北京市西城区北京师范大第二附属中学2022-2023学年数学九年级上册期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.抛物线y=（x-3）2+4的顶点坐标是（）

A.（-1,2）B.（-1,-2）C.（1,-2）D.（3,4）

2.如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后,

余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）

从正面看

A.①B.②C.③D.@

3.已知一组数据共有20个数，前面14个数的平均数是10,后面6个数的平均数是15,则这20个数的平均数是（）

A.23B.1.15C.11.5D.12.5

BD

4.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则二的值为（）

5.已知关于X的方程ax2+bx+c=0,若a+b+c=0,则该方程一定有一个根为（）

A.-1B.0C.1D.1或-1

6.两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm,它们的周长相差40cm,则这两个三角形的周长分别是（）

A.45cm,85cmB.60cm,100cmC.75cm,115cmD.85cm,125cm

7.已知sinacosa=j,且0。<0<45。，则§ina—cosa的值为（）

o

W小3

A---n----c-

8.袋中有5个白球，x个红球，从中随机摸出一个球，恰为红球的概率为彳则x为

A.25B.20C.15D.10

1

9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-3,6),B(-9,-3),以原点。为位似中心，相似比为工把AAB。缩小,

3

则点B的对应点夕的坐标是()

A.(-9,1)或(9,—1)B.(-3,-1)c.(-1,2)D.或(3,1)

10.某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,x,1,1,1.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的中位数是()

A.7B.1C.5D.4

二、填空题(每小题3分，共24分)

11.已知。=4,b=9,C是以人的比例中项，则。=.

12.如图所示，已知：点4。，。)，B(曲,0),C(0,1).在AABC内依次作等边三角形，使一边在％轴上，另一个顶

点在BC边上,作出的等边三角形分别是第1个444B,第2个加AB,第3个BAB，…，则第〃个等边三

11122233

角形的周长等于-------

2

13.从实数一K,s山60。中，任取两个数，正好都是无理数的概率为.

3

14.已知一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为-5和3,则二次函数y=ax2+bx+c图象对称轴是直线.

15.底面半径为1,母线长为2的圆锥的侧面积等于-----.

16.一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率

是

17.某班主任将其班上学生上学方式（乘公汽、骑自行车、坐小轿车、步行共4种）的调查结果绘制成下图所示的不

完整的统计图，已知乘坐公汽上学的有12人，骑自行车上学的有24人，乘家长小轿车上学的有4人，则步行上学的

学生人数在扇形统计图对应的扇形所占的圆心角的度数为.

25%、

骑乘公共

目

行、步行

车

坐小

轿车

18.如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为

三、解答题（共66分）

3k

19.（10分）如图，直线/的解析式为反比例函数了=一（x>0）的图象与/交于点N,且点N的横坐标为1.

4x

（1）求"的值；

（2）点4、点8分别是直线I、x轴上的两点，且04=08=10,线段A8与反比例函数图象交于点M,连接OM,求

的面积.

20.(6分)制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作.设该材料温度为y(°C),从加热开始计算的

时间为x(分钟).据了解，设该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间

x成反比例关系(如图).已知该材料在操作加工前的温度为15°C,加热5分钟后温度达到60℃.

(1)求将材料加热时，y与x的函数关系式；

(2)求停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；

(3)根据工艺要求，当材料的温度低于15C时，须停止操作，那么操作时间是多少？

21.(6分)如图方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,aABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标

系解答下列问题：

(1)将AABC向上平移3个单位长度，画出平移后的

(2)写出A1，G的坐标；

(3)将△A|B|G绕B1逆时针旋转90。，画出旋转后的△A2B1C2,求线段叫在旋转过程中扫过的面积(结果保留n).

22.(8分)中华人民共和国《城市道路路内停车泊位设置规范》规定:

12米以上的，可在两侧设停

方式1平行式方式2倾斜式方式3垂直式.

车泊位，路幅宽8米到12米的，可在单侧设停车泊位，路幅宽8米以下的，不能设停车泊位；6米，车位宽2.5米；4

米.

根据上述的规定，在不考虑车位间隔线和车道间隔线的宽度的情况下，如果在一条路幅宽为14榔双向通行车道设置

同一种排列方式的小型停车泊位，请回答下列问题：

(1)可在该道路两侧设置停车泊位的排列方式为-------；

(2)如果这段道路长100米，那么在道路西州基多可以设置停车泊位-------个.

