高三数学等比数列3

等比数列

一、概念与公式1.定义2.通项公式3.前

n

项和公式二、等比数列的性质1.首尾项性质:有穷等比数列中,与首末两项距离相等的两项积相等,即:特别地,若项数为奇数,还等于中间项的平方,即:a1an=a2an-1=a3an-2=…

.若数列

{an}

满足:

=q(常数),则称

{an}

为等比数列.an+1anan=a1qn-1=amqn-m

.na1(q=1);Sn=a1-anq

1-q

=(q≠1).a1(1-qn)1-q

a1an=a2an-1=a3an-2=…=a中2.特别地,若

m+n=2p,则

aman=ap2

.2.若

p+q=r+s(p、q、r、s∈N*),则

apaq=aras

.3.等比中项

如果在两个数

a、b

中间插入一个数

G,使

a、G、b

成等比数列,则

G

叫做

a

与

b

的等比中项.5.顺次

n

项和性质4.若数列

{an}

是等比数列,

m,p,n

成等差数列,则

am,ap,an

成等比数列.

6.若数列

{an},{bn}

是等比数列,则数列

{anbn},{

}

也是等比数列.anbnG=

ab.

若

{an}

是公比为

q

的等比数列,则

ak,ak,ak也成等比数列,且公比为

qn.k=2n+13nk=1nk=n+12n7.单调性8.若数列

{an}

是等差数列,则

{ban}

是等比数列;若数列

{an}

是正项等比数列,则

{logban}

是等差数列.三、判断、证明方法1.定义法;2.通项公式法;3.等比中项法.a1>0,q>1,a1<0,0<q<1,或

{an}

是递增数列;或

a1>0,0<q<1,a1<0,q>1,

{an}

是递减数列;q=1

{an}

是常数列;q<0

{an}

是摆动数列.典型例题1.设数列

{an}

的前

n

项和为

Sn,若

S1=1,S2=3,且

Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n≥2),试判断

{an}

是不是等比数列.2.设等比数列

{an}

的前

n

项和为

Sn,若

S3+S6=2S9,求数列的公比

q.3.三个数成等比数列,

若将第三项减去

32,

则成等差数列,再将此等差数列的第二项减去

4,又成等比数列,求原来的三个数.4.已知数列

{an}

的各项均为正数,且前

n

和

Sn

满足:6Sn=an2+3an+2.若

a2,a4,a9成等比数列,求数列的通项公式.a1=1,a2=2,Sn+1-Sn=

2(Sn-Sn-1),an=2n-1,

{an}是等比数列.设三数为a,b,c,得b=2+4a,c=7a+36.2,10,50或,,.933892629an+1-an=3,a1=1,an=3n-2.12-436.已知

{an}

是首项为

a1,

公比为q

的等比数列.

(1)求和:a1C2-a2C2+a3C2,a1C3-a2C3+a3C3-a4C3;(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数

n

的一个结论,并加以证明;(3)设q≠1,Sn

是

{an}

的前

n

项和,求

S1Cn-S2Cn+S3Cn-S4Cn+

…

+(-1)nSn+1Cn.00011122233n(1)a1(1-q)2,a1(1-q)3;(2)a1Cn-a2Cn+a3Cn-a4Cn+

…

+(-1)nan+1Cn=a1(1-q)n(n

N*);0123n(3)-a1q(1-q)n-1.(2)bn=3qn-1.5.数列

{an}

中,a1=1,a2=2.数列

{an

an+1}

是公比为q(q>0)的等比数列.(1)求使

anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n

N*)

成立的

q

的取值范围;(2)若

bn=a2n-1+a2n

(n

N*),求

{bn}

的通项公式.

(1)

0<q<;1+

52∴(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).证:(1)∵an+1=Sn+1-Sn,又

an+1=

Sn,n+2n整理得

nSn+1=2(n+1)Sn.n+2n∴Sn+1-Sn=Sn,Sn

nSn+1n+1∴=2

.

7.数列

{an}

的前

n

项和记为

Sn,已知

a1=1,

an+1=

Sn(n=1,2,3,…),证明:(1)数列

{}

是等比数列;(2)

Sn+1=4an.n+2nSn

nSn

n∴{}

是以

1

为首项,2

为公比的等比数列.(2)由(1)知

=4(n≥2),Sn+1n+1Sn-1n-1于是

Sn+1=4(n+1)

=4an(n≥2),Sn-1n-1又

a2=3S1=3a1=3,故

S2=a1+a2=4=4a1.因此对于任意正整数

n,都有

Sn+1=4an.(2)证法2:

由(1)知=2n-1.Sn

n∴Sn=n

2n-1

.

∴Sn+1=(n+1)

2n.

