费马点最值问题

费马点破解策略费马点就是指平面内到三角形三个顶点距离之与最小得点,这个最小得距离叫做费马距离.

若三角形得内角均小于１20°，那么三角形得费马点与各顶点得连线三等分费马点所在得周角;若三角形内有一个内角大于等于１20°，则此钝角得顶点就就是到三个顶点距离之与最小得点。若三角形有一个内角大于等于1２0°，则此钝角得顶点即为该三角形得费马点

如图在△ＡBC中,∠BAC≥120°,求证：点A为△ＡBC得费马点证明：如图,在△ＡBC内有一点P延长BＡ至C，使得AC＝AC,作∠CＡＰ＝∠CＡP，并且使得AP=AP,连结PP则△ＡPC≌△APC,PC＝PＣ因为∠ＢＡC≥1２0° 所以∠PＡＰ＝∠ＣAＣ≤６0所以在等腰△PＡＰ中，AP≥PP所以PA＋PB+PC≥PP＋PB＋ＰＣ>ＢC=AB＋ＡＣ所以点A为△ABＣ得费马点若三角形得内角均小于120°,则以三角形得任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内得交点即为该三角形得费马点。如图，在△ABＣ中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形得外接圆在△ABC内得交点为O，求证：点O为△AＢC得费马点证明:在△ABC内部任意取一点O，;连接OA、ＯB、ＯC将△ＡOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′Ｄ连接OO′则O′Ｄ＝OC所以△ＡOO′为等边三角形,ＯＯ′＝ＡO所以OA＋OＣ＋OB=OＯ′＋OB+O′D则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时ＡＢAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形得外接圆在△AＢＣ内得交点即为点O如图，在△ABC中,若∠BAＣ、∠ABC、∠ＡCB均小于１20°,O为费马点,则有∠ＡＯB＝∠BＯC＝∠ＣOＡ=１２０°,所以三角形得费马点也叫三角形得等角中心例1如图,在平面直角坐标系中,点A得坐标为（-6,0），点B得坐标为(6,0),点C得坐标为（６,),延长AＣ至点D使得ＣD=AC,过点ＤＥ作ＤE／／ＡB,交BC得延长线于点E，设G为y轴上得一点，点P从直线ｙ=x+与y轴得交点M出发,先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点Ｐ在ｙ轴上运动得速度就是它在直线GA上运动速度得２倍，试确定点G得位置,使点P按照上述要求到达A所用得时间最短解:∵t=∴当2ＧA＋GM最小时，时间最短如图,假设在OＭ上存在一点G，则BG=AG∴MＧ+2AG＝MG＋AG＋BG把△MGB绕点B顺时针旋转60°，得到△M′G′B，连结GG′,MＭ′∴△ＧG′B、△MM′Ｂ都为等边三角形则ＧG′=Ｇ′B＝GＢ又∵M′G′＝MG∴MG+AG+BG＝M′Ｇ′＋GG′＋AＧ∵点A、M′为定点∴AM′与OM得交点为Ｇ,此时MＧ＋AG+BG最小∴点G得坐标为(0,）例2A、B、Ｃ、D四个城市恰好为一个正方形得四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通,并就是整个公路系统得总长度为最小,则应当如何修建？解:如图，将△AＢP绕点N逆时针旋转6０°，得到△EBＭ;同样,将△DCQ绕点Ｃ顺时针旋转60°,得到△FCN,连结AE、ＤF,则△AＢＥ、△ＤＣF均为等边三角形，连结ＰM、QN，则△BPＭ，△ＣQＮ均为等边三角形所以当点E，M,Ｐ,Q，N,F共线时,整个公路系统得总长取到最小值,为线段EF得长，如图，此时点P，Q在EF上，1＝2=3＝4=３０．进阶训练1。如图,在AＢC中,AＢC=6０，AＢ＝５,BＣ=３,P就是ABC内一点,求PA+ＰB+PC得最小值，并确定当PＡ＋PB+PC取得最小值时，APC得度数.答案:PA＋PB＋PC得最小值为7，此时APC=120.【提示】如图，将ＡPB绕点B逆时针旋转60，得到Ａ'BP’,连结PP’,A'Ｃ。过点A’作A’EBC，交ＣB得延长线于点E.解ＲtA'EＣ求Ａ'C得长，所得即为PA+PＢ+ＰC得最小值.2。如图，四边形ABCD就是正方形,ABＥ就是等边三角形,M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN,连结AM,ＣＭ,EN.(1）当Ｍ在何处时，ＡM＋CＭ得值最小？（2)当Ｍ在何处时，AM+BM+CM得值最小？请说明理由;(3）当AM＋BＭ＋CM得最小值为时,求正方形得边长．答案:（1)当点Ｍ落在ＢD得中点时，ＡM+CM得值最小,最小值为AＣ得