函数妙题公开课-

妙题改编原题1：【例12】已知函数是奇函数，并且的图像经过点．（1）求实数的值；（2）求当时，函数的值域．【详解】：（1）法一：因为是奇函数，所以，即整理得，所以或因为所以法二：，此时满足题意，所以（2），令，,在上递减，在上递增所以，的值域为【赏析】：本题考查函数的奇偶性和值域的求法，求解函数的奇偶性问题，可以由奇偶性的定义从恒成立问题的角度去求解，也可以先由必要条件赋值解得答案，再进行对任意性的验证，在第二问求解函数值域时，通过对定义域和单调性的研究，进而得出答案．函数具有奇偶性的本质是恒成立问题，故不具有奇偶性即为存在性问题，准确区分二者的不同，并合理地运用必要条件，可以起到简化运算的作用．核心素养与思想：逻辑推理、数学抽象；化归思想、特殊与一般思想。【改编】：已知函数是奇函数，并且的图像经过点．（1）求实数的值；（2）求当时，恒成立，求m的取值范围．【详解】:（1）原题2【例67】设函数（为自然对数的底数），若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（）.A.B.C.D.【详解】：当时，又因为为单调递增函数.若，则若，则所以.曲线上存在点，使得，等价为：在上存在解.即在上有解.设，，则在上单调递增，所以.故.故选A.【赏析】：本题是函数与方程结合的典型考题，需要同学们充分掌握两者之间的相互转换技巧，再利用三角函数的有界性求得所求函数的定义域。核心素养和思想：数学抽象、逻辑推理；函数与方程思想。【改编】：设函数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（）.A.B.C.D.【详解】：当时，为单调递增函数..曲线上存在点，使得，等价为：在上存在解.即在上有解.设，则在上单调递增，所以.，故选A原题3【例68】已知，，求函数的值域．【详解】：法一：．令，则，构造函数：，则是上的单调增函数﹐则，因此．法二：（为第四象限角），则，可看作图中直线AQ到AP的斜率的一半的变化范围，即以及代入可得所求函数的值域为.【赏析】：己知函数并不特殊，直接进行处理难度较大，导数处理也效果不佳，关注式子结构特点，通过变换和换元，法一通过对分式换元构造单调函数可将题目简化；法二通过三角换元构造一次分式型函数，转化为几何意义，直观寻得最值；两种解法的突破点都在于，这是有理化后研究单调性亦或者三角换元后的斜率操作的关键所在。核心素养与思想：逻辑推理、数学抽象；数形结合思想，整体换元思想。【改编】：若，对，求【详解】：原题4【例69】高斯函数（取整函数）是指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]，已知，且，则______．【详解】：因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，所以，即：，所以或或．经检验：是原方程的解．【赏析】：因任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即，故。求解与高斯函数有关的题虽然不会涉及到很多其他基础知识，但题目比较灵活，而且有较强的技巧性．解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值法等等．因此掌握高斯函数的定义、性质、应用及有关技巧，对同学来说是大有裨益的．核心素养与思想：逻辑推理、数学运算；化归思想、分类思想。【改编】：高斯函数（取整函数）是指不超过实数x的最大整数，称为x的整数部分，记作[x]，已知，，且，则______．【详解】：因为，所以，又因为，所以，，所以，又因为，所以，即：，所以或或．经检验：是原方程的解．原题5【例70】已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：①若，则；②若，则．其中正确的是（）A．①与②均正确 B．①正确，②不正确C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确【详解】：令函数，可得函数为单调递增函数，又由，即，所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，①中，因为，且，则，不妨设，则点，此时直线的方程为，可得，则，可得，又由，所以，即，即，所以①正确；②中，因为，且，则，不妨设，则点，此时直线的方程为，可得，则，可得，又由，所以，即，即，所以②正确.故选：A.【赏析】:本题关键是构造函数，利用函数的单调性和奇偶性，结合图像进行求解。构造很巧妙、构造无极限，同学们要在这方面多加练习。构造的前提是要充分的关注函数式的结构特点，充分利用函数的性质进行整体构造，构造好后还要有可行的优化的解法。核心素养与思想：逻辑推理、数学抽象；整体构造思想、数形结合思想。【改编】：若定义在R上的函数满足（）ABCD【详解】：故选：A.原题【例71】已知是定义在R上且以4为周期的奇函数，当时，，若函数在区间有5个零点，则实数的取值范围是________。【详解】：首先由是R上的奇函数得，即其中一个零点是0；再由周期为4的奇函数知可得，即其中有两个零点和2；由奇函数图象关于原点对称知剩下的两个零点必在，各有一个零点。转化成在必有一根即必有一根，法一：观察到二次函数的对称轴为则或解得法二：分离参数，只需函数与图象有一个交点，所以。【赏析】本题是一个涉及周期性、奇偶性、函数零点的复合函数中求参数范围问题，由奇函数和周期性得到3个零点，将问题转化成在必有一根，需要注意的是复合函数一定要在定义域内求解。核心素养与思想：直观想象、数据分析；数形结合思想、分类讨论思想。改编：已知定义在R的奇函数满足：，当时，，若函数在区间有7个零点，则实数的取值范围是