∵an=Sn-Sn-1=n

2n-1-(n-1)

2n-2=(n+1)

2n-2

(n≥2).

而

a1=1

也适合上式,

∴an=(n+1)

2n-2

(n

N*).

∴4an=(n+1)

2n=Sn+1.

即

Sn+1=4an.

7.数列

{an}

的前

n

项和记为

Sn,已知

a1=1,

an+1=

Sn(n=1,2,3,…),证明:(1)数列

{}

是等比数列;(2)

Sn+1=4an.n+2nSn

n8.数列

{an}

中,a1=1,Sn+1=4an+2,(1)设

bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列,并求其通项;(2)设

cn=,求证:数列

{cn}

是等差数列;(3)求

Sn=a1+a2+…+an.an2n(1)证:

由已知

an+1=Sn+1-Sn=4an+2-4an-1-2,∴an+1=4an-4an-1(n≥2).∴bn=an+1-2an=4an-4an-1-2an=2(an-2an-1)=2bn-1.∴=2(n≥2).bn-1bn∴{bn}是以

3

为首项,2

为公比的等比数列.

又由

a1=1,a1+a2=S2=4a1+2

得

a2=5,∴b1=a2-2a1=3.∴bn=3

2n-1

.

∴数列

{cn}

是等差数列.∴Sn=4an-1+2=4

(3n-4)

2n-3+2=(3n-4)

2n-1+2.

∴an=2n

cn=(3n-1)

2n-2.(2)证:

∵cn+1-cn=-

an2nan+12n+1an+1-2an

2n+1=bn

2n+1=

=3

2n-1

2n+1=(常数),34(3)解:

由已知

c1==,12a12∴由(2)得cn=+(n-1)=

(3n-1).123414∴an-1=(3n-4)

2n-3(n≥2).而

S1=a1=1

亦适合上式,

∴Sn=(3n-4)

2n-1+2(n

N*).8.数列

{an}

中,a1=1,Sn+1=4an+2,(1)设

bn=an+1-2an,求证:{bn}是等比数列,并求其通项;(2)设

cn=,求证:数列

{cn}

是等差数列;(3)求

Sn=a1+a2+…+an.an2n

1.四个正数,前三个数成等差数列,其和为

48,后三个数成等比数列,其最后一个数是

25,求此四数.解:

由已知可设前三个数为

a-d,a,a+d(d

为公差)且

a+d>0.∵后三数成等比数列,其最后一个数是

25,解得:a=16,d=4.故所求四数分别为

12,16,20,25.∴a-d+a+a+d=48,且(a+d)2=25a.

∴a-d=12,a+d=20.

课后练习题2.在等比数列

{an}

中,a1+a6=33,a3a4=32,an+1<an.(1)求

an;(2)若

Tn=lga1+lga2+…+lgan,求

Tn.解:(1)∵{an}

是等比数列,∴a1a6=a3a4=32.

又∵a1+a6=33,∴a1,a6是方程

x2-33x+32=0

的两实根.

∵an+1<an,∴a6<a1,∴a1=32,a6=1.∴32q5=1∴an=26-n.

q=.12(2)由已知

lgan=(6-n)lg2.

∴Tn=lga1+lga2+…+lgan

=[6n-(1+2+…+n)]lg2

=[6n-

]lg2

n(n+1)2=[(6-1)+(6-2)+…+(6-n)]lg2

=(-

n2+n)lg2.

12211

3.已知数列

{an}

为等比数列,a2=6,a5=162,(1)求数列

{an}

的通项公式;(2)设

Sn

是数列

{an}

的前

n

项和,证明:

≤1.Sn

Sn+2Sn+12(1)解:

设等比数列

{an}

的公比为

q,依题意得:a1q=6

且

a1q4=162.解得:a1=2,q=3.∴数列

{an}

的通项公式为

an=2

3n-1.(2)证:

Sn==3n-1,2(1-3n)

1-3Sn

Sn+2Sn+12(3n-1)(3n+2-1)(3n+1-1)2

=32n+2-(3n+3n+2)+132n+2-2

3n+1+1=32n+2-23n

3n+2+132n+2-2

3n+1+1≤=1.

