2022年甘肃省张掖市高考理科数学第二次联考试卷及答案解析

2022年甘肃省张掖市高考理科数学第二次联考试卷

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合A={妙=反71}，8={x|y=/g(x-l)},AU8=()

A.{x|x>1}B.{小<1}C.{小Wl}D.{小21}

2.（5分）“0<5V空是“OVsinOV亨”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（5分）已知sin©—a）=/，则sin2a=（）

774>/245/2

A.—QB.-C.-----D.土---

9999

4.（5分）己知复数为=1-1（,•表示虚数单位），复数z满足|z-zo|=l,则|z|的取值范围

是（）

A.[0,1]B.[0,4]C.[0,2]D.[1,2]

5.（5分）△4BC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若力=3,c=2,△ABC的面积

为2sinB,则cosA=（）

12V73

A.—B.—C.—D.一

3344

6.（5分）已知奇函数在R上是增函数，g（x）—xf（x）.若a=g（-20,5）,b=g（-

log20.2）,c—g（3）,则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

7.（5分）给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每

人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（）

A.12种B.18种C.24种D.64种

8.（5分）已知5”}是等差数列，公差d>0,其前〃项和为S“若42,45+2,07+2成等比

数列，Sn=5+?即则不正确的是（）

A.d=lB.aio=2O

2

C.Sn=n+nD.当〃22时，Sn>yan

9.（5分）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状

第1页共26页

况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200

名学生每天的睡眠时间X〜M8,1），则每天的睡眠时间为5〜6小时的学生人数约为（）

（结果四舍五入保留整数）

（附：若X〜N（|i,则p（口-。WXWn+。）、0.6827,P（口-2。。）

p0.9545,P（n-3oWXW+3。）«=0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

10.（5分）将函数y=3sin（x-1）的图象向右平移<p（0<<p<n）个单位长度后得到f（x）

TT57r

的图象.若/（X）在（一，—）上单调递增，则<P的取值范围为（）

66

71717171712717127r

A•与,7]B.1，-]C,[-,y]D,[-,-1

x2y2

11.（5分）已知双曲线C：—-—=1（6F>0,h>0）的左、右焦点分别为尸1、尸2，过22

QNb2

的直线/交双曲线的右支于A、8两点.点M满足/=2薪，且就•BX=0.若

cosNAFiB=/，则双曲线C的离心率是（）

A.—B.V3C.2D.V5

2

12.（5分）已知㈤表示不超过的最大整数，如：[-1.2]=-2,=[3]=3.若函数/

（x）—x^lnx,xG.（011）,则M""]=（）

A.3B.2C.ID.0

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）抛物线C：/=4ay的焦点坐标为（0,2）,则C的准线方程为.

14.（5分）已知四个函数：①/二-―②y=/,③y=2,®y—lnx,从中任选2个，则事

件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.

15.（5分）设a=『（cosx-sinx）公,则二项式展开式中的小项的系数为.

16.（5分）在△ABC中，AB=4,AC=1,尸为AB边上一点，2|AB+4AC\=20,则而•而

的最小值为.

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三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

sinA-sinB

17.(12分)在①sin2C-gcos2c=4sinC-再,®b=+ccosA,@~——

Nab+c

这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.

在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知.

(1)求角C的大小；

(2)若“+6=8,求aABC的外接圆面积的最小值.

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18.（12分）中华民族是一个历史悠久的民族，在泱泱五千年的历史长河中，智慧的华夏民

