（2018-2022）五年高考数学真题汇编：平面向量 含答案及解析

（2018-2022）高考数学真题汇编：平面向量

一、选择题

rr

1.（2022•全国乙（文）T3）已知向量2=（2,1）石=（一2,4）,则。一匕（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2022•全国乙（理）T3）已知向量2,加满足|£|=1,|力=6,|£-2力=3,则£4=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2022・新高考I卷T3）在“IBC中，点。在边AB上，BD=2DA.^CA=in,CD=n，

则C9=（）

A.3m—2nB.—2沅+3为C.3m+2nD.2玩+3万

4.（2022•新高考口卷T4）已知£=（3,4）1=（1,0）,工=£+届,若＜£,"＞=＜瓦£＞,则＜=

（）

A.-6B.-5C.5D.6

5.（2021•全国新高考1,多选）已知O为坐标原点，点6（cosa,sina）,8（cos△—sin尸）,

6（cos（a+p）,sin（a+p））,A（l,0）,则（）

A.网=|西|B.冏=朋|

C.丽丽3=丽・西D.砺・斯=丽・丽

6.（2021•浙江）已知非零向量a,瓦c,则“a.c=6•c"是"a=/，”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

7.（2020•海南）在AABC中，。是A3边上的中点，则丽=（）

A.2CD+CA.B.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

8.（2020•海南）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP.AB的取值范围

是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.(-2,4)D.(-4,6)

9.(2020•全国2(理))已知向量而a,b满足|M|=5,I$|=6,ah=-6，则cos仅,M+5)=

()

31c19c1719

A.---B.---C.—D.—

35353535

10.(2020•全国3（文））已知单位向量3，B的夹角为60°；则在下列向量中，与石垂直的

是（）

A.a+2bB-2a+bC.a—2hD.2a-b

11.(2019•全国2(文))已知向量£=(2,3)石=(3,2),则|£一的=()

A.V2B.2

C.5后D.50

（文））已知非零向量£石满足口=2M，

12.(2019•全国1且&-b）lb>则［与坂的夹

角为（）

兀兀271571

A.-B.-C.—D.——

6336

13.（2019•全国2（理））已知丽=（2,3）,AC=O>0，|BC|=1,则而.第=（）

A.-3B.-2

C.2D.3

14.（2018•北京（理））设向量&均为单位向量，则“|£-3B|=|3£+W是匕的

A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件

7T

15.（2018.浙江）已知公、石、"是平面向量，工是单位向量.若非零向量£与"的夹角为

向量I满足52-4。石+3=0,则同的最小值是（）

A.V3-1B.M+1C.2D.2-6

16.（2018•天津（理））如图，在平面四边形ABC。中，

AB1BC,AD1CD,NBAD=120MB=AD=l,若点E为边CD上的动点，则AE.BE

的最小值为（)

21

D.3

16

18.（2018•全国1（文））在仆ABC中，AD为BC边上的中线，E为的中点，则丽=

（）

3——1——1——3——

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3—1一1一3一

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

19.（2018.全国2（文））已知向量队6满足同=1,ab=-l＞则a-（2a-6）=（）

20.（2018•天津（文））在如图的平面图形中，已知OM=1,ON=2,NMON=120°,

BM=2MA,CN=2NA,则BC.OM的值为（）

A.-15

二、填空题

21.（2022•全国甲（文）T13）已知向量值=。〃,3）,5=（1,加+1）.若则血=

22.（2022.全国甲（理）T13）设向量£,B的夹角的余弦值为g，且同=1，1|=3,则

（2a+b）-b^.

23.（2021.浙江）已知平面向量a,b,c,（c*0）满足同=1,W=2,7B=0,（£叫,2=0.记

向量2在£石方向上的投影分别为x，y，］-£在2方向上的投影为z,则尤z+V+z?的最

小值为•

24.（2021.全国甲（文））若向量£石满足同=3,%一*5,£d=1,则忖=.