故有

≤1成立.Sn

Sn+2Sn+124.设

{an}

为等比数列,

Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,已知

T1=1,T2=4.(1)求数列

{an}

的首项和公比;(2)求数列

{Tn}

的通项公式.解:(1)设等比数列

{an}

的公比为

q,则:T1=a1,

T2=2a1+a2.又

T1=1,

T2=4,∴a1=1,2a1+a2=4

a2=2.∴q=2.∴数列

{an}

的首项为

1,公比为

2.(2)解法1

由(1)知:a1=1,q=2,∴an=2n-1.∴Tn=n

1+(n-1)

2+(n-2)

22+…+2

2n-2+1

2n-1.∴2Tn=n

2+(n-1)

22+(n-2)

23+…+2

2n-1+1

2n.∴Tn=-n+2+22+…+2n-1+2n

=2n+1-n-2.解法2

设Sn=a1+a2+…+an.∵an=2n-1,∴Sn=2n-1.∴Tn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an=a1+(a1+a2)+(a1+a2+a3)+…+(a1+a2+…+an)=S1+S2+…+Sn=2+22+…+2n-n=2n+1-n-2.5.在公差为

d(d

0)

的等差数列

{an}

和公比为

q

的等比数列

{bn}

中,已知

a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,(1)求

d,

q

的值;(2)是否存在常数a,b,使得对于一切正整数

n,都有

an=lgabn+b

成立?若存在,求出

a

和

b,若不存在,说明理由.解:(1)∵a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,∵d

0,∴解得

d=5,q=6.

故

d,

q

的值分别为

5,6.∴1+d=q

且

1+7d=q2.(2)由(1)及已知得

an=5n-4,bn=6n-1.

假设存在常数

a,b,使得对于一切正整数

n,都有

an=lgabn+b

成立,

则

5n-4=loga6n-1+b

对一切正整数

n

都成立.即

5n-4=nloga6+b-loga6

对一切正整数

n

都成立.

∴loga6＝5,

b-loga6=-4.∴a=

6,

b=1.5

故存在常数

a,b,它们的值分别为6,1,使得对于一切正整数

n,都有

an=lgabn+b

成立.

5

6.设

Sn为数列

{an}

的前

n

项和,且满足

2Sn=3(an-1),(1)证明数列

{an}

是等比数列并求

Sn;(2)若

bn=4n+5,将数列

{an}

和

{bn}的公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新的数列

{dn},证明

{dn}

是等比数列并求其通项公式.证:(1)由已知

a1=3,

当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1.∴2an=2(Sn-Sn-1)=2Sn-2Sn-1=3(an-an-1)

an=3an-1.故数列

{an}

是首项与公比均为

3

的等比数列.从而

an=3n,Sn=

(3n+1-3).12(2)易知

d1=a2=b1=9.

设

dn

是

{an}

中的第

k

项,又是

{bn}

中的第

m

项,即

dn=3k=4m+5.∵ak+1=3k+1=3(4m+5)=4(3m+3)+3

不是数列

{bn}

中的项,而

ak+2=3k+2=9(4m+5)=4(9m+10)+5

是{bn}的第(9m+10)项,∴dn+1=ak+2=3k+2.dn+1dn

由=9

知:{dn}

是首项与公比均为

9

的等比数列,故

dn=9n.

7.{an},{bn}

都是各项为正的数列,对于任意的自然数

n,都有

an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列.(1)求证{bn}

是等差数列;(2)如果

a1=1,b1=

2,Sn=++…+,求

Sn.2

2

2

1a11a21an

∵an>0,bn>0,∴由②式得

an+1=bn

bn+1.(1)证:

依题意有:2bn=an+an+1,

①

an+1=bn

bn+1.

②2222从而当

n≥2

时,an=bn-1

bn,代入①得2bn=bn-1

bn+bn

bn+1.2∴2bn=bn-1+bn+1(n≥2).∴{bn}

是等差数列.(2)解:

由

a1=1,b1=

2

及①②两式易得

a2=3,b2=2.32从而

bn=b1+(n-1)d

=

(n+1).22故

an+1=(n+1)(n+2).12∴

an=

n(n+1)(n≥2).12而

a1=1

亦适合上式,

∴

an=

n(n+1)(n

N*).12∴

Sn=…=2(1-+-+…+-

)n11212131n+12n

n+1=

.8.设数列

{an}

的前

n

项和为Sn(其中,n

N*),若

Sn=(c+1)-can,其中

c

为不等于

-1

和

0

的常数.(1)求证

{an}

是等比数列;(2)设数列

{an}

的公比

q=f(c),数列

{bn}

满足:

b1=,bn=f(bn-1)(其中,n

N*,且

n≥2).

求数列

{bn}

的通项公式.13(1)证:

∵Sn=(c+1)-can(n

N*),∴a1=(c+1)-ca1.∴(c+1)a1=c+1.∵c

-1,∴a1=1.当

n≥2

时,an=Sn-Sn-1=can-1-can

(c+1)an=can-1.an

an-1cc+1∴=,这是一个与

n

无关的常数.∵c

-1

且

c

0,(2)解:

由(1)知q=f(c)=,cc+1∴bn=f(bn-1)=

(n

N*,且n≥2).bn-1bn-1+1bn-11bn

1∴=+1.bn-11bn

1即-

=1.

∴{}

是以

=3

为首项,