值点再,工2,故导数为0存在两不同根,判断g(x)的奇偶性,可得玉=-&<0,
代入已知条件一2化简求导并分析单调性即可求出X,范围,从而求解参数a范围.
xi-x2e
[详解解:(I)设切点为(毛,%),/(x)="+a,
:直线与曲线/(x)相切,
e*>+a=后,e,"+ax0=kx(),
攵)=0,
解得%=1,。=女(不成立,舍去),
:.k-a=e;
(II)^(x)=ex-e~x+lax,g'(x)=e*+e-*+2a,
①当aN-1时,g'(x)>2+2a>0,
g(x)在R上单调递增,函数g(x)无极值,不符合题意,舍去.
②当。<一1时,g'(x)=ex+e'x+2a=0,
不妨设占<七,解得:/=ln卜a_Jcr卜4=In卜<+Na1-].
可得函数g(X)在(-8,')单调递增,在(%,%)单调递减,在(占,+8)单调递增,符合题意.
g(-x)=-g(x),,g(x)为R上的奇函数,
"=-々<。,g(%)=g(-W)>。,
+厂)]>二/>。
...g(xl)-g(x2)=gfe)=£1-£1+2a=_Lr(e.t2y,>(*,
LV7v
x}-x2x2x2x2e
:.S_ef)一卜+e-二卜>0
令/?(x)=e*-e-*-卜+e-“%>0,
则h'(x)=--x(ex-e-x),:.h"(x)=-[(eA+e-x)x+(ex-e-x)],
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