（参考数据：1.4,1.7）

23.（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知一AOB是等边三角形，点我坐标是（031点B在第一象限，乙0aB的平

分线交：、：轴于点p,把占A。？绕着点承逆时针方向旋转，使边A0与.淳合，得到&ABD，连彘P求：DP的长及点型

坐标.

24.（8分）如图①，在等腰AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,且NBAC=NDAE=120。.

（1）求证：AABD^AACE；

（2）把AADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD,点M、P、N分别为DE、DC,BC的中点，连接

MN、PN、PM,判断APMN的形状，并说明理由；

（3）在（2）中，把AADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=6,请分别求出APMN周长的最小值与最大值.

图①图②

k

25.（10分）如图，已知直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A,B,与双曲线y=—仍<0）分别交于点C,D,

12x

且点C的坐标为（-12）.

（1）分别求出直线、双曲线的函数表达式.

（2）求出点D的坐标.

〈3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时y>y

12

26.（10分）如图，在AABC中，AB=/，ZB=45",tanZC=1.求aABC的周长.

JL

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、D

【解析】根据抛物线解析式y=(x-3)2+4,可直接写出顶点坐标.

【详解】y=(x-3)2+4的顶点坐标是(3,4).

雌D.

【点睛】

此题考查了二次函数y=a(x-/?)2+Ar的性质，对于二次函数产a(x/)2+A,顶点坐标是他，k),对称轴是x=k.

2、A

【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择.

【详解】解：原几何体的主视图是：

视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即

可.故取走的正方体是①.

雌A.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，中等难度，作出几何体的主视图是解题关键.3、

C

【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数.

【详解】解：由题意得：(10x14+15x6)+20=11.5,

故选：C.

【点睛】

此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.

4、C

【解析】由DE〃BC可得出AADEs4ABC,利用相似三角形的性质结合S=S,可得出上=走，结

AADE1M彩BCED力§2

BD

合BD=AB-AD即可求出——的值.

AD

【详解】VDE/7BC,

.♦.NADE=NB,ZAED=ZC,

/.△ADE^AABC,

（AD\S

飞下广L

vs=s,s=s+s,

△ADE四边形BCEDAABCAADE四边形BCED

.人D_&

~ABT

ABAD

...吗=-=2-&=j-_y,

~ADAD或V

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

5、C

【分析】由题意将〃+"c=0变形为。=一并代入原方程左边，再将方程左边因式分解即可.

【详解】解：依题意得，=一〃一。，

原方程化为^^+法-〃-"=0,

即〃（丫+刃伐一曲+夙》一勤二。，

.・.（x—1）（ax+〃+。）=0,

...乂=1为原方程的一个根.

故选：C.

【点睛】

本题考查一元二次方程解的定义.注意掌握方程的解是使方程左右两边成立的未知数的

值.6、C

【解析】根据相似三角形的周长的比等于相似比列出方程，解方程即可.

【详解】设小三角形的周长为xcm,则大三角形的周长为(x+40)cm,

x15

解得，x=75,

则x+40=115,

娱C.

7、B

【分析】由题意把己知条件两边都乘以2,再根据sima+cos2a=1,进行配方，然后根据锐角三角函数值求出cosa与sina

的取值范围，从而得到sina-cosa<0,最后开方即可得解.

1

【详解】解：•.,sinacosa=5",

O

1

.\2sinaecosa=—,

4

1

:.sin2a+cos2a-2sina*cosa=l--,

4

3

即(sina-cosa)2=--,

4

V0°<a<45°,

J2J2

A--<cosa<l>0<sina<

22

/.sina-cosa<0,

..季

..sma-cosa=-.......

.故选：B.

乙

【点睛】

本题考查同角的三角函数的关系，利用好sinza+cos2a=1,并求出sina-cosaV0是解题的关

键.8、B

【解析】考点：概率公式.

分析：根据概率的求法，除去红球的概率，就是白球的概率.找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；

二者的比值就是其发生的概率.

解答：解：从中任意取一个，恰为红球的概率为4/5,

，那从中任意取一个，恰为白球的概率就为1/5,

据题意得5/(5+x)=l/5

，解得X=l.

二袋中有红球1

个.故选B.

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，

那么事件A的概率P（A）=m/n

9、D

1

【分析】利用以原点为位似中心，相似比为k,位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,把B点的横纵坐标分别乘以

3

1

或-5即可得到点B，的坐标.

0

1

【详解】解：•・•以原点O为位似中心，相似比为一，把△ABO缩小，

3

...点B（-9,-3）的对应点B，的坐标是（-3,-1）或（3,

1）.辘D.