族在很多领域都给人类留下了无数的瑰宝.比如，在数学领域中：十进位制记数法和零

的采用；二进位制思想起源；几何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分数运算法

则和小数；负数的发现；盈不是术；方程术；最精确的圆周率一一“祖率”；等积原理一

-“祖瞄”原理；二次内插法；增乘开方法；杨辉三角；中国剩余定理；数字高次方程

方法——“天元术”；招差术……，这些累累硕果都是华夏民族的祖先们为人类的智慧宝

库留下的珍贵财富.近代中国数学也在一直向前发展，涌现了苏步青、华罗庚、陈省身、

吴文俊、陈景润、丘成桐等国际顶尖数学大师，他们在微分几何学、计算几何学、中国

解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论、整体微分几何、几何定理机械化证明、

拓扑学、哥德巴赫猜想研究、几何分析等诸多领域取得了杰出成就.这些数学成就和数

学大师激励了一代代华夏儿女自强不息，奋勇前进.为增强学生的民族自豪感，培养学

生热爱科学、团结协作、热爱祖国的优良品德，以及培养学生的思维品质，改变学生的

思维习惯，提高学生对数学学习的兴趣，某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数

学史》.经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的学习后，学习数学的兴趣是否浓

厚，该校随机抽取了200名高一学生进行调查，得到统计数据如表：

对数学兴对数学兴合计

趣浓厚趣薄弱

选学了《中国数学史》10020120

未选学《中国数学史》Xyn

合计160m200

（1）求2X2列联表中的数据x,），，m,〃的值，并确定能否有85%的把握认为对数学兴

趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关；

第4页共26页

（2）在选学了《中国数学史》的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的

方法抽取12人，再从12人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的

3人中，每有一人对数学兴趣薄弱减1分，每有一人对数学兴趣浓厚加2分.设得分结果

总和为X,求X的分布列和数学期望.

2

附：片=（a+b芯瑟?d）（b+d），H之

P（产》0.1500.1000.0500.0250.010

依）

ko2.0722.7063.8415.0246.635

第5页共26页

1

19.(12分)如图在四棱锥A-8C0E中，CD//EB,CD与EB=1,CB1BE,AE=AB=

BC=y[2,AD=y/3.。是AE的中点.

(I)求证：。。〃平面ABC；

(II)求D4与平面A8C所成角的正弦值.

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20.(12分)已知双曲线C：4-4=1(a>0,Q0)的左顶点为A(-2,0),右焦点为

azb

F,点B在C上.当尸时，\AF]=\BF\.不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于

P，。两点.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)直线尸。过点F,在x轴上是否存在点N,使得x轴平分NPNQ?若存在，求出点

的N的坐标；若不存在，说明理由.

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21.(12分)已知函数/(%)=a(詈+1)(其中L为非零实数).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若g(x)=，-/(x)有两个零点xi，X2.

①求实数”的取值范围；

②求证：与不＞e2-(石+小).

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请考生在第(22),(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时

用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.

22.(10分)在直角坐标系xOy中，已知曲线G：［二sin2a〈a为参数)，在以。为极点，

x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：pcos("勺=-孝，曲线C3：p=2sin0.

(1)求曲线Ci与C2的交点M的直角坐标；

(2)设点A,B分别为曲线C2，C3上的动点，求HB|的最小值.

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23.己知函数/(x)=|2x-r|+|x+3|.

(1)若对任意的在［-3,+8),/(x)24恒成立，求正实数/的最小值

(2)若ab>0,且(〃+/?)(〃③+护)=M,求证：a2+b2<V2.

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2022年甘肃省张掖市高考理科数学第二次联考试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合A={Xy=-1},8={x[y=/g(x-1)},AUB=()

A.{x|x>1}B.{Rx<l}C.{xpcWl}D.{xpc'l}

解：•.,集合A={x|)，=V^=T}={xkel}，

8={x|y=/g(x-1)}={小>1},

.•.AU8={xW2l}.

故选：D.

2.(5分)"0<e是“OVsin"身的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当0V8V押，利用正弦函数尸sinx的单两性知0々加。〈堂；

当0<sin6V等时，2knVe<2kn+W（kSZ）或2k+冬V。<2kir+n（kGZ）,

综上可知”0<。<引是"OBnOV等“的充分不必要条件，

故选：A.

3.（5分）已知sin©—a）=4，则sin2a=（）

774724>/2

A,一不B.-C.-----D.土---

9999

解：sin2a=cos（］—2a）=1-2sin2（^—«）=^

故选：B.

4.（5分）已知复数为=工一1（i表示虚数单位）,复数z满足|z-zo|=l,则|z|的取值范围

是（）

A.[0,1]B.[0,4]C.[0.2]D.[1,2]

解：ZQ=-2(1+0-1=l+i-1=/,

!1一I_(lT)(l+i)

|z-zo|=|z-i|=l,

第11页共26页

由复数的几何意义可得，复数Z对应的点在以(0,1)为圆心，I为半径的圆上,

・・・0W|z|W2,

故选：C.

