北京市房山区2023届高三年级上册诊断性评价数学试卷及答案

北京市房山区2023届高三上学期诊断性评价数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={-2,0,1,2},B={X|X2<1},则408=（）

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-2,0,1}D.{-2,0,1,2）

2.若复数z满足z（l+i）=2i,则在复平面内z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.己知数列{6}满足24T=4，且4=2,则数列{%}的前四项和5』的值为（）

15

B.

16

15

D.

T

4.已知函数〃力=与二，则〃x）（）

A.图象关于原点对称，且在［。,+8）上是增函数

B.图象关于原点对称，且在［0,+8）上是减函数

c.图象关于y轴对称，且在［o,+8）上是增函数

D.图象关于y轴对称，且在［0,+8）上是减函数

5.若角夕是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（）

A.cosa>cos/3B.sinavsin/

C.cosa>sin/?D.cosavsin/

6.设平面a与平面夕相交于直线/,直线机在平面a内，直线”在平面?内，且机.则“。，尸”

是“sJ_〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.若抛物线V=2px（。>。）上一点“到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3,则。的值

为（）

A.1B.2C.1或9D.2或9

8.已知半径为1的动圆尸经过坐标原点，则圆心P到直线，"+y-2=0（，〃€用的距离的最大值为

()

A.1B.2C.3D.4

9.某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数H(r)

与天数[之间满足关系式：则=限,其中左为常数，儿是刚发布时的教师用户人数，则教师用

户超过20000名至少经过的天数为()(参考数据：怆2=0.3010)

A.9B.10C.11D.12

10.在小BC中，BC=4,AB=3AC,则元.而的取值范围为()

A.[-3,12]B.(-3,12)C.[12,24]D.(12,24)

二、填空题

11.函数〃x)=—1+3的定义域是.

12.1g-dj的展开式中常数项是.(用数字作答)

13.若双曲线上-丁=]的离心率为2,则该双曲线的渐近线方程为.

14.函数/⑺=O.O3sin(lOOO7r/)+0.02sin(2000叫+0.0lsin(3000m)的图象可以近似表示某音叉的声

音图象.给出下列四个结论：

①击是函数/⑺的一个周期；

②了⑺的图象关于直线对称；

③/⑺的图象关于点隔，。)对称；

④/⑺在卜焉，磊]上单调递增.

其中所有正确结论的序号是.

三、双空题

15.若函数f(x)=｛，丁"二'存在最小值，则机的一个取值为______:加的最大值为

x—2mx+4/w,x>m

四、解答题

16.在AABC中，。是边AC上一点，CD=l,BD=2,AB=3,cosNBDC=：.

8

A

(1)求AD的长；

(2)求的面积.

17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是边长为1的正方形，PA_L平面ABC。，。为棱尸。

的中点.

(1)求证：PB//平面AC。；

(2)再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，

求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值，以及点P到平面ACQ的距离.

条件①：AQVPC.

条件②：AQ_L平面PCD；

条件③：CQ=q.

18.为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了

中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中

小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：

奖单人赛

项PK赛获奖

一等奖二等奖三等奖

组别

中学组4040120100

小学组3258210100

(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖,求抽到的学生来自中学组的概率;

(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分

布列和数学期望；

(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为《，来自小学组的人数为〃，试判

断0(/与£>(〃)的大小关系.(结论不要求证明)

19.已知函数〃x)=4(x-l)2+e*(x-2)(aeR).

(1)当。=0时，求曲线y=〃x)在点x=l处的切线方程；

⑵求函数.f(x)的单调区间；

(3)若函数/(x)恰有一个零点，则。的取值范围为.(只需写出结论)

20.已知椭圆C：£+4_=13>〃>0)经过点2(2,3),且点P到两个焦点的距离之和为8.

a-b

(1)求椭圆C的方程；

⑵直线/：y=履+，”与椭圆C分别相交于A,8两点，直线R4,尸8分别与，轴交于点M,N.试问

是否存在直线/,使得线段MN的垂直平分线经过点P,如果存在，写出一条满足条件的直线/的方

程，并证明；如果不存在，请说明理由.