【点睛】

本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的

坐标的比等于k或-k.

10、C

【分析】本题可先算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数.

【详解】解：1•某班七个兴趣小组人数分别为4,4,3,x,1,1,2.已知这组数据的平均数是3,

.*.x=3x2-4-4-3-l-l-2=3,

这一组数从小到大排列为：3,4,4,3,1,1,2,

.•.这组数据的中位数是：

3.故选：C.

【点睛】

本题考查的是中位数，熟知中位数的定义是解答此题的关键.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、±6；

【解析】试题解析：是a,b的比例中项，

c2=ab,

Xva=4,b=9,

c2=ah=36,

解得:c=±6.

故答案为：±6.

⑵V

2n

【解析】VOB=^p,OC=1,...BC=2,/.ZOBC=30°,ZOCB=60°.

而AAA[B]为等边三角形，NA]AB]=60。，,NCOA]=30。，则NCAQ=90。.

在RtACAA中，AA=pOC=同理得：BA=1AB=/，

114-4-1211

依此类推，第n个等边三角形的边长等于J•第n个等边三角形的周长等于3,•

2n2n-

1

13、

3

【分析】画树状图展示所有等可能的结果数，再找出两次选到的数都是无理数的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】画树状图为：

开始

:—ftsin60'

AA/x

sin60'2sin60—不

33

则共有6种等可能的结果，

其中两次选到的数都是无理数有(兀，立〃60津1(5/7160)2种,

所以两次选到的数都是无理数的概率=2=1

故答案为：I

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适

合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

14、x=-1

【分析】根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案.

【详解】•.•一元二次方程4工2+加;+。=0的两根为-5和3,

...二次函数y=ax2+〃x+c图象与x轴的交点为（-5,0）和（3,0）,

-5+3

由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为x=—2—=-i,

故答案为：龙=一1.

【点睛】

本题主要考查了抛物线与X轴的交点，解题的关键是掌握抛物线与X轴交点坐标与对应一元二次方程间的关系及抛物

线的对称

性.15、27r.

【解析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半，依此公式计算即可：圆锥的侧面积=1x2x271=271.

1

16>-・

o

211

【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是-=.故答案为一

67o

Q.考点：列表法与树状图法.

17、90°

【分析】先根据骑自行车上学的学生有12人占25%,求出总人数，再根据步行上学的学生人数所对应的圆心角的度

数为所占的比例乘以360度，即可求出答案.

【详解】解：根据题意得：

总人数是：12+25%=48人，

48—12—24

所以乘车部分所对应的圆心角的度数为360°x=90。；

48

故答案为：90。.

【点睛】

此题主要考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，列出算式是解决问题的关键.

183

【分析】根据正六边的性质，正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，

然后求出等边三角形的高即可.

【详解】解：边长为2的正六边形由6个边长为2的等边三角形组成，其中等边三角形的高为原来的纸带宽度，

2

故答案为：£.

【点睛】

此题考查的是正六边形的性质和正三角形的性质，掌握正六边形的性质和正三角形的性质是解决此题的关键.

三、解答题(共66分)

19、(1)27；(2)2

3

【分析】(1)把X=1代入丫=7刈求得N的坐标，然后根据待定系数法即可求得A的值；

(2)根据勾股定理求得A的坐标，然后利用待定系数法求得直线A8的解析式，再和反比例函数的解析式联立，求得

M的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△80M的面积.

【详解】解：G)•••直线/经过N点，点N的横坐标为1,

39

9

:.N(1,

k

•.•点N在反比例函数(x>0)的图象上，

X

9

.*.*=1*-=27；

(2)•.•点A在直线/上，

3

.,.设A(m,­m),

4

；。4=10,

3

m2+(.—in')2=102,解得m=3,

4

：.A(8,1),

；04=05=10,

：.B(10,0),

设直线A8的解析式为y=ax+b,

f8m+n=61m=-3

'h()m+n=0'解甲〃=30'

，直线AB的解析式为j=-3x+30,

y=-3x+30

解d27得｛x=l或｛x=9,

y=_[y=27[y=3

.X

：.M(9,3),

1

.•.△80"的面积=_X1QX3=2.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式和一次函

数的解析式，求得4、M点的坐标是解题的关键.

300

20、(1)j=9x+15；(2)y=——；(3)15分钟

x

【解析】(1)设加热时丫=1«^^(厚0),停止加热后y=a/x(a/)),把b=15,(5,60)代入求解

(2)把y=15代入反比例函数求得

25

21、(1)图形见解析(2)A(5,7),C(9,4),(3)见解析，丁兀

114

(3)正确画出旋转后的图形，如图所示，根据线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形，扇形半径为5,圆心角为90°,

11

则计算扇形面积：s=90兀X52=25Tl.