5.(5分)/XABC的内角A,B,C所对边分别为小b,c,若b=3,c=2,△ABC的面积

为2sin-则cosA=()

12V73

A.-B.-C.—D.

3344

解：由题意得，h=3,c=2,△ABC的面积为2sin3,

11

所以—acsin8=2sin3,即一xtzX2XsinB=2sinB,

22

因为sinBWO,可得〃=2,

则cos,4-『+c2-a2_9+1_3

人JcosA_2bc-2x3x2一4

故选：D.

6.(5分)已知奇函数/(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(-205),b=g(-

logaO.2),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

解：因为奇函数f(x)在R上是增函数，

所以g(x)=xf(x)为偶函数且在(0,+8)上单调递增，

所以a=g(-2°$)=g(20,5)=g(V2),

b=g(-log20.2)=g(log25),

c=g(3),

又因为1V&<2Vlog25V3,

所以g(V2)<g(log25)<g(3),

即a<b<c.

故选:A.

7.(5分)给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每

人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有()

A.12种B.18种C.24种D.64种

解：根据题意，分2步进行分析：

①，将4人分成3组，有C42=6种分法；

②，甲不能安排木工工作，甲所在的一组只能安排给泥工或油漆，有2种情况，

第12页共26页

2

将剩下的2组全排列，安排其他的2项工作，有A2=2种情况，

此时有2X2=4种情况，

则有6X4=24种不同的安排方法；

故选：C.

8.（5分）已知5”｝是等差数列，公差d>0,其前〃项和为S”若。2,a5+2,G7+2成等比

即

数列，Sra=5+；）则不正确的是（）

A.d=lB.6FIO=2O

2

C.Sn=n4-nD.当〃22时,Sn>

解：由Sn=中,得”&=妇当，

整理得见=〃。1，取〃=5,得。5=5的，

又。5=。|+4",，5〃i=Qi+4a,得〃1=4

Q5+2,a17+2成等比数列，

・・・（。5+2）2=。2（即7+2）,即（5d+2）2=2d・（17d+2）,

整理得9/-16d-4=0,解得d=2（d>0）,故A错误；

a\o=a\+9d=10t/=20,故8正确；

S九=2九+zl"」=n24-n,故C正确；

QQ

当"22时，Sn—2an-+n一2x2n=一2n——■（n—1）2—1>0,

故。正确.

故选：A.

9.（5分）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状

况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200

名学生每天的睡眠时间X〜M8,1）,则每天的睡眠时间为5〜6小时的学生人数约为（）

（结果四舍五入保留整数）

（附：若X〜N（R,。2）,则P⑺-。WXWp+o）%0.6827,P（口-2。WXWp+2。）

-0.9545,P⑺-3。WXW+3。）-0.9973.）

A.163B.51C.26D.20

解：,:X〜N（8,I）,

••|i—8>。=1,

第13页共26页

P(5<X<6)=P(|i-3。<X<|i-2o)

1

=^[P(H-3o<X<|i+3o)-P(n-2o<X<H+2O)]

1

a*X(0.9973-0.9545)=0.0214,

•.•高三年级有1200名学生，

每天的睡眠时间为5〜6小时的学生人数约为1200X0.0214=25.68^26.

故选：C.

10.(5分)将函数y=3sin(x-j)的图象向右平移<p(0<<p<n)个单位长度后得到了(x)

7T57r

的图象.若f(X)在(/，—)上单调递增，则⑴的取值范围为()

66

7T717171712.TT7127r

A•及B.*-]C,1-,yjD,y]

解：由题意知，f(x)=3sin(x-(p—看)，

当*等时，-q)<x-3一看V冬一(p,

V0<(p<ir,

•八冗2兀2TT

・・-TT<-(p<0,一可--(P<手，

•,)271

7T77

解得7<<p<7.

o乙

故选：B.

