将军饮马与二次函数题型

将军饮马与二次函数结合问题一．解答题〔共4小题〕1．〔2023•宝应县校级一模〕抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A〔1，0〕，B〔﹣3，0〕两点，〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕设〔1〕中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？假设存在，求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由．2．〔2023•荔湾区一模〕如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕两点．〔1〕求b、c的值；〔2〕P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标；〔3〕设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？假设存在，求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由．3．〔2023•昌平区模拟〕如图，抛物线经过点B〔﹣2，3〕，原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C〔2，0〕．〔1〕求此抛物线的函数关系式；〔2〕连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由．4．〔2023秋•怀集县期末〕如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A〔1，0〕、B〔4，0〕、C〔0，3〕三点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？假设存在，求出四边形PAOC周长的最小值；假设不存在，请说明理由．2023年09月14日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题〔共4小题〕1．〔2023•宝应县校级一模〕抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A〔1，0〕，B〔﹣3，0〕两点，〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕设〔1〕中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？假设存在，求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；〔2〕连接BC，那么BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．【解答】解〔1〕把A〔1，0〕、B〔﹣3，0〕代入抛物线解析式可得：，解得：故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．〔2〕存在．由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，那么BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，设直线BC解析式为y=kx+b，把B〔﹣3，0〕、C〔0，3〕代入得：，解得：，那么直线BC的解析式为y=x+3，令QX=﹣1得Qy=2，故点Q的坐标为：〔﹣1，2〕．【点评】此题考查了二次函数的综合运用，涉及了顶点坐标的求解、三角形的面积及轴对称求最短路径的知识，解答此题的关键是熟练各个知识点，注意培养自己解综合题的能力．2．〔2023•荔湾区一模〕如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕两点．〔1〕求b、c的值；〔2〕P为抛物线上的点，且满足S△PAB=8，求P点的坐标；〔3〕设抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？假设存在，求出Q点的坐标；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，求得b，c值；〔2〕设点P的坐标为〔x，y〕，求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；〔3〕由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，∴，解之，得，∴所求抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3；〔2〕设点P的坐标为〔x，y〕，由题意，得S△ABC=×4×|y|=8，∴|y|=4，∴y=±4，当y=4时，x2﹣2x﹣3=4，∴x1=1+，x2=1﹣，当y=﹣4时，x2﹣2x﹣3=﹣4，∴x=1，∴当P点的坐标分别为、、〔1，﹣4〕时，S△PAB=8；〔3〕在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上存在点Q，使得△QAC的周长最小．∵AC长为定值，∴要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．∵点A关于对称轴x=1的对称点是B〔3，0〕，∴由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，抛物线y=x2﹣2x﹣3与y轴交点C的坐标为〔0，﹣3〕，设直线BC的解析式为y=kx﹣3．∵直线BC过点B〔3，0〕，∴3k﹣3=0，∴k=1．∴直线BC的解析式为y=x﹣3，∴当x=1时，y=﹣2．∴点Q的坐标为〔1，﹣2〕．【点评】此题考查了二次函数的综合运用，〔1〕抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔﹣1，0〕，B〔3，0〕，很容易得到b，c值；〔2〕设点P的坐标为〔x，y〕，求得y值，分别代入从而求得点P的坐标；〔3〕由AC长为定值，要使△QAC的周长最小，只需QA+QC最小．又能求得由几何知识可知，Q是直线BC与对称轴x=1的交点，再求得BC的直线，从而求得点Q的坐标．此题有一定难度，需要考虑仔细，否那么漏解．3．〔2023•昌平区模拟〕如图，抛物线经过点B〔﹣2，3〕，原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C〔2，0〕．〔1〕求此抛物线的函数关系式；〔2〕连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式．〔2〕可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标．〔3〕此题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置．可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标．