高中数学必修一第二章-二.-第课时公开课教案课件课时训练练习教案课件

第2课时对数的运算[学习目标]1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．[知识链接]在指数的运算性质中：am·an＝am＋n，eq\f(am,an)＝am－n，(am)n＝amn.[预习导引]1．对数的运算性质如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN.(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM，(n∈R)．2．换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b>0)．温馨提示常用结论(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝eq\f(n,m)logab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.要点一对数运算性质的应用例1计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.解(1)方法一原式＝eq\f(1,2)(5lg2－2lg7)－eq\f(4,3)×eq\f(3,2)lg2＋eq\f(1,2)(2lg7＋lg5)＝eq\f(5,2)lg2－lg7－2lg2＋lg7＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)lg2＋eq\f(1,2)lg5＝eq\f(1,2)(lg2＋lg5)＝eq\f(1,2)lg10＝eq\f(1,2).方法二原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.规律方法1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪演练1计算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；(2)eq\f(lg3＋\f(2,5)lg9＋\f(3,5)lg\r(27)－lg\r(3),lg81－lg27).解(1)原式＝(lg5)2＋lg2(2－lg2)＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝eq\f(lg3＋\f(4,5)lg3＋\f(9,10)lg3－\f(1,2)lg3,4lg3－3lg3)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4,5)＋\f(9,10)－\f(1,2)))lg3,4－3lg3)＝eq\f(11,5).要点二换底公式的应用例2已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.解方法一由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以log3645＝eq\f(log1845,log1836)＝eq\f(log189×5,log18\f(18×2×9,9))＝eq\f(log189＋log185,log18182－log189)＝eq\f(a＋b,2－a).方法二a＝log189＝eq\f(lg9,lg18)＝eq\f(2lg3,lg2＋2lg3)，所以lg2＝eq\f(21－alg3,a).①又18b＝5，则b＝log185＝eq\f(lg5,lg18)＝eq\f(lg5,lg2＋2lg3)，所以lg5＝eq\f(2b,a)lg3.②log3645＝eq\f(lg45,lg36)＝eq\f(lg9＋lg5,2lg2＋2lg3)＝eq\f(2lg3＋lg5,2lg2＋2lg3)，将①②两式代入上式并化简整理，得log3645＝eq\f(a＋b,2－a).方法三设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x＝log185＋(x＋1)log189，又18b＝5，所以b＝log185.所以2x＝b＋(x＋1)a，解得x＝eq\f(a＋b,2－a)，即log3645＝eq\f(a＋b,2－a).规律方法1.利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．2．题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化、统一成一种形式．跟踪演练2(1)(log29)·(log34)等于()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4(2)log2eq\f(1,25)·log3eq\f(1,8)·log5eq\f(1,9)＝________.答案(1)D(2)－12解析(1)(log29)·lg34＝(log232)·(log322)＝2log23·(2log32)＝4log23·log32＝4.(2)原式＝eq\f(lg\f(1,25),lg2)·eq\f(lg\f(1,8),lg3)·eq\f(lg\f(1,9),lg5)＝eq\f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2lg3lg5)＝－12.要点三对数的实际应用例3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3)(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.752；……经过x年，剩余量是y＝0.75x；由题意得0.75x＝eq\f(1,3)，∴x＝log0.75eq\f(1,3)＝eq\f(lg\f(1,3),lg\f(3,4))＝eq\f(－lg3,lg3－lg4)≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的eq\f(1,3).规律方法解决对数应用题的一般步骤跟踪演练3里氏震级M的计算公式为：M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．答案610000解析由M＝lgA－lgA0知，M＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2，则lgeq\f(A1,A2)＝lgA1－lgA2＝(lgA1－lgA0)－(lgA2－lgA0)＝9－5＝4.所以eq\f(A1,A2)＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．logax·logay＝loga(x＋y)B．(logax)n＝nlogaxC.eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x)D.eq\f(logax,logay)＝logax－logay答案C解析根据对数的运算性质知，C正确．2．lg8＋3lg5的值为()A．－3B．－1C．1D．3答案D解析lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg8＋lg125＝lg(8×125)＝lg1000＝3.3．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．答案1解析lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.4.eq\f(log29,log23)＝________.答案2解析eq\f(log29,log23)＝log39＝log332＝2.5．