高考数学 4.5 数系的扩充与复数的引入练习试题

数系的扩充与复数的引入(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·安顺模拟)在复平面内,复数21+iA.2 B.1 C.2 D.22【解析】选A.21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i,则复数21+i2.(2014·浙江高考)已知i是虚数单位,a,b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当a=b=1时,(a+bi)2=(1+i)2=2i,反过来(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则a2-b2=0,2ab=2,解得a=1,b=1或a=-1,3.在复平面内,复数i(2-i)对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选A.i(2-i)=2i-i2=1+2i,所以对应的点(1,2)位于第一象限.4.(2015·兰州模拟)已知复数z=(a2-1)+(a-1)i(a∈R)是纯虚数,则a=()A.0 B.1 C.-1 D.±1【解析】选C.由题意得a25.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4 B.-45 C.4 D.【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),则(3-4i)z=(3-4i)·(a+bi)=5,化简得3a+4b+(3b-4a)i=5,所以3a+4b=5,3b-4a=0,解得a=35,【一题多解】选D.由已知(3-4i)z=|4+3i|=42故z=53-4i=5(3+4i)25=3故z的虚部为456.(2015·泉州模拟)复数z=m-2i1+2i(mA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解题提示】先把z化成a+bi(a,b∈R)的形式,再进行判断.【解析】选A.z=m-2i1+2i=(m-2i)(1-2i)5=m-45+-(【一题多解】本题还可用以下方法求解.z=m-2i1+2i=m-45+-(2m+2)5【方法技巧】复数问题的解题技巧(1)根据复数的代数形式,通过其实部和虚部可判断一个复数是实数,还是虚数.(2)复数z=a+bi,a∈R,b∈R与复平面上的点Z(a,b)是一一对应的,通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置.7.计算12A.18-338i B.1C.12-32i D.12【解析】选D.原式=1=1=-12-=12+3【一题多解】本题还可有如下解法:原式=1=14-34i二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2014·湖南高考)复数3+i【解析】因为3+ii2答案:-39.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,则z2=.【解析】因为(z1-2)(1+i)=1-i,所以z1=1-i1+i+2=设z2=a+2i(a∈R),则z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i,又z1·z2是实数,所以a=4,从而z2=4+2i.答案:4+2i10.若定义abc则2i【解题提示】充分利用定义代入求解即可.【解析】由已知定义可知2i3i=-2(3-2i)+9=3+4i.答案:3+4i(20分钟40分)1.(5分)若复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则实数a的值为()A.1 B.-3 C.1或-3 D.3【解析】选B.复数z=(a2+2a-3)+(a-1)i为纯虚数(i为虚数单位),则a2【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因是对纯虚数的概念理解不清,忽视了a-1≠0.【加固训练】设i是虚数单位,复数1+ai【解析】若1+ai2-i=(1+ai)(2+i)(2-i)(2+i)=(2-a)+(2a+1)i5=答案:22.(5分)已知复数z满足|z|=1,则|z-(4+3i)|的最大、最小值为()A.5,3 B.6,4 C.7,5 D.6,5【解题提示】利用复数的几何意义或设出后代入求解.【解析】选B.方法一:由|z|=1知复数z对应的点为以原点为圆心,以1为半径的圆上的点.而|z-(4+3i)|则表示单位圆上的点到点P(4,3)的距离.又|OP|=42故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.方法二:设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=1得x2+y2=1,又|z-(4+3i)|=|(x-4)+(y-3)i|=(x-4)由几何意义可知上式为单位圆上的点到P(4,3)点的距离.又|OP|=5,故|z-(4+3i)|max=5+1=6,|z-(4+3i)|min=5-1=4.3.(5分)(2015·重庆模拟)设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则z1=B.若z1=z2,则zC.若z1=z2,则z1·z1D.若z1=z2,则z

【解析】选D.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).选项具体分析结论A若|z1-z2|=0,则(a-c)2+(b-d正确B若z1=z2,则a=c,b=-d,所以z正确C若|z1|=|z2|,则a2+b2=c2+d2,所以z1·z1=z2·正确Dz12=(a2-b2)+2abi,错误4.(12分)(2015·临沂模拟)若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根.(1)试求b,c的值.(2)1-2i是否是所给方程的根,试给出判断.【解题提示】(1)由复数相等列关于b,c的方程组求解.(2)代入方程验证即可.【解析】(1)由于1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个根,则(1+2i)2+b(1+2i)+c=0,整理得(b+c-1)+(22+2b)i=0,则22+2即b=-2,c=3.(2)由(1)得方程为x2-2x+3=0,把1-2i代入方程左边得(1-2i)2-2(1-2i)+3=1-22i+2i2-2+22i+3=1-2-2+3=0,即1-2i满足方程x2-2x+3=0,所以1-2i是所给方程的根.【加固训练】已知复数z=bi(b∈R),z-2(1)求复数z.(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为z=bi(b∈R),所以z-21+i=bi-21+i=(bi-2)(1-i)(1+i)(1-i)=又因为z-21+i是实数,所以(2)因为z=-2i,m∈R,所以(m+z)2=(m-2i)2=m2-4mi+4i2=(m2-4)-4mi,又因为复数(m+z)2所表示的点在第一象限,所以m2-4>0,-4m>0.解得m<-2,即m∈5.(13分)(能力挑战题)若虚数z同时满足下列两个条件:①z+5z是实数;②这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.【解题提示】设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),根据条件①②列关于实数a,b的方程组,把复数问题转化为实数的计算.【解析】存在.设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z+5z=a+bi+=a1+5a又z+3=a+3+bi,z+5z根据题意有b因为b≠0,所以a解得a=-1,b=-2所以z=-1-2i或z=-2-i.【加固训练】已知关于x的方程:x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值.(2)若复数满足|z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.【解题提示】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.【解析】(1)因为b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,所以(b2-6b+9)+(a-b)i=0,所以b2-6b+9=0,a=b,(2)设z=s+ti(s,t