【解答】解：〔1〕由题意知：A〔4，0〕；设抛物线的解析式为y=ax〔x﹣4〕，抛物线过B〔﹣2，3〕；那么有：3=ax〔﹣2〕×〔﹣2﹣4〕，a=∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x；〔2〕过点B作BM⊥MC，∵B点坐标为：〔﹣2，3〕，C点坐标为：〔2，0〕，∴MC=4，BM=3，BC==5，∴|CE|=5，∴E1〔2，5〕，E2〔2，﹣5〕；〔3〕存在．①当E1〔2，5〕时，G1〔0，4〕，设点B关于直线x=2的对称点为D，其坐标为〔6，3〕直线DG1的解析式为：y=﹣x+4，∴P1〔2，〕②当E2〔2，﹣5〕时，G2〔0，﹣1〕，直线DG2的解析式为：y=x﹣1∴P2〔2，〕综合①、②存在这样的点P，使得△PBG的周长最小，且点P的坐标为〔2，〕或〔2，〕．【点评】此题考查了二次函数解析式确实定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，〔3〕中能正确找出P点位置是解题的关键．4．〔2023秋•怀集县期末〕如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A〔1，0〕、B〔4，0〕、C〔0，3〕三点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？假设存在，求出四边形PAOC周长的最小值；假设不存在，请说明理由．【分析】〔1〕设交点式为y=a〔x﹣1〕〔x﹣4〕，然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；〔2〕先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可．【解答】解：〔1〕设抛物线解析式为y=a〔x﹣1〕〔x﹣4〕，把C〔0，3〕代入得a•〔﹣1〕•〔﹣4〕=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=〔x﹣1〕〔x﹣4〕，即y=x2﹣x+3；〔2〕存在．因为A〔1，0〕、B〔4，0〕，所以抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，那么PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，所以此时四边形PAOC的周长最小，因为BC==5，所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了最短路径问题．将军饮马模型及其变形一．解答题〔共2小题〕1．〔2023•上城区一模〕设抛物线y=〔x+1〕〔x﹣2〕与x轴交于A、C两点〔点A在点C的左边〕，与y轴交于点B．〔1〕求A、B、C三点的坐标；〔2〕点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标；〔3〕假设点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值．2．〔2023•贵阳〕如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．〔1〕求MP的值；〔2〕在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？〔3〕假设点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．〔计算结果保存根号〕2023年05月18日账号17的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题〔共2小题〕1．〔2023•上城区一模〕设抛物线y=〔x+1〕〔x﹣2〕与x轴交于A、C两点〔点A在点C的左边〕，与y轴交于点B．〔1〕求A、B、C三点的坐标；〔2〕点D在坐标平面内，△ABD是顶角为120°的等腰三角形，求点D的坐标；〔3〕假设点P、Q位于抛物线的对称轴上，且PQ=，求四边形ABQP周长的最小值．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕令x=0，求出与y轴的坐标；令y=0，求出与x轴的坐标；〔2〕分三种情况讨论：①当AB为底时，假设点D在AB上方；假设点D在AB下方；②当AB为腰时，A为顶点时，③当AB为腰时，A为顶点时；仔细解答即可．〔3〕当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，根据轴对称最短路径问题解答．【解答】解：〔1〕当x=0时，y=﹣；当y=0时，x=﹣1或x=2；那么A〔﹣1，0〕，B〔0，﹣〕，C〔2，0〕；〔2〕如图，Rt△ABO中，OA=1，OB=，∴AB=2，∠ABO=30°，∠BAO=60°，∴△ABD是顶角为120°的等腰三角形．①当AB为底时，假设点D在AB上方，由∠ABO=∠BAD=30°，AB=2，得D1〔0，﹣〕，假设点D在AB下方，由∠BAD=∠DBA=30°，AB=2，得D2〔﹣1，﹣〕，②当AB为腰时，A为顶点时，∵∠DAB=120°，∠OAB=60°，AD=AB=2，∴点D在y轴或x轴上，假设D在y轴上，得D3〔0，〕，假设D在x轴上，得D4〔﹣3，0〕；③当AB为腰时，A为顶点时，假设点D在第三象限，∵∠DBO=150°，BD=2，得D5〔﹣1，﹣2〕；假设点D在第四象限时，∵DB∥x轴，BD=2，得D6〔2，﹣〕，∴符合要求的点D的坐标为〔0，﹣〕，〔﹣1，﹣〕，〔0，〕，〔﹣3，0〕，〔﹣1，﹣2〕，〔2，﹣〕；〔3〕当AP+BQ最小时，四边形ABQP的周长最小，把点B向上平移个单位后得到B1〔0，﹣〕，∵BB1∥PQ，且BB1=PQ，∴四边形BB1PQ是平行四边形，∴BQ=B1P，∴AP+BQ=AP+B1P，要在直线x=上找一点P，使得AP+B1P最小，作点B1关于直线x=的对称点，得B2〔1，﹣〕，那么AB2就是AP+BQ的最小值，AB2==，AB=2，PQ=，∴四边形ABQP的周长最小值是+2．【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点、与y轴的交点、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，存在性问题的出现使得难度增大．2．〔2023•贵阳〕如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．〔1〕求MP的值；〔2〕在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？〔3〕假设点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．〔计算结果保存根号〕【考点】几何变换综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】〔1〕根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可计算出MP=5；〔2〕如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，那么AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，那么可利用相似比计算出AF；〔3〕如图2，由〔2〕知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN中，利用勾股定理计算出