25.（2021•全国甲（理））已知向量a=（3,1）,石=（l,0）,c=a+2尻若qJ.c，则k=

26.（2021•全国乙（理））已知向量£=（1,3）石=（3,4）,若0—萩），B,则几=.

27.（2021•全国乙（文））已知向量£=（2,5）石=（44）,若。〃力，则2=.

28.（2020•浙江）设q,为单位向量，满足|21-不区及，a=et+e2,h=3e1+e2,

设£,坂的夹角为8,则cos?。的最小值为.

29.（2020•江苏）在△ABC中，AB=4,AC=3,NB4C=90。,。在边BC上，延长到P,

30.（2020-全国1（文））设向量Z=（1,-1）,日=（仅+1,2机—4）,若。J_力，则加=.

31.（2020•全国1（理））设〃,5为单位向量，且|万+B|=1,贝1」除一5|=.

32.（2020•全国1（理））己知单位向量1的夹角为45。，/_了与］垂直，则k=.

33.（2019•江苏）如图，在△ABC中，。是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA,AC与

A3

CE交于点。.若丽.前=6AO•反,则:大的值是.

AC

34.（2019•北京（文））已知向量£二（—4,3）,b=（6,机），S.a±b,则.

35.（2019・全国3（文））已知向量4=（2,2）,5=（-8,6）,则cos,出）=.

36.（2019•全国（理））已知1,5为单位向量，且必行=0,若忑=2&-同，则cos<M]>=

37.（2019・天津（文））在四边形45。。中，4）〃3。，48=26,4）=5,ZA=30°,

点£在线段C3的延长线上，且AE=BE，则前.通=.

22

38.（2019•上海）在椭圆工+匕=1上任意一点P,。与P关于x轴对称，若有严•哥W1,

4212

则肝与E0的夹角范围为

39.（2018•上海）已知实数为、超、%、力满足：xj+y：=1,+%2=1，百马+"%=g，

则、+尸+昆）Y的最大值为.

V2V2

37.（2018•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线，：y=2x上在第一象限内的点，

5（5,0）,以AB为直径的圆。与直线/交于另一点。.若丽.丽=0，则点A的横坐标

为.

41.（2018•北京（文））设向量[=（1,0）,b=（-1,瓶），若G_1_（〃伉-5）,则m=.

42.（2018•全国3（理））已知向量五=（1,2）,5=（2,-2）,c=（l,^）,^c\\（2a+b）,则2=

43.（2020•天津）如图，在四边形ABCO中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且

_____3

AD=ABC,ADAB=--,则实数2的值为,若M,N是线段BC上的动点，

2

且|MN|=1,则DM-DN的最小值为.

44.（2020.北京）已知正方形ABC。的边长为2,点P满足而=3（4豆+恁），则|而|=

---------；PBPD=---------

45.（2019•浙江）已知正方形ABC。的边长为1,当每个4G=1，2,3,4,5,6）取遍±1时，

林丽+%配+4迎+乙西+4/+4,西的最小值是；最大值是.

答案及解析

1.【答案】D

【详解】因为Z—B=（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以归一q="石7=5.

2.【答案】C

【详解】W：V|a-2S|2=|«I2-4无匹+4归『，

又♦.•|引=1,出|=y/3,\a-2b\=3,

9=1-4a-^+4x3=13—4a

^a-b=\

3.【答案】B

【详解】因为点O在边4B上，班）=2£凶，所以反5=2丽，即CD-CB-2^CA-CD^,

所以C耳=3前一2至=31—2而=-2沅+3万.