21.若对V,",”cN+，当加-weA时，都有4-qwA,则称数列｛4｝受集合A制约.

⑴若q=2"，判断｛%｝是否受N,制约，｛a,,｝是否受区间［0,1］制约；

(2)若。=1,%=3,｛%｝受集合｛2｝制约,求数列｛%｝的通项公式；

(3)若记P："｛%｝受区间［L2］制约”,/“｛%｝受集合｛2｝制约”，判断。是否是夕的充分条件，P是

否是q的必要条件，并证明你的结论.

参考答案：

1.B

【分析】解不等式求得集合B,进而求得AcB.

【详解】x2<l,(x+l)(x-l)<0,解得—14x41,所以8=｛x|-14x41｝,

所以AnB={。/}.

故选：B

2.A

【分析】根据给的等式求出z用i表示，然后运用复数的除法运算解决.

【详解】vz(l+i)=2i,Z暗=(］株］)=言=l+i,所以复数z(l+i)=2i在复平面上的点

为(1,1),所以点在第一象限

故选：A

3.C

【分析】由题意｛%｝是首项为2、公比为!的等比数列，利用等比数列前〃项和公式求名的值.

【详解】由题设m｝是首项为2、公比为g的等比数列，即。“=击，

2x(lJ)15

所以邑=-----

2

故选：C

4.B

【分析】根据定义判断/(X)奇偶性，由解析式/(x)=£-2,判断单调性，即可得答案.

-rr

【详解】由/(-》)=1^-4^二=4号-l=-/。)且定义域为R,

所以/(x)为奇函数，即关于原点对称，

又小)=2-2'在R上递减，故在［0,+巧上是减函数.

故选：B

5.D

7TJT

【分析】根据题设可得<兀-/<n，结合诱导公式判断内角夕对应三角函数

值的大小关系.

【详解】由锐角三角形知：1jr<。+£<兀且0<%力<万7T，

7T兀

所以0<万■一夕<0<5<兀一/?<兀，

兀71

则sin(]-0<sina,即cos/?<sina,且cosq-夕)>cosa,即sin尸〉cosa.

又已知角的大小不确定，故A、B不一定成立，而C错，D对.

故选：D

6.A

【分析】根据线面、面面垂直的判定及性质判断题设条件间的推出关系，结合充分、必要性定义确

定答案.

【详解】已知an?=/,，篦ua,"u尸且/n_U,

当a_L夕时，则机_1_Q，而"u/,故w_L”，充分性成立；

当，〃_L〃时，

若/，"相交，又机且/、〃在£内，则加，夕，且加ua,故aJ_£；

若//平行，mJ•万不一定成立，即不能确定a，£；

所以必要性不成立，

故”是“加_L〃”的充分不必要条件.

故选:A

7.C

【分析】由题设抛物线准线为x=且对称轴为无轴，令M(也同方且，"2°，结合已知列方程

组求参数P即可.

【详解】由抛物线V=2px(p>0)知：准线为x=-5且对称轴为x轴，

-------m+—=59p

不妨令M(m,且m>0,贝।卜2,可得五+'=5，

所以0270P+9=(p-l)(p-9)=0,解得P=1或p=9,均满足题设.

故选：C

8.C

【分析】利用圆上的点到直线的距离的最值可求解.

【详解】由题设，半径为1的动圆户经过坐标原点，

可知圆心尸的轨迹为以原点为圆心，半径为1的圆，即Y+y2=l

,

则该圆上的点到直线g-+y-2=0的距离的最大值为d=+

vw2+1

2

又八0,••后+1N1，〈析d,BP1<J<3

故距离的最大值为3

故选：C

9.D

InlO

【分析】根据已知条件求得/?(,)=iooe5一,结合R⑴〉20000及指对数关系、对数运算性质求解集,

即可得结果.