x2y2

11.(5分)已知双曲线C：—--=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为Q、F2,过92

a2b2

的直线/交双曲线的右支于A、B两点.点M满足北+4%=2薪，S.AM-BFr=0.若

cos/AFiB=/，则双曲线C的离心率是()

次lr-

A.—B.V3C.2D.V5

2

解：'：AB+AFX=2AM,AM-BFX=0,

为线段BFi的中点，AM±BFi，即AM垂直平分尸iB,

：.\AFi\=\AB\,设|AFi|=m,则

又△4MQ为直角三角形，

第14页共26页

11

•:cos4叫B=%即cos乙4F1M=%

11

・・.|FM=楙m,|F/|=im,

由双曲线定义可得|A尸11-|A尸2|=2m\BFi\-\BF2\=2a9

A|AFi|+|BFi|-|AB|=4a,

・・m=8。，

：.\F\B\=4a,\F2B\=2af

又cos乙FzBF、=cos乙ABF1=cosZ.AF^B=

\BF\2+\BF\2-\FF\21

由余弦定理可得2112一,

2\BF2\\BF1\4

4a2+16a2-4c21

2x2ax4a4’

离心率e=g=2.

故选：C.

12.(5分)己知㈤表示不超过的最大整数，如：[-1.2]=-2,=[3]=3.若函数f

(x)=^lnx,xG(0,I),则()

A.3B.2C.1D.0

第15页共26页

解：根据题意，函数/（x）=J?lnx,x&（0,1）,必有/（x）<0,

则0<59<1,故M<x>]=0,

故选：D.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.（5分）抛物线C：7=4做的焦点坐标为（0,2）,则C的准线方程为v=-2.

解：抛物线C：7=4ay的焦点坐标为（0,2）,

可得a=2.

所以抛物线的准线方程为：y=-2.

故答案为：y=-2.

14.（5分）已知四个函数：①/二--②丫=7,③y=2*,®y—lnx,从中任选2个，则事

件''所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为二.

解：选①②时，画出两个函数的图像，如下图，

可以看出有两个公共点，不符合要求；

选①③时，画出两个函数的图像，如下图,

第16页共26页

有且只有一个公共点，符合要求;

没有交点，不符合题意;

第17页共26页

选③④时，画出两个函数的图像，如下图,

无有交点，不符合题意，

综上，一共有6种情况，其中2种满足要求，故所求事件事件为P=W.

OD

故答案为：

15.(5分)设a=J；(cosx-sinv)dx,则二项式(/+^)6展开式中的小项的系数为一

160.

解：Vtz=[(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)惜=-2,

(7+E)6=(X2-|)6

.•F+l=C鼠X2)6T.(一・=(—17-2k.C”P2-3k

.*.12-3k=3

解得，无=3

.*.(-l)fc•2」C=(-1)3•23•髭=-160.

故答案为：-160.

16.(5分)在△ABC中，AB=4,AC=1,P为AB边上一点，+4AC\=20,则而•而

的最小值为_-霏一

解：v|\AB+4AC\=273,

：.\AB+44C|=4后

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iUB2+SAB-AC+164。2=48,

又：脑|=4,应1=1,

：.AB'AC=2,

为AB边上一点，

二设而=x6(OWxWl),

PB-PC=xAB<PB-AB+AC)

^xAB<xAB-AB+AC)

2

=7启.xAB+xAB'AC

=16,-16x+2x

—16A2-14x,

根据二次函数的性质知，

当x=£时，丽•尾取得最小值一案，

故答案为：—患.

三、解答题(本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)在①sin2C-%cos2c=4sinC一遍,@b=冬+ccosA,③,，―⑦丁='、1nA一3

乙ab+c

这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，然后解答问题.

在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.

(1)求角C的大小；

(2)若“+〃=8,求△ABC的外接圆面积的最小值.

解：(1)若选①，因为sin2C一百cos2c=4sinC一6，

所以2sinCcosC-W(1-2sin2C)=4sinC-8，

可得2sinCcosC+2V3sin2C=4sinC,

由于C是三角形的内角，所以sinC>0,

所以cosC+WsinC=2,即sin(C+J)=1,

O

又CE(0,71),

所以c=*.