4.【答案】C

/、9+3/+163+，

【详解】解：^=（3+f,4）,cos21=cos"口即一乖।—二下「，解得1=5,

5.AC

【解析】

A：oR=(cosa,sina),OP,=(cos/?,-sin/?),所以|西|=Jcos?a+sin2a=1，

22

|OP21=^(cos/?)+(-sin/?)=1，故IOP}|=|OP?\，正确；

B：AP[=(cossina),AP2=(cos/?-1,-sin/?),所以

|AF\|=^(cosof-l)2+sin2a=Jcos=a-2cosa+l+sin2a-,2(1-cosa)=J4sin2—=21sin—|

同理I亚'|=>A嬴河不丽=2|sing|,故|丽亚'l不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OP^=1xcos(6Z+/7)+0xsin(cr+/?)=cos(a+p),

OP^OP2=cosa-cos(-sin/?)=cos(cz+p),正确；

D：由题意得：OAOF\=lxcoscr+Oxsincr=cosa,

OP2OP3=cosPxcos(a+尸)+(-sin/7)xsin(cr+/7)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说okOP^oKOP3故错误；

6.B

【解析】

若a・c=A・c，则(a—0)c=°，推不出。=石；若a=B，则a.c=B・c必成立，

故"7"=>才’是“£=万”的必要不充分条件

7.c

【解析】

CB^CA+AB^CA+2AD=CA+2(CD-CA^^2CD-CA

8.A

【解析】

4豆的模为2,根据正六边形的特征，可以得到而在4豆方向上的投影的取值范围是(-1,3),

结合向量数量积的定义式，可知福.而等于AB的模与AP在历方向上的投影的乘积,

所以衣•通的取值范围是(一2,6)，

9.D

【解析】..,卜卜5,1耳=6,£4=-6，.•・々•(〃+可=卜|+6Z^=52-6=19.

,+q=J/+=125-2x6+36=7，

一一一a\a+b\1919

因此，COS<4Z,6Z+/7>=pjX

卜|・r卜+@5x735

10.D

【解析】由已知可得：4/=卜,斗以九60°=lxlx；=；.

215

A：因为(£+2力4=7石+4=_+2xl=2x0,所以本选项不符合题意；

22

2I

B：因为(2方+杨4=27万+歹=2x—+1=2x0,所以本选项不符合题意；

2

—♦—*,-»—*■—*—*213

C：因为(〃-2切加=。2—26=一―2x1=——片0,所以本选项不符合题意；

22

2i

D：m(2a-b)-b^2a-b-b=2x——1=0,所以本选项符合题意.

2

11.A

【解析】由已知，£一行=(2,3)-(3,2)=(-1,1),所以|£_引=J(_l)2+F=近,

12.B

【解析】因为(a—所以(a—b).b=a.B—B=。，所以所以cos8=

ab而1兀

福=市|=5'所”与B的夹角为§，故选民

13.C

【解析】由配=/—而=(1,/一3),|比|=J,+C_3)2=1,得f=3,则册=(1,0),

丽•阮=(2,3)4l,())=2xl+3x()=2.故选C.

14.C

【解析】因为向量均为单位向量

所以|2—3胡=|3a+b\^(a-3b)'=(3a+by-6a-b+9b2=9a2+6a-b+b2

01-6Q・B+9=9+6Q・B+1=a・B=0aLb

所以“I£一|=|3弓+引”是“q_Lb”的充要条件

15.A

【解析】设a=(x,y),e=(l,0),0=(〃2M，

11

7\兀1111J兀i

则由(a,e)=，得a・e=a-ecos§,x=万y^x~+y~,y—i^3x,

3

由3一4；.%+3=0得〃5+1—46+3=0,(〃2—2『+力之=1,

因此，，一彳的最小值为圆心（2,0）到直线y=±百x的距离岁=百减去半径1,为

6-1.选A.

16.A

【解析】连接BD,取AD中点为O,可知△A3。为等腰三角形，而AB，BC,AD_LCD,

所以△BCD为等边三角形，BD=C。设诙=r反（04『41）

AEBE

，232

=(AD+DE)(Bb+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE=^+BDDE+DE

=3Z2--?+-(0<Z<1)

22

所以当f=工时，上式取最小值包，选A.

