立体几何中的推理证明问题(原卷版)

专题07立体几何中的推理证明问题——立体几何是高考考查逻辑推理的重要知识点数学抽象要求能够掌握常用逻辑推理方法的规则，理解其中所蕴含的思想.对于新的数学问题，能够提出不同的假设前提，推断结论，形成数学命题.对于较复杂的数学问题，通过构建过渡性命题，探索论证的途径，解决问题，并会用严谨的数学语言表达论证过程.能够理解建构数学体系的公理化思想.立体几何是高中数学考查逻辑推理的重要载体,高考通常通过立体几何中的线面位置关系的证明来考查逻辑推理.1．【2019全国Ⅰ理18】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．2.【2019全国II文17】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱锥的体积．一、空间中的平行问题(1)证明线线平行，可以运用平行公理、中位线定理，也可以证明包含这两边的四边形是平行四边形，或者运用线面平行的性质定理来证明；将展开图还原成正方体，借助正方体模型，有利于我们看清问题．(2)要证明直线和平面平行，通常有两种方法：(1)利用线面平行的判定定理，只要在平面内找到一条直线与已知平面外直线平行即可；(2)由面面平行的性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线和另外一个平面平行．第(1)种方法是常用方法，一般需要连接特殊点、画辅助线，再证明线线平行，从而得到线面平行．第(2)种方法常用于非特殊位置的情形．(3)判定面面平行的主要方法：①利用面面平行的判定定理；②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．(4)面面平行的性质定理：①两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面；②若一平面与两平行平面相交，则交线平行．(5)利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．【典例1】【2020届河南省八市重点高中联盟高三9月“领军考试”】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形,平面，，为的中点.（1）求证，平面；（2）若，求三棱锥的体积.【典例2】【江苏省扬州中学2019届高三4月考试】已知三棱锥中，，.若平面分别与棱相交于点且平面.求证:（1）；【典例3】【2020届云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】如图甲，在直角梯形中，，，，过点作，垂足为，现将沿折叠，使得.取的中点，连接、、，如图乙.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.【典例4】【2020届安徽省江淮十校高三上学期第一次联考】如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）证明：平面平面；（2）若点为中点，求二面角的正弦值.1.【2020届福建省厦门双十中学高三第一次月考】如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．（1）证明PA//平面BDE；（2）求二面角B—DE—C的平面角的余弦值；（2）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．2.【2020届年广东省珠海市高三9月数学理】如图，在直角梯形中，,点是中点，且,现将三角形沿折起，使点到达点的位置，且与平面所成的角为.(1)求证:平面平面;(2)求二面角的余弦值.3．【甘肃省张掖市2019届高三第三次诊断】如图，在三棱锥中，，，，，.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.4.【河北省衡水市第十三中学2019届高三质检】已知在图1所示的梯形中，，于点，且.将梯形沿对折，使平面平面，如图2所示，连接，取的中点.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得直线平面？若存在，试确定点的位置，并给予证明；若不存在，请说明理由；（3）设，求三棱锥的体积.5．【江西省南昌市2018届上学期高三摸底】如图，在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥P-ABM的体积．6.【湖南省衡阳市第八中学2020届高三上学期月考】如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且.（1）证明：平面；（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积.7．【河北省邢台市2019-2020学年高三上学期第一次摸底】如图，在三棱柱中，侧面为菱形，为的中点，为等腰直角