已知2m＝5n＝10，则eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________.答案1解析因为m＝log210，n＝log510，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝log102＋log105＝lg10＝1.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．(3)在运算过程中避免出现以下错误：①logaNn＝(logaN)n，②loga(MN)＝logaM·logaN，③logaM±logaN＝loga(M±N)．一、基础达标1．log242＋log243＋log244等于()A．1B．2C．24D.eq\f(1,2)答案A解析log242＋log243＋log244＝log24(2×3×4)＝log2424＝1.2．化简eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的结果为()A．6eq\r(2)B．12eq\r(2)C．log6eq\r(3)D.eq\f(1,2)答案C解析原式＝log6eq\r(12)－log62＝log6eq\f(\r(12),2)＝log6eq\r(3).3．化简eq\r(log232－4log23＋4)＋log2eq\f(1,3)，得()A．2B．2－2log23C．－2D．2log23－2答案B解析eq\r(log232－4log23＋4)＝eq\r(log23－22)＝2－log23.∴原式＝2－log23＋log23－1＝2－2log23.4．计算log916·log881的值为()A．18B.eq\f(1,18)C.eq\f(8,3)D.eq\f(3,8)答案C解析log916·log881＝eq\f(lg24,lg32)·eq\f(lg34,lg23)＝eq\f(4lg2,2lg3)·eq\f(4lg3,3lg2)＝eq\f(8,3).5．log29·log278＝________.答案2解析log29·log278＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg8,lg27)＝eq\f(2lg3·3lg2,lg2·3lg3)＝2.6．化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.答案eq\f(5,4)解析原式＝(eq\f(log23,log24)＋eq\f(log23,log28))(eq\f(1,log23)＋eq\f(1,log232))＝eq\f(5,6)log23·eq\f(3,2log23)＝eq\f(5,4).7．计算下列各式的值：(1)eq\f(lg2＋lg5－lg8,lg5－lg4)；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋(lg2eq\r(3))2＋lgeq\f(1,6)＋lg0.06.解(1)原式＝eq\f(1－3lg2,lg5－2lg2)＝eq\f(1－3lg2,1－3lg2)＝1.(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3(lg2)2－lg6＋lg6－2＝3·lg5·lg2＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝3－2＝1.二、能力提升8．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lgeq\f(a,b))2的值等于()A．2B.eq\f(1,2)C．4D.eq\f(1,4)答案A解析由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2)，∴(lgeq\f(a,b))2＝(lga－lgb)2＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb＝22－4×eq\f(1,2)＝2.9．若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________．答案eq\f(b＋2a,1－a)解析log512＝eq\f(lg12,lg5)＝eq\f(lg3＋2lg2,1－lg2)＝eq\f(b＋2a,1－a).10．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M＝eq\f(2,3)lgE－3.2，其中E(焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹．答案1000解析设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E2、E1，则8－6＝eq\f(2,3)(lgE2－lgE1)，即lgeq\f(E2,E1)＝3.∴eq\f(E2,E1)＝103＝1000，即汶川大地震所释放的能量相当于1000颗广岛原子弹．11．计算：(1)3log72－log79＋2log7(eq\f(3,2\r(2)))；(2)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(3)logaeq\r(n,a)＋logaeq\f(1,an)＋logaeq\f(1,\r(n,a)).解(1)原式＝log78－log79＋log7eq\f(9,8)＝log78－log79＋log79－log78＝0.(2)原式＝lg2(lg2＋lg50)＋2lg5＝lg2·lg100＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg10＝2.(3)原式＝eq\f(1,n)＋(－n)＋(－eq\f(1,n))＝－n.三、探究与创新12．(1)求2(lgeq\r(2))2＋lgeq\r(2)·lg5＋eq\r(lg\r(2)2－lg2＋1)的值；(2)若log2[log3(log4x)]＝0，log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．解(1)原式＝lgeq\r(2)(2lgeq\r(2)＋lg5)＋eq\r(lg\r(2)－12)＝lgeq\r(2)(lg2＋lg5)＋1－lgeq\r(2)＝lgeq\r(2)＋1－lgeq\r(2)＝1.(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3，所以x＝43＝64.又因为log3[log4(log2y)]＝0，所以log4(log2y)＝1，所以log2y＝4，所以y＝24＝16，∴x＋y＝80.13．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py.(1)求p；(2)求证eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).(1)解设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·eq\f(log3k,log34).∵log3k≠0，∴p＝2log34.(2)证明eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2，又eq\f(1,2y)＝eq\f(1,2)logk4＝logk2，∴eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,2y).下课啦，咱们来听个小故事吧:活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？”生答：“水！”

