高三数学复合函数的导数1

3.4复合函数的导数一、复习与引入：1.函数的导数的定义与几何意义.2.常见函数的导数公式.3.导数的四则运算法则.4.例如求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢?又如我们知道函数y=1/x2的导数是=-2/x3,那么函数

y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函数的导数.二、新课——复合函数的导数1.复合函数的概念:对于函数y=f[(x)],令u=(x),若y=f(u)是中间变量u的函数,u=(x)是自变量x的函数,则称y=f[(x)]是自变量x的复合函数.2.复合函数的导数:设函数在点x处有导数,函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数,则复合函数在点x处也有导数,且或记如:求函数y=(3x-2)2的导数,我们就可以有,令y=u2,u=3x-2,则从而.结果与我们利用导数的四则运算法则求得的结果完全一致.

在书写时不要把写成,两者是不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而后者是对中间变量的求导.3.复合函数的求导法则:

复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数.法则可以推广到两个以上的中间变量.

求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量对哪个变量求导,一般地,如果所设中间变量可直接求导,就不必再选其他中间变量.

复合函数的求导法则与导数的四则运算法则要有机的结合和综合的运用.要通过求一些初等函数的导数,逐步掌握复合函数的求导法则.三、例题选讲：例1:求下列函数的导数:解:设y=u5,u=2x+1,则:解:设y=u-4,u=1-3x,则:解:设y=u4,u=1+v2,v=sinx,则:说明:在对法则的运用熟练后,就不必再写中间步骤.例2:求下列函数的导数:解:(2)解:(3)y=tan3x;解:(4)解:例3:如果圆的半径以2cm/s的等速度增加,求圆半径R=10cm时,圆面积增加的速度.解:由已知知:圆半径R=R(t),且=2cm/s.又圆面积S=πR2,所以=40π(cm)2/s.故圆面积增加的速度为40π(cm)2/s.例4:在曲线上求一点,使通过该点的切线平行于

x轴,并求此切线的方程.解:设所求点为P(x0,y0).则由导数的几何意义知:切线斜率把x0=0代入曲线方程得:y0=1.所以点P的坐标为(0,1),切线方程为y-1=0.例5:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)解:说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.

我们曾经利用导数的定义证明过这样的一个结论:“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数重新加以证明:证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x

求导得:,故为奇函数.同理可证另一个命题.

我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).

两边同时对x求导得:即也是以T为周期的周期函数.例6:求函数的导数.说明:这是分段函数的求导问题,先根据各段的函数表达式,求出在各可导(开)区间的函数的导数,然后再用定义来讨论分段点的可导性.解:当x≠1时,.又,故f(x)在x=1处连续.而从而f(x)在x=1处不可导.四、小结：

利用复合函数的求导法则来求导数时,选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数,求导后,要把中间变量转换成自变量的函数.《史记·廉颇蔺相如列传》：“赵王窃闻秦王善为秦声，请奏盆缻秦王，以相娱乐。”王羲之《兰亭序》：“足以极视听之娱，信可乐也。”宋叶适《东塘处士墓志铭》：“既苦志不酬，右书左琴以善娱乐。”娱乐天地

娱乐天地hwh68jyd《古今小说·李公子救蛇获称心》：“李元在前曾应举不第，近日琴书意懒，止游山玩水，以自娱乐。”明冯梦龙《东周列国志》第五十一回：“主公既有高台广囿，以为寝处之所，何不多选良家女子，充牣其中，使明师教之歌舞。以备娱乐，岂不美哉？”叶圣陶《倪焕之》十三：“又有什么可爱的议论音乐一般娱乐别人的心神么？”像话了。你奶奶……”在福珞回去之前，苏老太太该给她准信儿，否则入宫一事怕彻底黄了。明秀答她：“别怕，不是还有我奶奶大寿那一桌，着你操持吗？办完了再说！”老太太大寿，何以轮到福珞经手？原来那天已定下堂戏，都是城中有名的角儿，请到府中来唱，女眷们都躲在珠帘后头看，从中午一直唱到晚上。中午的饭就在帘后头摆，到晚上，移到正厅，那才是正式的寿宴，另有吹打献艺的正经女班儿，是可以挨在太太们桌边侍奉的，堂戏那边，还唱着，却只供陪衬了。老太太有心要再试试福珞和宝音两人腹中的经纶，便把堂戏中午那一场饭，一桌包给福珞、一桌包给宝音准备。堂戏能坐在正屋子里的，按例五桌，头一桌开给老太太，第二桌开给大太太一房，第二桌开给二太太一房，挨下再有两桌，给劳苦功高的老家人、以及凑趣打秋风来的穷亲友们——若是得脸的亲友，那就上前三桌坐了。没说的！大太太一桌，交给福珞费心，二太太一桌，许给宝音照应，其他桌子，还是嘉颜包办。老太太发下话，要诸家人媳妇们，一切都尽着二位吩咐。嘉颜除了忙自己的，还得盯着那些下人们别忤逆了，比平常还累三分。福珞在自己家里，作个娇滴滴的，并未正经当过家，接到这活，难免着慌，老太太又特意给明秀递了话：“这次，别帮珞儿。日后总有非她自己不可的时候！这次你要替她操持，反害了她。”明秀应了，果然一件事不替福珞插手，只安慰道：“你不懂，我们家那位姑娘可更没理会过这事呢！”又闲闲道，“你们家某位妈妈，某年那堂寿宴可有大功。”福珞醒悟。她到苏家，本带了两个丫头、一个婆子来伺候，那婆子是不懂酒菜经办的，便打发回去，另换了那个懂行的婆子来给福珞帮忙，老太太也睁只眼闭只眼。宝音这边，可一个这样的臂助也没有，明秀打听了，她果真自己拿主意，叫管厨房、管器皿、管园圃的，各进了一本近三年的册子，自己翻看，闭门出主意呢！明秀暗笑，如此闭门造车、纸上谈兵，能办得甚事？为保险，还是把乐韵叫了来。太阳早已落了下去，今夜无月，星儿也唯有一颗，像沾了霜似的，光芒都那么冷，大倒是挺大，似只惊讶睁大的怪眼。秋意重了，葡萄架上的果实早被收走，叶子