用欧拉方法和改进的欧拉方法解决初值问题

7.用改进欧拉法解初值问题紗 [¥=10x(1—y)0<x<1卜(0)=0取步长后02保留五位有效数字.并口精确解尹=1-「卅项比较.解方法1*由题设，取步长方=0.2*此时—y)欧拉预报一校正公式为：预报值yk+1=yk+hf(xk?yj校止值 儿十产儿十儿)+/(%，儿J]建立木题迭代公式为：=儿+=儿+2耳(1-几)M+i=%+(1—叫)儿+孔+i_ (£—012,3,4,5)(1一儿+JX0.2)=l-e_5x(K32=0.1813当摘=0.2,^i=0.2,需尸0.4时，有y2=>'i+2简(1-卩)=0.52H=巧+(1—旺)戸+x2(1-J=0.2+0.8x0.2+0.4x0,48=0.552y(0.4)=l-e_Sxtu2=0.5507^x3=0.4?>2=0.552,x3=0.6时，有尹3=歹2+2x2(1-^2)=0.552+2x0.4(1-0.552)=0.9104旳=总+(1—甩)九+兀(1—人)=°昇+°一°-4)*0.552+0.6x(1-0,9104)=0.7850y(0.6)=l-e~5xO2(,=0.834'当羽=06旳=0.7笳0庐4=0•呂时，有fy4=y3+2x^(1-y3)=0.785+2x0.6(1-0.785)=1.043卜4=码+U—叫)儿十兀4(1一歹4)=0出十(1—+0.8x(1-1.043)=0.8796y(0.8)=l-e~^2=0.95S（5）当X4=0.&卩4=0.8796/5=1.0时，有=儿+2x4（1一儿）=0.8796+2x0.8（1一0.8796）=1.0722丁1 -y5=x4+（x4一1）尹4+兀5尹5=0・8+（1-0.8）x0.8796+1.0x（1-1.0722）=0.9037^（1.0）=l-e_5xl°2=0.9933方法2.平均形式的公式：yP=yk+好（丑,儿）<、儿=儿+肘（心+1,儿）1yk+\= p+儿）（上=0,1,2,...〃_1）建立本题迭代公式： 彰尹厂儿+2耳（1一儿）*yc=yk+2xk+i（l-y）yk\i=~^yp+儿）（氐=o,i,2,3,4）（1）当XQ=0r丁0=0,丸1=0.2时，有儿二儿+2%（1-九）=0yc二尹°+2西（1—尹戸）=0+2X0.2（1-0）=0.4北=£。戸+儿）=2（°+°4）=0卫22⑵ 当尤1=0.2,yi=0.2,兀2=0.4时，有yp=y［十2兀］（1一”）=0.2+2x0.2x0.8=0.52（3）当尢2=0*4,旳=0*552m=0.6时，有?4y=歹？十2卷(1一尹J=6552+2x0.4x0.448=0.9014©yc= +2x3(1-^^)=0.552+2x0.6x(1-0.9104)=0.6595(4) 当为=。6旳=0*784冲=0.8时，有(yp=儿+2巧(1—儿)=05850+2x0.6x(1-0.785)=L043[yc二y3^-2x斗(1—y”)=0*7X5+2x0.8x(1—1.043)=0.7162(5)当X4=0.4=0居796站=IX)时，有ryp=y4+2x4(l-y4)=0.3796+2x0.8x(1-0.8796)=1.0722yc=尹4+2吃(1—尹』=0.8796+2xkOx(1-1,0722)=0.7352訴 F两种方法的结果基本一致.例题：用EuIet公式和改进的EuleT公式分别‘求下列初值问题的数值解（取步长h=OJ计算yT=-2xy2....Iy(0)=l .解：由欧拉公式进寸*ynH=y口十hf(xn,yn)=yn-2hxnyn2计算如.ddciin.comyL=yQ-2hxoy『=1-2-0,1•0■I2=1y2=y£™2h星y/=1-2•0,1•0.1•l2=0,98y产旳一2hx2y孑=0.98-2・0.1・0.2・0・982=0.9416用改进欧拉法的预•校公式计算如下：

儿~2