416

18.A

【解析】根据向量的运算法则，可得

丽」丽+‘丽」丽「配」丽+,(丽+而)

222424V'

1一1——1一3—1一

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

___3___1

所以£B=2AB—±AC,故选A.

44

19.B

【解析】因为。・(2a一5)=2。2-a-b=2\a^-(-1)=2+1=3,

20.C

【解析】如图所示，连结MN,

由两=2MA,CN=2NA可知点M,N分别为线段AB,AC上靠近点A的三等分点,

则肥=3丽=3(丽-W),

由题意可知：OM2=12=1，®-GW=lx2xcosl200=-l.

结合数量积的运算法则可得：

^-OM=3(ON-OM)-OM=3ON-OM-3OM2=-3-3=-6.

本题选择c选项.

3

21.【答案】一一或-0.75

4

_3

【详解】由题意知：a-b=m+3(m+l)=0,解得—.

4

22.【答案】11

【详解】解：设公与B的夹角为。，因为[与B的夹角的余弦值为：，即cos8=；,

又卜|=1,%=3,所以=|aH4cose=lx3xg=l,

所以仅£+45=2£4+尸=2£石+怀=2x1+32=11.

2

23.-

5

【解析】由题意，设〃=(1,0),5=(0,2)]=(见〃)，则,一4"=机—2〃=0,即加=2〃,

又向量2在£石方向上的投影分别为x,y,所以2=(%y),

，一___-,（d-ct）-cm（x-\\+ny2x-2+y

所以d—a在c方向上的投影z=■■—I=-=<=，

\c\J5

即2x+y-小z-2,

所以x2+y2+z2=522+『+（一石）~（%2+y2+z2）25（2x+y一百z）"=］,

2

x=—

5

x_z

1?

当且仅当，21-y/5即《y=-时，等号成立，所以f+y2+z2的最小值为一.

35

2x+y-45z-2

小

z----

24.3亚

［解析］,.,卜一母=5；.‘一q=a'+b~-2«-^=9+|^|-2=25\b=3>41.

10

25..

3

【解析】•.■4=（3,1）,5=（1,0）,;.}=。+防=（3+%,1）,

•.•a±c,:.a^c=3（3+k）+M=O,解得々=一/,故答案为：—g.

【解析】因为Z—肪=（1,3）—/1（3,4）=（1—343—42）,所以由伍—可得,

33

3（1-34）+4（3-4/1）=0,解得力=丁故答案为：

27-I

Q

【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4—2x5=0,解方程可得：2=|

28

28.—

29

11ULU11irir3

【解析】Q2ei-e2\<y/2,.-.4-4^-e2+1<2,

uuuu

(a-h)2(4+4q4(1+6♦%)

2!

cos0-r2r2---»—IF----irur=0的

a-b(2+2q•02)(1。+6£]•.)5+3qe2

4八242、28

=—(1-------->—(1------Z-1------------^)=——

35+3弓仁35+3x329.

4

29.电或0

【解析】•••AD尸三点共线，，可设用=4而。＞0),

若加且mJ,则B,Q,C三点共线，加[2~mj.即4=9,

2丁+—;-=1/tA2,

-：AP=9,：.AD=3,VAB=4,AC=3,ZBAC=90°,：,BC=5,

设C/)=x,ZCDA=0,则80=5—x,ZBDA=TT-0.

•«34EAr十士由-r汨cAD2+CD2-AC2x(AD2+BD2-AB2(5-可-7

..根据余弦7E理可得cos*2ADCD飞,8S(i=QX2ADBD

6(5-x)

—(f=。，.中rf导5-rV-解7得-歹1R・・。的长度为1三8

当加=0时，PA=|pc,C,。重合，此时。。的长度为0,

3.3-

当机=一时，PA=-PB民。重合，此时24=12,不合题意，舍去.

