定积分练习题

1．a＝eq\i\in(0,2,)xdx，b＝eq\i\in(0,2,)exdx，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx，那么a、b、c的大小关系是()A．a<c<bB．a<b<cC．c<b<aD．c<a<b2．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为()A.eq\f(1,12)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(7,12)3.设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如下图，当S1＝S2时，点P的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(16,9)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(16,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(15,7)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(13,7)))4．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为()A．4B.eq\f(4,3)C.eq\f(18,5)D．65．eq\i\in(,1,)－1(sinx＋1)dx的值为()A．0B．2C．2＋2cos1D．2－2cos16．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是()A．2πB．3πC.eq\f(3π,2)D．π7．函数F(x)＝eq\i\in(0,x,)t(t－4)dt在[－1,5]上()A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－eq\f(32,3)C．有最小值－eq\f(32,3)，无最大值D．既无最大值也无最小值8．等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝eq\i\in(1,x,)eq\f(1,t)dt，假设f(x)<a3，那么x的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)，＋∞))B．(0，e21)C．(e－11，e)D．(0，e11)9.如下图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如下图的阴影局部，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是()A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(3,π)D.eq\f(π,4)10.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2－2≤x<0,2cosx0≤x≤\f(π,2)))的图象与x轴所围成的图形面积S为()A.eq\f(3,2)B．1C．4D.eq\f(1,2)11.设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－eq\f(x,3)，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，那么eq\i\in(m,n,)g(x)dx的值是()A．－eq\f(5,2)B．－eq\f(4,3)C．－eq\f(5,4)D．－eq\f(7,6)12．正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，那么质点落在区域M内的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,5)二、填空题13．函数f(x)＝3x2＋2x＋1，假设eq\i\in(,1,)－1f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝________.14．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．16．抛物线y2＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为eq\f(4,3)，假设直线l与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，那么l的方程为______．17函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如下图，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影局部)的面积为eq\f(1,12)，那么a的值为________．18．如下图，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影局部的面积S1＋S2最小．一、选择题1．设a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x－eq\f(1,3)dx，b＝1－eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,2)dx，c＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx，那么a，b，c的大小关系为()A．a>b>cB．b>a>cC．a>c>bD．b>c>a解析：由题意可得a＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x－eq\f(1,3)dx＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(3,2)xeq\f(2,3)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(3,2)；b＝1－eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))xeq\f(1,2)dx＝1－eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－0))＝eq\f(1,3)；c＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x3dx＝eq\f(x4,4)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(1,4)，综上a>b>c，应选A.答案：A2．函数y＝(cost＋t2＋2)dt(x>0)()A．是奇函数 B．是偶函数C．非奇非偶函数 D．以上都不正确解析：y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sint＋\f(t3,3)＋2t))＝2sinx＋eq\f(2x3,3)＋4x，为奇函数．答案：A3．假设函数f(x)＝，那么f(2012)＝()A．1 B．2C.eq\f(4,3)D.eq\f(5,3)解析：依题意得，当x≤0时，f(x)＝2x＋eq\f(1,3)sin3t＝2x＋eq\f(1,3)，故f(2012)＝f(4×503)＝f(0)＝20＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，选C.答案：C4．由曲线y＝eq\r(x)与直线x＝1，x＝4及x轴所围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(14,3)B.eq\f(5,3)C.eq\f(10,3)D.eq\f(16,3)解析：所求的封闭图形的面积为S＝eq\a\vs4\al(\i\in(1,4,))eq\r(x)dx＝eq\f(2,3)xeq\f(3,2)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(4,1)))＝eq\f(14,3).答案：A5.设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈1，2]，))那么eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D．不存在解析：eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))f(x)dx＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))x2dx＋eq\a\vs4\al(\i\in(1,2,))(2－x)dx＝eq\f(1,3)x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,2)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,1))).＝eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－2－2＋\f(1,2)))＝eq\f(5,6).答案：C7．曲线y＝eq\f(1,x)＋2x＋2e2x，直线x＝1，x＝e和x轴所围成的区域的面积是________．