一生戴上水的头饰上场说：“我就是同学们猜到的水。听大家说，我的用处可大了，是真的吗？”

主持人：我宣布：“水”是万物之源主题班会现在开始。

水说：“同学们，你们知道我有多重要吗？”齐答：“知道。”

甲：如果没有水，我们人类就无法生存。

小熊说：我们动物可喜欢你了，没有水我们会死掉的。

花说：我们花草树木更喜欢和你做朋友，没有水，我们早就枯死了，就不能为美化环境做贡献了。

主持人：下面请听快板《水的用处真叫大》

竹板一敲来说话，水的用处真叫大；

洗衣服，洗碗筷，洗脸洗手又洗脚，

煮饭洗菜又沏茶，生活处处离不开它。

栽小树，种庄稼，农民伯伯把它夸；

鱼儿河马大对虾，日日夜夜不离它；

采煤发电要靠它，京城美化更要它。

主持人：同学们，听完了这个快板，你们说水的用处大不大？

甲说：看了他们的快板表演，我知道日常生活种离不了水。

乙说：看了表演后，我知道水对庄稼、植物是非常重要的。

丙说：我还知道水对美化城市起很大作用。

2.主持人：水有这么多用处，你们该怎样做呢？

（1）（生）：我要节约用水，保护水源。

（2）（生）：我以前把水壶剩的水随便就到掉很不对，以后我一定把喝剩下的水倒在盆里洗手用。

（3）（生）：前几天，我看到了学校电视里转播的“水日谈水”的节目，很受教育，同学们看得可认真了，知道了我们北京是个缺水城市，我们再不能浪费水了。

（4）（生）：我要用洗脚水冲厕所。

3.主持人：大家谈得都很好，下面谁想出题考考大家，答对了请给点掌声。

（1）（生）：小明让爸爸刷车时把水龙头开小点，请回答对不对。

（2）（生）：小兰告诉奶奶把洗菜水别到掉，留冲厕所用。

（3）一生跑上说：主持人请把手机借我用用好吗？我想现在就给姥姥打个电话，告诉她做饭时别把淘米水到掉了，用它冲厕所或浇花用。（电话内容略写）

（4）一生说：主持人我们想给大家表演一个小品行吗？

主持人：可以，大家欢迎！请看小品《这又不是我家的》

大概意思是：学校男厕所便池堵了，水龙头又大开，水流满地。学生甲乙丙三人分别上厕所，看见后又皱眉又骂，但都没有关水管，嘴里还念念有词，又说：“反正不是我家的。”

旁白：“那又是谁家的呢？”

主持人：看完这个小品，你们有什么想法吗？谁愿意给大家说说？

甲：刚才三个同学太自私了，公家的水也是大家的，流掉了多可惜，应该把水龙头关上。

乙：上次我去厕所看见水龙头没关就主动关上了。

主持人：我们给他鼓鼓掌，今后你们发现水龙头没关会怎样做呢？

齐：主动关好。

小记者：同学们，你们好！我想打扰一下，听说你们正在开班会，我想采访一下，行吗？

主持人：可以。

小记者：这位同学，你好！通过参加今天的班会你有什么想法，请谈谈好吗？

答：我要做节水的主人，不浪费一滴水。

小记者：请这位同学谈谈好吗？

答：今天参加班会我知道了节约每一滴水要从我们每个人做起。我想把每个厕所都贴上“节约用水”的字条，这样就可以提醒同学们节约用水了。

小记者：你们谈得很好，我的收获也很大。我还有新任务先走了，同学们再见！

水跑上来说：同学们，今天我很高兴，我“水伯伯”今天很开心，你们知道了有了我就有了生命的源泉，请你们今后一定节约用水呀！让人类和动物、植物共存，迎接美好的明天！

主持人：你们还有发言的吗？

答：有。

生：我代表人们谢谢你，水伯伯，节约用水就等于保护我们人类自己。

动物：小熊上场说：我代表动物家族谢谢你了，我们也会保护你的！

花草树木跑上场说：我们也不会忘记你的贡献！

水伯伯：（手舞足蹈地跳起了舞蹈）……同学们的笑声不断。

主持人：水伯伯，您这是干什么呢？

水伯伯：因为我太高兴了，今后还请你们多关照我呀！

主持人：水伯伯，请放心，今后我们一定会做得更好！再见！

4.主持人：大家欢迎老师讲话！

同学们，今天我们召开的班会非常生动，非常有意义。水是生命之源，无比珍贵，愿同学们能加倍珍惜它，做到节约一滴水，造福子孙后代。

5.主持人宣布：“水”是万物之源主题班会到此结束。

6.活动效果：

此次活动使学生明白了节约用水的道理，浪费水的现象减少了，宣传节约用水的人增多了，人人争做节水小标兵

活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。

活动过程：

1.主持人上场，神秘地说：“我让大家猜个谜语，你们愿意吗？”大家回答：“愿意！”

主持人口述谜语：

“双手抓不起，一刀劈不开，

煮饭和洗衣，都要请它来。”

主持人问：“谁知道这是什么？