第19页共26页

若选②因为b—多4-ccosA,

222

Qb+c—a

由余弦定理得狂可得c^+b2-"=ab,

乐+庐一＜2_

2ab—2

又CG(0,TT),

所以C=*

sinC-sinBsinA-sinB

若选③，因为:

ab+c

c~~bCL—bccc

所以由正弦定理可得?=苗’整理可得a+b-c=ab,

1

可得cosC=a%)尸2

又CG(0,TT),

所以c=不

C1

(2)因为一一=2R,。+匕=8,cosC=4，

sinC乙

所以。2=(。+6)2-2ab(/+cosC)=64-3。/?,

Q+6=822VHK,可得abW16,

可得02216,可得c而〃=4,

所以Rmin=竽，

所以（S外接圆）而"=7rR^in=苧.

18.（12分）中华民族是一个历史悠久的民族，在泱泱五千年的历史长河中，智慧的华夏民

族在很多领域都给人类留下了无数的瑰宝.比如，在数学领域中：十进位制记数法和零

的采用：二进位制思想起源；几何思想起源；勾股定理（商高定理）；幻方；分数运算法

则和小数；负数的发现；盈不是术：方程术；最精确的圆周率一一“祖率”；等积原理一

-“祖晒”原理；二次内插法；增乘开方法；杨辉三角；中国剩余定理；数字高次方程

方法一一“天元术”；招差术……，这些累累硕果都是华夏民族的祖先们为人类的智慧宝

库留下的珍贵财富.近代中国数学也在一直向前发展，涌现了苏步青、华罗庚、陈省身、

吴文俊、陈景润、丘成桐等国际顶尖数学大师，他们在微分几何学、计算几何学、中国

解析数论、矩阵几何学、典型群、自安函数论、整体微分几何、几何定理机械化证明、

拓扑学、哥德巴赫猜想研究、几何分析等诸多领域取得了杰出成就.这些数学成就和数

第20页共26页

学大师激励了一代代华夏儿女自强不息，奋勇前进.为增强学生的民族自豪感，培养学

生热爱科学、团结协作、热爱祖国的优良品德，以及培养学生的思维品质，改变学生的

思维习惯，提高学生对数学学习的兴趣，某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数

学史》.经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的学习后，学习数学的兴趣是否浓

厚，该校随机抽取了200名高一学生进行调查，得到统计数据如表:

对数学兴对数学兴合计

趣浓厚趣薄弱

选学了《中国数学史》10020120

未选学《中国数学史》Xyn

合计160m200

(1)求2X2列联表中的数据x,y,m,〃的值，并确定能否有85%的把握认为对数学兴

趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关；

(2)在选学了《中国数学史》的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的

方法抽取12人，再从12人中随机抽取3人做进一步调查.若初始总分为10分，抽到的

3人中，每有一人对数学兴趣薄弱减1分，每有一人对数学兴趣浓厚加2分.设得分结果

总和为X,求X的分布列和数学期望.

2

附：*=(a+b)(a\(c+5)(b+dyn=a+b+c+d.

P(产》0.1500.1000.0500.0250.010

例)

k)2.0722.7063.8415.0246.635

解：(1)由题意可得x=60,y=20,m=40,〃=80,

29

fieri.(ad-bc)200x(100x20—20x60)/_25

以八一(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)160x40x120x80一短〜)吸＞2.072‘

故有85%的把握认为对数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关;

(2)在选学了数学史的20人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的方法抽取

12人，

可知其中对数学兴趣浓厚的有10人，对数学兴趣薄弱的有2人，

再从12人中抽取3人，当这3人中恰好有2人对数学兴趣薄弱时，X=10,

当这3人中恰好有1人对数学兴趣薄弱时，X=13,

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当这3人都对数学兴趣浓厚时，X=16,

所以X的可能取值为10,13,16,

21

则P(X=10)=鱼典=春，

%22

P(X=13)=£1|10=9

922

P(X=16)=字邛，

以211

故X的分布列为：

X101316

196

p,

222211

19629

所以E(X)=IOx224-13xyx-t*J6x-yr—

19.(12分)如图在四棱锥A-BCOE中，CD//EB,CD=^EB=1,CB±BE,AE=AB=

BC=V2,AD=相.。是AE的中点.