解析：由题意得，所求面积为eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋2x＋2e2x))dx＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))eq\f(1,x)dx＋eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))2xdx＋eq\a\vs4\al(∫\o\al(e,1))2e2xdx＝lnxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(e,1)))＋x2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(e,1)))＋e2xeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(e,1)))＝(1－0)＋(e2－1)＋(e2e－e2)＝e2e.答案：e2e8.图中阴影局部的面积等于________．解析：所求面积为eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))3x2dx＝x3eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝1.答案：19.如图，矩形ABCD内的阴影局部是由曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，那么该点落在阴影局部的概率为________．解析：因为曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x的交点为(0,0)和(2,4)，曲线f(x)＝2x2－2x与x轴的交点为(0,0)和(1,0)，其顶点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，所以矩形ABCD的面积为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,2)))×2＝9，阴影局部的面积为eq\a\vs4\al(\i\in(0,2,))(2x－2x2＋2x)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(2,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(2,0)))＝eq\f(8,3)，所以该点落在阴影局部的概率为eq\f(\f(8,3),9)＝eq\f(8,27).答案：eq\f(8,27)10．求曲线y＝eq\r(x)，y＝2－x，y＝－eq\f(1,3)x所围成图形的面积．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝2－x，))得交点A(1,1)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2－x，,y＝－\f(1,3)x，))得交点B(3，－1)．故所求面积S＝eq\i\in(0,1,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,3)x))dx＋eq\i\in(1,3,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－x＋\f(1,3)x))dx＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,3)x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(3,1))＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(4,3)＝eq\f(13,6).11.(2023年大庆模拟)如图求由两条曲线y＝－x2，y＝－eq\f(1,4)x2及直线y＝－1所围成的图形的面积．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,y＝－1，))得交点A(－1，－1)，B(1，－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)x2，,y＝－1，))得交点C(－2，－1)，D(2，－1)．∴所求面积S＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(∫\o\al(1,0)－\f(1,4)x2＋x2dx＋\i\in(1,2,)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)x2＋1))dx))＝eq\f(4,3).12．(能力提升)如下图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两局部，求k的值．解析：抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝eq\a\vs4\al(\i\in(0,1,))(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,2)－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(1,6).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－x2，,y＝kx，))由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝0，x4＝1－k，所以，eq\f(S,2)＝eq\a\vs4\al(∫\o\al(1－k,0))(x－x2－kx)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－k,2)x2－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1－k,0)))＝eq\f(1,6)(1－k)3.又知S＝eq\f(1,6)，所以(1－k)3＝eq\f(1,2)，于是k＝1－eq\r(3,\f(1,2))＝1－eq\f(\r(3,4),2).2．由曲线y＝3－x2与直线2x＋y＝0所围成的图形的面积为________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝3－x2,2x＋y＝0))，消去y得：x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.所以曲线y＝3－x2与直线2x＋y＝0的交点为A(3，－6)，B(－1,2)．故围成的图形即为图中的阴影局部，其面积为[(3－x2)－(－2x)]dx＝(－x2＋2x＋3)dx＝(－eq\f(1,3)x3＋x2＋3x)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(3,－1)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)×33＋32＋3×3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)×－13＋－12＋3×－1))＝9＋eq\f(5,3)＝eq\f(32,3).答案：eq\f(32,3)高二数学微积分练习题一、选择题：1．自由落体运动的速率，那么落体运动从到所走的路程为〔〕 A．B． C． D．[解析]要学生理解微积分在物理学中的应用，可用来求路程、位移、功2、如图，阴影局部的面积是 A．B． C．D．[解析]让学生理解利用微积分求曲边形的面积3、假设，且a＞1，那么a的值为〔〕 A．6 B。4 C。3 D。[解析]4、用S表示图中阴影局部的面积，那么S的值是()A．eq\i\in(a,c,)f(x)dxB．|eq\i\in(a,c,)f(x)dx|C．eq\i\in(a,b,)f(x)dx＋eq\i\in(b,c,)f(x)dxD．eq\i\in(b,c,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)f(x)dx5、f(x)为偶函数且eq\i\in(0,6,)f(x)dx＝8，那么eq\i\in(-6,6,)f(x)dx等于()A．0B．4C．6、函数y＝eq\i\in(-x,x,)(cost＋t2＋2)dt(x>0)()A．是奇函数B．是偶函数C．非奇非偶函数D．以上都不正确7、函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1(－1≤x<0),cosx(0≤x≤\f(π,2))))的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.eq\f(3,2)B．1C．2D.eq\f(1,2)8、eq\i\in(0,3,)|x2－4|dx＝()A.eq\f(21,3)B.eq\f(22,3)C.eq\f(23,3)D.eq\f(25,3)二、填空题：9．曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为．10．由及轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为．11、假设等比数列{an}的首项为eq\f(2,3)，且a4＝eq\i\in(1,4,)(1＋2x)dx，那么公比等于____．12、.函数f(x)＝3x2＋2x＋1，假设eq\i\in(-1,1,)f(x)dx＝2f(a)成立，那么a＝____