例0)="”0=100

【详解】由题设In10,

R(5)=9e"=1000

5

InlO|io5n

n'^0=5lg200=5x(lg2+2)«11.505>ll,

所以R(/)=100e「，则100ek>20000,故'=

所以教师用户超过20000名至少经过12天.

故选：D

10.D

【分析】设AC=〃?，利用余弦定理可求得cos8,根据向量数量积定义可得配.丽=4加+8,利

用三角形三边关系可求得机的范围，结合二次函数性质可求得结果.

【详解】设AC=m，则AB=3m,

由余弦定理得：cos8=BC-+W-AC-+

2BCAB24m3m

BC-BA=\2mcosB=4(2+m2^=4m2+8；

+机>4/、

Me/:A<m<2/.4m*o-+8e(12,24),

3刃一帆v49'7

即瓦•丽的取值范围为(12,24).

故选：D.

11.(0,1)51,+°0)

【分析】根据分式、对数的性质列不等式组求定义域即可.

【详解】由题设八，故xe(0,l)U(l,e)，

x>0

所以定义域为(0/)=(1，转).

故答案为：(0,1)=(1,+8)

12.-4

【分析】根据上的展开式的通项公式可求出结果.

)的展开式的通项为加=C：g)-(-x3/=(-1)*-C：-x4*-4

【详解】——x

x

令4左-4=0,得k=1,

所以&-/j的展开式中常数项是-C；=-4.

故答案为：-4.

13.y=±y/3x

【分析】根据离心率求得相，然后求得双曲线的渐近线方程.

【详解】依题意，《=；="=后心何夕=2'

⑷2]1

—=—=3,7H=—,

)m3

则双曲线的渐近线方程为y=士拒x.

故答案为：y=±\l?)x

14.①③④

12

【分析】①应用诱导公式判断判断了«+高)=f⑺是否成立即可；②③/(W-)、./•⑺的等量关

3UUDvv

系判断正误；④判断1000加e[-工，刍，20007tre3OOO7tre±sin(10007tr),

663322

sin(2OOO7i/),sin(3OOO7r。对应单调性，即可判断.

【详解】①f(t+焉)=0.03sin(l000m+2兀)+0.02sin(2000nf+4兀)+0.0Isin(3000〃+6兀)

=O.O3sin(lOOOm)+O.O2sin(2OOO7tr)+O.Olsin(3OOO7tf)=f(t),

所以壶是函数/(f)的一个周期，正确；

2

/(--0=0.03sin(4n-l000兀。+0.02sin(8兀-2000也)+0.0Isin(12兀-3000河)

=-0.03sin(lOOOrer)-0.02sin(200(htf)-O.Olsiti(3OOO7tr)=-f(t),

所以/«)不关于直线.=亲对称，而关于点(白，。]对称，②错误，③正确；

JUU\J\J\JJ

④止卜嬴磊］，则1000”吟亭2000兀yg守，3000m哈勺，

而…也彳在吟令、［一昔］、［一段］均递增,故/（f）在一焉，焉上单调递增，正确.

故答案为：①③④

15.0（答案不唯一）4

【分析】根据分段函数的性质，结合绝对值、二次函数的性质，讨论机范围及/（X）存在最小值确

定，〃的范围，进而确定答案.

【详解】对于y=|xL在（-8,0）上递减，（0,内）上递增，在R上的最小值为0；

对于y=*2-2,nr+4m=（x-,"）2+4机-苏，开口向上且对称轴为x=机，

所以，在（F,⑼上递减，（九田）上递增，在R上的最小值为4〃?-加2；

综上，对于火x）：当加<0时，f（x）在（7,词上递减，（机,+8）上递增，

此时|1=-m>m2-2m2+4机=4«?-丁恒成立，所以f（x）不存在最小值；

当机=0时，f（x）在（-8,0］上递减，（0,+<»）上递增，此时最小值为0；

当机>0时，f（x）在（-8,0）上递减，（0,词,（见+8）上递增，且/（0）=0,

又||-（m2-2m2+4/n）=m2-3m=m（m-3）,

若0<机<3时，0<|/«|<4m-m2,此时最小值为0；

若m=3时，0<|m|=4m-m2=3,此时最小值为0；

若3cm<4时，\m\>4m-m2>0,此时最小值为0；

若加=4时，|/n|=4>4m-m1=0,此时最小值为0；

若加>4时，|zn|>0>4/n-m2,此时/（x）不存在最小值；

综上，，"6［0,4］,故机的最大值为4.