22f

30.5

【解析】由Q可得〃%=0，又因为。=(1,—1),B=(机+1,2机—4),

所以=1•(机+1)+(—1)・(2m—4)=0,即加=5,故答案为:5.

31.6

【解析】因为为单位向量，所以。=》=1

所以「+©=++2£.5+忖=5/2+2〃％=1，解得：2a,坂二一1

所以'_2公出+忖=G，故答案为：G

32.—

2

【解析】由题意可得：H=lxlxcos45°=也，由向量垂直的充分必要条件可得：

2

（ka—即：kxa—a-b=k-=0>解得：.故答案为：-

\）222

33.6

【解析】如图，过点。作DF//CE,交AB于点F,由BE=2EA,。为3c中点，知

BF=FE=EA,AO=OD.

6AO.EC=3AD.(AC-AE)=-(AB+AC)^AC-A£)

=|(丽+码｛e；珂=|(福・eg启+恁2T福码

=2+-=_-_j__2+3-^2=——

2(33J22

得;而、^而?,即画二码罔，故煞=G

34.8.

【解析】向量。=(—4,3)石=(6,m)，aJL瓦则”•R=0,—4x6+3m=0,=

35.一也

10

—--a•b2x(—8)+2x6>/2

【解析】8s<♦>=]="击RT=-着

36.

3

【解析】因为二二2日一65,无5=0,所以=212-布@石=2,

仔|2=4位『_4辰.5+5|5『=9,所以|G|=3,所以COS<H>=刚

37.-1.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则8（2百,0）,。（逋,*）.

22

因为A£>〃BC,440=30。，所以NCB4=150°,

因为AE=BE，所以NB4E=N4BE=30。，

所以直线BE的斜率为且，其方程为y=*（x-2G）,

直线AE的斜率为-半’其方程为〉=一半

y--T~(X-2y/3'),

由《'l得x=5y=-i，所以E(省i).

所以而•乐=（弓,》・（G,—I）=T.

【解析】由题意：川-血,0）,鸟（在0）

设尸（x,y）,Q（x-y）,因为耶・哥《1,则

22

与?+与=1结合=>4-2/-2+/<1,又ye[—及，及]=>y2e[l,2]

与土+广=1结合，消去x,可得：cos6==二-3+4

e-1,--

42r+2/+23

所以Be^--arccos—，^-

3

39.V2+V3

【解析】设A(xi,yi),B(X2,y2),0A=(x”yi),0B=62,y2),

由xj+y[2=l,X22+y22=l,X]X2+y]y2=g，可得A,B两点在圆X?+y2=l上，

且砺•砺=lxlxcosNAOB二;，即有NAOB=60。，即三角形OAB为等边三角形,

|%+%-1|卜2+%-1|

AB=1,的几何意义为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离di与

d2之和，显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=l平行,

可设AB：x+y+t=0,(t>0),由圆心O到直线AB的距离d=%,

可得211一二=1,解得t=Y5,即有两平行线的距离为上式=史上正，

V22F2

即N+：—1+昆钟的最大值为④+石,故答案为行+6.

V272

40.3

【解析】设A(a,2z)(a>0),则由圆心。为A6中点得等易得

OC:(x-5)(x-a)+y(y-2a)^0,与y=2x联立解得点D的横坐标与=1,所以

0(1,2).所以丽=(5-。,_2。),前=(1一管,2_",

由通.①=0得+(—2〃)(2—〃)=0,Q--2a—3=0,a=3或Q=—1,

因为。>0,所以。=3.

41.-1.

【解析】a=(1,0),5=，/.ma-b=(m,0)-(-l,m)=(帆+1,一相)，

由c，J■(机Q-B)得：a-{ma-b}=0,a-(ma-b)=m-i-l=0,BPm=-l.

42.1

【解析】由题可得2M+B=（4,2）,・.々//（2。+5）,工=（1,4）

.♦.4入一2=0,即九=!，故答案为4

22

113

43.--