(I)求证：DO//nABC；

(II)求D4与平面ABC所成角的正弦值.

(I)证明：取A8中点凡连结CF、OF,

'：OF//EB,CD//EB,C.CD//OF.又,；CD=OF,二四边形OFCZ)为平行四边形，

：.DO//CF,而CFu平面ABC,二。。〃平面ABC.

(II)解：取EB中点G,连结AG、DG,'：AE=AB=y/2,BE=2,

...△4BE为等腰直角三角形，，AG=1,

又,：AD=聒,DG=BC=五,：.AG1+DG1=D^,：.DG±AG,

又DGLBE,AGQBE=G,所以。G_L平面A8E,

以G为原点，以G8,GA,G。方向分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐

标系.

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G(0,0,0),A(0,1,0),C(0,0,夜)，£(-1,0,Q).AD=(0,-1,企),

而AEJ_平面A3C,故平面ABC的一个法向量£=族=(一1,-1,0)

・4I/力7.AD-AE.1/6

sinO=\cos{AD，AE)\=|------|=万=-y-.

\AD\-\AE\'6。

V6

所以D4与平面ABC所成角的正弦值为一.

6

20.(12分)已知双曲线C：4-4=1(。>0,b>0)的左顶点为A(-2,0),右焦点为

凡点3在C上.当BFLAF时，\AF\^\BF\.不垂直于x轴的直线与双曲线同一支交于

P,。两点.

(I)求双曲线C的标准方程;

(2)直线PQ过点凡在x轴上是否存在点M使得x轴平分/PNQ?若存在，求出点

的N的坐标：若不存在，说明理由.

,2

解：(1)依题意，a=2,a-i-c=—,b2=c2-a2,

解得《2-2c-8=0,得c=4,伊=12,

94=1.

(2)假设存在存(〃,0),F(4,0),设尸(xi，)，i),Q(X2,”)，

x=my+4

设直线PQ：x=my+4(m会0),则/y2,得(3m2-1))2+24%y+36=0,

(T-12=1

3m2-1力o

4=(24m)2-4x36(3m2-1)>0

则《247n,且(殁1+4)(/n”+4)>16,

为+为3m2-1

36

%丫2=赤口

irrrr37n2-87n

即nr(yi+j2)+4/H(yi+”)>0,即----;--->0,

3mz—1

依题意，kpN+kQN=0,

即乃+=0,yx(my2+4—n)+y2(my1+4—n)=0,

X]7TX2

nI〃、/I、八Q36(4-n)x24mn

2myiy2+(4—兀)(为+y2)=0,2m-石1一37nLi=°，

即3m-in(4-ri')=0,

V/n^O,.*.n=l,

第23页共26页

故存在N(1,0).

21.(12分)已知函数/(x)=a(警+1)(其中a为非零实数).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若g(x)-f(x)有两个零点用，X2-

①求实数a的取值范围；

2-(Xl+X2)

②求证：%1%2>e.

解：(1).⑴=矶1;产),

1—lnx

若。>0,则当在(0,e)时，—^―>0,f(x)>0,/(x)单调递增；

1-lnx

当xe(e,+8)时，—^―<0,f(x)<0,/(x)单调递减.

1—Znx

若〃V0,则当在(0,e)时——>0,f(x)<0,f(x)单调递减；

*

1-lnx

当xe(e,+8)时，——<0,f(x)>0,f(x)单调递增.

(2)由已知得g(x)=祀〜产")=0有两个不等的正实根，

所以方程元aUwc+x)=0,即(x/)=0,

即(x")=xd有两个不等正实根.

①设尤d=f,则G>0)有两个不等根，

Int1

又a为非零实数，即——=一有两个不等根，

ta

由(1)知，函数y=竽在(0,e)递增，在(e,+«>)递减，有极大值亍,

又X-*0时，f(x)--8；+8时，f(x)-*0.

Int111

若一=一有两个不等根，则ov；<3

taQe

即实数a的取值范围是(e