3.2柯西积分定理

第二节柯西积分定理一、单连通区域的柯西积分定理二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式三、多连通区域上的柯西积分定理一、单连通区域的柯西积分定理1.

问题的提出此时积分与路线无关.观察上节例2,观察上节例1,由于不满足柯西－黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.2.

单连通区域的柯西积分定理定理3.2.1(Cauchy积分定理)证2.

单连通区域的柯西积分定理定理3.2.1(Cauchy积分定理)证注：定理3.2.2(Cauchy－Goursat积分定理)

Goursat例1解根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理,有例2解根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理,有例2解根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理,有例3解根据柯西－古尔萨(Cauchy-Goursat)定理得及上节例2知,定理3.2.2'定理3.2.3(推广的Cauchy积分定理)定理3.2.4证定理3.2.4证定理3.2.5二、复函数的牛顿－莱布尼兹公式1.

原函数定义3.2.1注：定理3.2.6证定理3.2.6证推论3.2.12.

牛顿－莱布尼兹公式定理3.2.7证

NewdonLeibniz2.

牛顿－莱布尼兹公式定理3.2.7证

NewdonLeibniz另证例4解由牛顿-莱布尼兹公式知,例5解(使用了微积分学中的“凑微分”法)例6解此方法使用了微积分中“分部积分法”例6解此方法使用了微积分中“分部积分法”例6另解由牛顿-莱布尼兹公式知,三、多连通区域上的柯西积分定理1.

问题的提出根据本章第一节例2可知,由此希望将柯西积分定理推广到多连通域中.2.

多连通区域上的柯西积分定理多连通区域D单连通区域D多连通区域D单连通区域D定理3.2.8(多连通区域上的柯西积分定理)证例7解根据多连通区域上的柯西积分定理得例8证明根据多连通区域上的柯西积分定理得例8证明根据多连通区域上的柯西积分定理得例9解依题意知,根据多连通区域上的柯西积分定理得例10解解EdouardGoursat

EdouardGoursat

1858-1936EdouardGoursatwasaFrenchmathematicianwhoisbestknownforhisversionoftheCauchy-Goursattheoremstatingthattheintegralofafunctionroundasimpleclosedcontouriszeroifthefunctionisanalyticinsidethecontour.

SirIsaacNewtonSirIsaacNewton1643-1727IsaacNewtonwasthegreatestEnglishmathematicianofhisgeneration.Helaidthefoundationfordifferentialandintegralcalculus.Hisworkonopticsandgravitationmakehimoneofthegreatestscientiststheworldhasknown.

GottfriedWilhelmvonLeibnizGottfriedWilhelmvonLeibniz1646-1716GottfriedLeibnizwasaGermanmathematicianwhodevelopedthepresentdaynotationforthedifferentialandintegralcalculusthoughheneverthoughtofthederivativeasalimit.Hisphilosophyisalsoimportantandheinventedanearlycalculatingmachine.

GottfriedWilhelmvonLeibnizGottfriedWilhelmvonLeibniz1646-1716GottfriedLeibnizwasaGermanmathematicianwhodevelopedthepresentdaynotationforthedifferentialandintegralcalculusthoughhenever