故答案为：0（答案不唯一），4

16.（1）2

⑵场

8

【分析】（1）△A3D中，根据余弦定理求AD的长；

（2）△回£>中，根据余弦定理求cosA,即可求sinA,再根据三角形的面积公式求解.

【详解】（1）因为cosNBOC=J,

8

则cos/.ADB=cos（7t-Z.BDC）=-cosZ.BDC=——BD=2,AB=3

8f

△A3。中，AB2=AD2+BD2-2ADBD-cosZADB,

陋=或（舍）,

即9=4O2+4-2X2XAOX，解得:2AO=-|

所以45=2；

AB:+AZ/-BD294-4_3

（2）cosA-+

2-AB-AD2x3x2~4

因为0<A<?t,

所以sinA=\/l—cos2A=——>AC=AD+DC=2+1=3»

4

所以SAKC=1xABxACxsinA=lx3x3x也

aABC2248

17.(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)连接8。，交4c于。，连接。。，由中位线性质有。Q//PB,再由线面平行的判定证

结论；

(2)根据所选的条件求得以=1,以A为原点，A氏为x、y、z轴建立空间直角坐标系，应

用空间向量夹角的坐标表示求线面角正弦值，点面距离的向量求法求P到平面ACQ的距离.

【详解】(1)连接B。，交AC于0,连接。Q,

底面A8CD是正方形，故。是8。的中点，又。为棱PO的中点，

所以，在△PBD中OQ〃PB,而OQu面ACQ,PBa面ACQ,

所以P8〃平面ACQ.

(2)选①：若瓦尸分别是AB,PC中点，连接所，只2,PE,EC,

由Q为棱尸D的中点且底面ABC。是正方形，易知：FQUCD//AB,FQ=^CD=^AB,

又AE,A8共线且=故FQ//AE,FQ=AE,

所以AEFQ为平行四边形，故EF//AQ,而AQ_LPC,则瓦'LPC,

在^PEC中，EF垂直平分PC,故PE=EC,即后+心=[BC、BE2，

由AE=BE,故B4=BC=1,

又R4J■平面ABCD,AB,AOu平面A8C。，则尸A_LAB,%_L4),又ABJ.AD,

以A为原点，人民人0瓜尸为小y、z轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),C(U,0),0(0,1,0),0(0,；,；),P(0,0,1),故而=(0,„/=(1,1,0)底=(1,1,-1),

――-11

-m.4Q=_yH—z=0—

令根=(x,y,z)为面4。。的一个法向量，则｛22,令x=l,/n=(l9-l,l),

in-AC=x+y=0

——•i?i-PC11i

所以|cos<m,PC>1=1一一|=即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为彳,

|m||PC|gxG33

所以点尸到平面ACQ的距离;|1|=孝.

选②：AQ_L平面PC。，PDu平面PCD,则AQ_LPD,Q为棱PO的中点，

在△PAO中，AQ垂直平分尸。，故R4=A£)=1,

又PA_L平面48CD,A8,A£)u平面ABCD,则E4_LA&E4，又48_LA。，

以A为原点，4氏4。,转为八八z轴建立空间直角坐标系，

11—11—.—.

