工程力学例题汇总

理论力学第一章静力学公理和物体的受力分析物体的受力分析和受力图1、基本概念（1）受力分析——确定构件受了几个力，每个力的作用位置和力的作用方向的过程。（2）被动力——约束对于物体的约束力，是未知的被动力。（3）主动力——除约束力以外的力，也称为载荷(loads)。（4）分离体——解除约束后的物体(Isolatedbody)。（5）受力图——表示物体受力的简明图形（FBD）。（6）二力杆——只在两个力作用下平衡的构件。在受力图上应画出所有力，主动力和约束力（被动力）。画受力图步骤：1、取所要研究物体为研究对象（隔离体），画出其简图；2、画出所有主动力；3、按约束性质画出所有约束（被动）力。2、作受力图的步骤注意：1、二力杆的判断；

2、三力平衡汇交定理的应用；

3、作用力与反作用力定理的运用。例1解：1.画出简图2.画出主动力3.画出约束力碾子重为，拉力为，、处光滑接触，画出碾子的受力图。例2

解：取屋架画出主动力画出约束力画出简图屋架受均布风力（N/m），屋架重，画出屋架的受力图。根据约束的类型画出研究对象的受力图例：画出AB杆的受力图(b)CBAD(a)ABCD例3二力构件/二力杆二力平衡原理：作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必要条件是：此二力等值、反向、共线W不计杆件自重WDCWW若刚体上只有两点受力且不计其质量，则该刚体称为二力构件或二力杆。作用力方向沿两点连线、大小相等、方向相反。例4

不计三铰拱桥的自重与摩擦，画出左、右拱的受力图与系统整体受力图．解：右拱为二力构件，其受力图如图（b）所示系统整体受力图如图（d）所示取左拱,其受力图如图（c）所示考虑到左拱三个力作用下平衡，也可按三力平衡汇交定理画出左拱的受力图，如图（e）所示此时整体受力图如图（f）所示。例5不计自重的梯子放在光滑水平地面上，画出梯子、梯子左右两部分与整个系统受力图。图(a)解：绳子受力图如图（b）所示梯子左边部分受力图如图（c）所示梯子右边部分受力图如图（d）所示整体受力图如图（e）所示例6：画出滑轮、CD杆、AB杆和整体受力图WWWABCD1、研究滑轮2、研究CD杆1ABC3、研究AB杆4、研究整体WABCDWWWWCBA研究整体时，不画物体间的内力ABFABABDCG例7作出图示各构件的受力图。FCBBCBF’BCF’BAF2F1二力构件训练！滑轮BBFBxF2F1FBy例8作出各构件及整体的受力图。三力平衡汇交！例8-续B例9分别画出图示各构件和杆系ABC的受力图。QACEDBO例9-续QAOBCDE例10作图示各构件的受力图。无穷远元素的几何性质：对应平面上每一方向，有唯一无穷远点。平行的直线交于同一无穷远点；交于同一无穷远点的直线相互平行。

例11作出图示各杆及整体的受力图。例11-续例12作图示机构各杆及整体的受力图。例12-续

作ACO杆的受力图。例12-续作AEB杆和整体的受力图。F1F2DBACF1F2DBAFBF'BFAyFAxFCyFCxOFCCB例13如图所示结构，画AD、BC(连同滑快)的受力图(滑块尺寸可忽略不计)。F2FBCBAD的受力图还可以怎么画？例14由水平杆AB和斜杆BC构成的管道支架如图所示。在AB杆上放一重为P的管道，

A、B、C处都是铰链连接，不计各杆的自重，各接触面都是光滑的。试分别画出管道O、水平杆AB、斜杆BC及整体的受力图。ACBDOP解:(1)取管道O为研究对象.O(2)取斜杆BC为研究对象.CBRCRBACBDOPABDND´RB´XAYA(4)取整体为研究对象.ACBDOPRCXAYA(3)取水平杆AB为研究对象.ACBDOPCBRCRBO例15：作水管支架受力图［整体］［AC杆］ＥPＢＣＤＡPＦE［水管］ＦCBＦAxＦAyＦDＦDＦAＦBCＦE｀三力汇交ＦAE例16：A、B处是固定支座，C处为铰链，ABC处是三鉸拱结构，作各杆受力图。BCAFC[CA]AFFCB’FAyFAxBCFCBFBCBCFCBFBC[CB]例17：重为G=980N的重物悬挂在滑轮支架系统上，如图所示。设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销钉。若不计滑轮与支架的自重，画出各构件的受力图。GABCDEFIH0.6m0.8mBCFCBFBCABFABFBA解：

[AB]

[BC]B

[

轮B]HFFBxFByD[

轮D]