扇形3604,

22、(1)平行式或倾斜式.(2)1.

【分析】(1)对应三种方式分别验证是否合适即可;

(2)分别按照第(1)问选出来的排列方式计算停车泊位，进行比较取较大者即可.

【睇】(1)除去两车道之后道路宽14—2X4=6m

因为要在道路两旁设置停车泊位，所以每个停车泊位的宽必须小于等于3m,所以方式3垂直式不合适，排除；方式1

平行式满足要求，对于房市，它的宽度为6Sina,要满足要求，必须有6Sina<3,gp0<a<30%所以当0<a<30°

时，方式2倾斜式也能满足要求.

故答案为平行式或倾斜式

(2)若选择平行式，则可设置停车泊位的数量为2x(100+6)^32(个)

若选择倾斜式，每个停车泊位的宽度为,要使停车泊位尽可能多，就要使宽度尽可能小，所以取a=30°,此

sina

25

时每个停车位的宽度为_二=5，所以可设置停车泊位的数量为2X[(1()0-6COS300)+5]R2X18=36(个)

sin30°

故答案为1

【点睛】

本题主要考查理解能力以及锐角三角函数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.

23、DP=2、3，点D的坐标为(2、工

【分析】根据等边三角形的每一个角都是60。可得NOAB=60。，然后根据对应边的夹角NOAB为旋转角求出

ZPAD=60°,再判断出4APD是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得DP=AP,根据，ZOAB的平分线

交x轴于点P,NOAP=30。，利用三角函数求出AP,从而得到DP,再求出NOAD=90。，然后写出点D的坐标即可.

【详解】是等边三角形，

'•L.OAB=60，

•••△4。尸绕着点A按逆时针方向旋转边」。与成重合,

旋转角=^-OAB=z.PrlD=601,AD=AP,

.•.&APD是等边三角形，

：.DP=AP,=60=,

•.7的坐标是(0,3),乙CM3的平分线交1轴于点尸，

・“0AP=30MAp=%可+3二=2。'

、

.•.DP=AP=2、3,

\-LOAP=30\cPAD=60s,

/.Z.OrlD=305,-+60°=90®,

...点球J坐标为(2\33).

【点睛】

本题考查了坐标与图形的变化，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的变化的相关知识点.

24、(1)证明见解析；(2)APMN是等边三角形.理由见解析；(3)APMN周长的最小值为3,最大值为1.

【解析】分析：(1)由NBAC=NDAE=12()°,可得NBAD=NCAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定

△ABD^AADE；(2)△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得

11

PM=-CE,PM〃CE,PN=-BD,PN/7BD,同(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以APMN是等腰三

角形；再由PM〃CE,PN〃BD,根据平行线的性质可得NDPM=NDCE,ZPNC=ZDBC,因为

ZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,所以

ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC

=NACB+NABC,再由NBAC=120。，可得NACB+NABC=60。，即可得NMPN=60。，所以APMN是等边三角

1

形；(3)由(2)知，APMN是等边三角形，PM=PN=—BD,所以当PM最大时，APMN周长最大，当点D在AB

上时，BD最小，PM最小，求得此时BD的长，即可得APMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，

PM的值最大，此时求得APMN周长的最大值即可.

详解：

(1)因为NBAC=NDAE=120°,

所以NBAD=NCAE,又AB=AC,AD=AE,

所以△ABD色ZkADE；

(2)△PMN是等边三角形.

理由：1,点P,M分别是CD,DE的中点，

1

/.PM=-CE,PM〃CE,

•点N,M分别是BC,DE的中点，

1

/.PN=-BD,PN〃BD,

同(1)的方法可得BD=CE,

；.PM=PN,

...△PMN是等腰三角形，

VPM/7CE,.,.NDPM=NDCE,

VPN/7BD,/.ZPNC=ZDBC,

VZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,

.,.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC

=NACB+NACE+NDBC=NACB+NABD+NDBC=NACB+NABC,

••"ZBAC=120°,.,.ZACB+ZABC=60°,

:.ZMPN=60°,

.,.△PMN是等边三角形.

1

(3)由(2)知，APMN是等边三角形，PM=PN=_BD

2

.'PM最大时，APMN周长最大，

.•.点D在AB上时，BD最小，PM最小，

；.BD=AB-AD=2,ZkPMN