则A(0,0,0),C(l1,0),D(0J0),Q(0,]Q),P(0,0/)，故AQ=(O,5W),AC=(1JO),PC=(1,1,—1),

'―-11

_fh-AQ=—y+—z=0_

令加=(x,y,z)为面ACQ的一个法向量，贝！J<22,令工=1,6=(1,_5)，

n?AC=x+y=0

——"/??,PC11i

所以Icos<6,PC>1=1一一|==彳，即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为彳,

|w||PC|V3xV333

所以点P到平面ACQ的距离_L|1|=3.

33

选③：由，平面ABC。，C£>u平面ABC。，则B4J_CD,又AgCD,

由以cAO=A,PA,AOu面尸A。，故C£)_L面PAD,PDu面PAD,

所以CDJ_PD,

在RtACOQ中，。。2=。2+。。2=1+。。2=白，贝lj£)Q=正，故尸。=2。。=也，

22

又/Wu平面A8CD,则E4_LAD,在RtARW中，PD2-AD2>即抬=1,

又R1_L平面ABC。，ABu平面ABC。，则又AB_LAD,

以A为原点，AB,AD,AP的x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则4(0,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),0(0,g,g),P(0,0,1),故而=吗,g),衣=(1,1,0)底=(1,1,-1),

\—；11„

.m*A(2=——z=0_

令/%=(x,y,z)为面ACQ的一个法向量，则”22,令工=1,m=(1,一1,1),

m-AC=x+y=0

一•JTl•PC111

所以Icos<m,PC>1=1.一|=即直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为彳,

|m||PC|V3xV333

所以点尸到平面AC。的距离_L|1|=g.

18.(1)|

7

(2)分布列见解析，期望为历

⑶。侑)=£>(〃)，理由见解析

【分析】(1)应用条件概率公式求概率即可；

(2)由题设X可能值为0』,2,结合表格数据及超几何分布概率公式求分布列，进而求期望;

(3)由4+77=3,应用方差的性质判断。七)=。(3-〃),。(〃)的数量关系即可.

【详解】(1)若事件A表示抽到的学生获得一等奖，事件8表示抽到的学生来自中学组，

P(AR)

所以抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为％8|4)=喂—，

P(A)

40725

由表格知：P(AB)=—,P(A)=—,则P(B|A)=x.

7007009

(2)由题意，X可能值为01,2,

尸-。)=甯总尸心|/嗔芝』哈=

(3)由题设知4+7=3,所以力⑹=。(3-外=。(3)+(-1)2.£>(")=£>(»

19.(l)J=-e

(2)答案见解析

(3)a<0.

【分析】(1)利用导数的几何意义求y=/(x)在点X=1处的切线方程；

(2)由题设((x)=(2a+e、)(x-1),讨论参数m结合/'(x)不同区间上符号确定,f(x)的单调区间；

(3)根据(2)所得的单调性，讨论参数小结合零点存在性定理判断了(x)零点的个数，即可得

参数范围.

【详解】⑴由题设1x)=e、(x-2),则/(幻=炉(*-1),

所以外)=-e,尸⑴=0,故曲线y=/(x)在点x=l处的切线方程为了=-€.

(2)由尸(x)=(2a+e')(x-l),

当aNO时，2a+e*>0，贝ijxe(-<»』)时<0,xe(1,+oo)时f'(x)>0,

所以/(x)在(-8,1)上递减，(1,内)上递增；

当〃<0时，令/'3=0,可得x=1n(-2a)或x=l,

若ln(—2〃)<1,即一］<。<0时，(e,ln(-2a))、(1,收)上/'(x)>0,(ln(-2a),1)上/"(x)<0,

所以f(x)在(e,ln(-2a))、(1,物)上递增，(ln(-2o),l)上递减；

若ln(-2a)=l,即a=_］时，/'(x)“在R上恒成立，即f(x)在R上递增；

若ln(-2a)>l,即a<-1时,(-8,1)、(ln(-2a),+oo)±fix')>0,(1,ln(-2a))±f\x)<0,

所以/(x)在(-8,1)、(ln(-2a),+oo)上递增，(l,ln(-2a))上递减;