[轮I]IGEFGxFGyFCBFABFGxFGy课堂练习分别画出图示结构中各杆的受力图。BACMFFBAABCF

AF2BF1BACF1F2F1理论力学第二章平面汇交力系与平面力偶系例题1

已知：P，a

求：A、B处约束反力。2a

PaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图（3）按比例作图求解FBFA

PFBFA

方法一:（1）量得FA和FB；(图解法?)方法二:（2）由图中的几何关系计算求得FA和FB例题2

已知：P，a

求：A、B处约束反力。2a

PaABCD解：（1）取刚架为研究对象（2）画受力图

FBxy解上述方程，得（3）建立坐标系，列方程求解

FA

BMFAC

FBCFBAFBCFCBFMFNC

已知：F，

例题3求：物块M的压力。解：（1）取销钉B为研究对象（节点法）（2）取挡板C为研究对象解得解得小结：1、方法选择几何法：解析法：2、步骤选取研究对象；建立坐标系，画受力图；投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。列平衡方程；解方程。物体受到不超过三个力作用，且角度比较特殊时；物体受到多于三个力。例

4

图示吊车架，已知P，求各杆受力大小。解：1、研究对象：铰链A（节点法）A60°2、几何法：60°SAC=P/sin600SAB=P×ctg6003、解析法：A60°∑FX=0SACcos600－SAB=0∑FY=0SACsin600－P

=0解得：SAC=P/sin600SAB=SACcos600=P×ctg600xy例

4续解：①研究AB杆

②画出受力图

③列平衡方程

④解平衡方程例5

已知P=2kN，求SCD,RA由EB=BC=0.4m，解得：；

例6

已知如图P、Q，求平衡时a=？地面的反力ND=？解：研究球受力如图由②得由①得①②选投影轴列方程为Fn

OrFrF已知：Fn，

，r例题7求：力Fn对轮心O的力矩。h解：（1）直接应用力对点之矩概念（2）利用合力之矩定理计算？MaaABCa例题8求：A、C处约束反力。已知：a,M解：（1）取AB为研究对象（2）取BC为研究对象BCABMFBFCFA若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩是否还等于力偶矩。M1M2CABDM2CDM1AB

FB

FA

FC

FD解:(1)取AB为研究对象(2)取CD为研究对象例题

9求：平衡时M1、M2之间的关系。已知：AB=CD=a,∠BCD=30°解得解得因为FB=FCDBCMDEEDCBAMaaaa求：A、B、C、D、E处的约束反力。例题10解:(1)取整体为研究对象

FA

FB(2)取BCD为研究对象

FB

FE

FD(3)取DE为研究对象确定D处约束反力的方向方向不定！DBCMDE(2)取BCD为研究对象FBFEFD(3)取DE为研究对象确定D处约束反力的方向CAEFA(4)取ACE为研究对象方向不定！FC

确定方向！CEAHGABCDEABCDEG应用：三力平衡定理、力偶的性质、刚化原理问题1：确定支座A、B处约束力的方向ABCABC问题2：确定支座A的约束力方向（不计构件自重和所有摩擦）应用二力平衡原理(二力构件)ABCABC问题3：确定支座A的约束力方向（不计构件自重和所有摩擦）ABCD问题4：确定铰链A、B处约束力的方向（不计构件自重和所有摩擦）。先研究AD杆再研究整体第二章结论与讨论1.力在坐标轴上的投影为：2.平面内力的解析表达式为：3.求平面汇交力系的合力（1）几何法根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：合力的作用线通过各力的汇交点。（2）解析法根据合力投影定理：4.平面汇交力系的平衡条件（1）平衡的必要和充分条件：（2）平衡的几何条件：力多边形自行封闭（3）平衡的解析条件：5.平面力对点之矩6.合力矩定理：7.力偶和力偶矩力偶——两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。8.平面力偶系的合成与平衡平衡条件：合成结果：力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。理论力学第三章平面任意力系第三章平面任意力系

※

平面任意力系的简化

※

简化结果的分析

※

平面任意力系的平衡条件

※

结论与讨论

※

平面静定桁架的内力计算(专题)

※

物体系统的平衡例1

水坝如图所示,W1=450KN,W2=200KN,F1=300KN,F2=70KN,求力系向O点的简化结果，并求力系合力的大小及与原点O的距离d。解：建立坐标系Oxy求向O点简化的主矢和主矩主矢:主矩:合力:平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。主矢主矩合成结果说明FR≠

0′FR=

0′MO=0MO≠0MO≠0MO=0合力合力力偶平衡此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心合力作用线离简化中心的距离此力偶为原力系的合力偶，在这种情况下主矩与简化中心的位置无关例题2已知：M=Pa

求：A、B处约束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解：（1）取刚架为研究对象解上述方程，得（2）画受力图（3）建立坐标系，列方程求解解上述方程，得2a