综上，“NO,/(x)在(-8,1)上递减，—)上递增；

-|<a<0,/(*)在(f),ln(-2幻)、(1,+8)上递增，(ln(-2a),l)上递减；

«=-1,/*)在R上递增；

«<-f,/(x)在(3』)、(ln(-2a),+8)上递增，(l,ln(-2a))上递减；

(3)由(2),当a>0时，/Wmin=/(I)=-e<0,而x趋向-8、+=»时/(x)趋向于*»,

所以，/(x)在(-8,1)、(1,+00)各有一个零点，共两个零点，不合题设；

当a=0时/(x)=e*(x—2),/(x),ni„=/(l)=-e<0,

在xe(-8,1)上/(x)<0,x趋向时/(x)趋向于+oo,

所以，此时f(x)在(l,xo)有一个零点，满足题设；

当时，极大值/(ln(-2«))=4In(-2«)-l]2-2a[ln(-2«)-2]=a[(ln(-2«)-2)2+l]<0,极小

值/⑴=-e<0,x趋向+<»时/(x)趋向于+8,

所以，/(x)在(1,物)有一个零点，满足题设；

当a=-1■时，/(l)=-e<0,x趋向时/(x)趋向于+oo,

所以，f(x)在R上有一个零点，满足题设；

当”造时，极大值f(D=-e<0,极小值

/(ln(-2a))=a[ln(-2a)-1]2-2a[ln(-2a)-2]=a[(ln(-2a)-2)2+l]<0,x趋向+8时f(x)趋向于+oo,

所以，f(x)在(ln(-2a),xo)上有一个零点，满足题设：

综上，函数f(x)恰有一个零点，a<0.

”八、厂y1

1612

(2)y=x+l(答案不唯一)

【分析】(1)根据椭圆的定义，得到a=4,代入尸(2,3),可得匕，计算得到椭圆C的方程.

(2)联立直线/与椭圆C,利用韦达定理，得至lj%+%和西电，再分别利用R48,得到直线上4和

直线28,进而得到加与以，利用线段MN的垂直平分线经过点P,必有％+6=6,整理可得

£乂+占％-3(占+七)一2(必+、2)+12=0,此时，利用韦达定理进行换元，得到〃-3=-加，然后，

对％进行赋值，即可得到满足题意的直线方程.

22

【详解】(1)点尸到两个焦点的距离之和为8,故2a=8,〃=4,椭圆C的方程为看+£=1,

4Q「2v2

代入P(2,3),可得微+?=1,解得人=2。故椭圆C的方程为：^Y+^=1

(2)由题意，设4%,州),8(如力)，联立直线/与椭圆C的方程，可得,

Jv2

=1

<1612，整理得，(16A:2+12)x2+32hwc+16(/n2-12)=0,

y=kx+m

化简△得，165+12-62>o,故16公+12>机2；

-32km16(/"--⑵母pro

药+为二777^——，x,x=—^----又丁尸(2,3),

~16公+121216公+12

V,—3V.—3

可设直线总：y—3=\{x—2),设直线M：y-3=^—<x-2),

Xj-2X2-2

故％=^^，(-2)+3,%=^^.(-2)+3,

%1-2x2-2

若线段MN的垂直平分线经过点P,必有加+以=6,故有

哈•(-2)+3+丝《(-2)+3=6,整理得，

%—2x2-2

y.—3V、一3

汽7+七=0,化简得，(々-2)(/-3)=-(必一3)(西-2),

.V]Z.X、Z

得到，wy一3々-2乂+6=-玉%+2y2+3玉-6,

+七%-3(王+工2)-2(弘+、2)+12=0,

x2(kxl4-m)+Xj(fct2+根)一3(西+x2)-2(y,+y2)+12=0,

2kxix2+(S一3)区4-X2)-2(AX,+加+优+〃z)+12=0,

2kxix2+(帆-3)(3+%2)—2左(内+々)-4机+12=0,

2gx2+(机-3-2幻(x+X2)-4帆+12=0,利用韦达定理，得

32山