PaMABCDFAxFAyFB解法2解上述方程，得2a

PaMABCDFAxFAyFB解法3解上述方程，得解上述方程，得解：取三角形板ABC为研究对象FDECBAaaaMPFAFB例题3求：三杆对三角平板ABC的约束反力。FCPACaaaMBAFAMAAFAxFAyMAA

ABqlF（1）固定端支座例题4求：A处约束反力。既不能移动，又不能转动的约束——固定端（插入端）约束固定端约束简图（2）分布载荷的合力q(x)载荷集度PdPdP=q(x)dx合力大小：由合力之矩定理：合力作用线位置：lq(x)ABxhxdx合力的作用点:☆两个特例(a)均布载荷h(b)三角形分布载荷Phlq0qlxxPq(x)

AlBF解：取AB梁为研究对象解上述方程，得FAxFAyMAP解：取梁ABCD为研究对象解得：D1m2m1mABCF已知：F=2N，q=1N/m求：A、B支座反力。例题5FNAFNBP解：取起重机为研究对象（1）满载时，其限制条件是：FNA≥0（2）空载时，其限制条件是：FNB≥0P2P1ABPbealFNBFNA因此，P2必须满足：求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。例题6解得:已知：P=0.4kN，Q=1.5kN，

sin=4/5例题7求：支座A、C的反力。AQCB

PPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy解：(1)取整体为研究对象解上述方程，得(2)取AB为研究对象代入（3）式得EqaaaaaABCDFAyFAxFE求：A、E的约束反力和BC杆内力。例题8CDqFDxFDy解：(1)取整体为研究对象解得：(2)取曲杆CD为研究对象解得：FCBCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCyFBFAxFAyMA

FB解：(1)取BC为研究对象解得:(2)取AC为研究对象解得:求：支座A、C的反力。例题9已知：M=10kN·m,q=2kN/m500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：D、E的约束反力。例题10解：(1)取CDE为研究对象解上述方程，得(2)取整体为研究对象解得:GEBFGxFGyFB(3)取BEG为研究对象解得:500N500NDCEFDxFDyFExFEy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB代入（3）式得:BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy(2)取整体为研究对象解：(1)取DEF杆为研究对象解得：(3)取ADB杆为研究对象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB求：A、D、B的约束反力。例题11aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：A、D的约束反力。例题12解：(1)取BC杆为研究对象解得：(2)取AB杆为研究对象解得：代入（3）式解得：CDPPABCDaaaa2a2aFCxPFBxFByFCyBCFAyPFAxAB(3)取CD杆为研究对象解得：FDxFDyMDBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE杆为研究对象(2)取BDC杆为研究对象(3)取整体为研究对象解得：求：A、B的约束反力。例题13已知：q=50kN/m,M=80kN·m理论力学第四章空间力系

例1工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。解：将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。所以合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦（1）空间铰链：（2）径向轴承：（3）径向止推轴承：（4）空间固定端：空间力系平衡问题举例已知：Q=100kN，P=20kN，a=5m，l=3.5m，

=30°求：各轮的支持力。又当

=0°时，起重机最大载重Pmax是多少。例题2解:取起重机为研究对象解得:FA=19.3kN，FB=57.3kN，FC=43.4kNFAFCFBEala/2aa/2PAB,CDQHzCABEHDxy

a/3（2）当

=0°，由上式第一个方程得：为确保安全，必须：FA≥0FAxFAzFBxFBz解：取系统为研究对象解得:已知：a=300mm，b=400mm，c=600mm，R=250mm，r=100mm，P=10kN，F1=2F2。求：F1、F2

及A、B处反力。例题3abcABPF1F2xzyRryABCDM1M2M3bcaxzFAyFAzFDyFDzFDx解：取曲杆为研究对象例4已知：力偶矩M2和M3求：平衡时M1和支座A、D的反力。解:取板为研究对象解得ACBDEFM30°30°30°123456F1F4F3F6F5F2例5已知：等边三角形板的边长为a，在板面内作用一矩为M的力偶，板、杆自重不计；求：杆的内力。

确定物体重心的方法（1）积分法：简单几何形状物体的重心解:取圆心O为坐标原点求：半径为R，圆心角为2

的均质圆弧线的重心。例题6o

A

yxBdl

d半圆形的重心：求：半径为R，圆心角为2

的均质扇形的重心。例题7

O

AB

dxy解:取圆心O为坐标原点（2）用组合法求重心(a)分割法oxyC1C2C330mm30mm30mm10mm10mmx1=－15,y1=45,A1=300x2=5,y2=30,A2=400x3=15,y3=5,A3=300解:建立图示坐标系求：Z

形截面重心。例题8(b)负面积法（负体积法）解：建立图示坐标系，由对称性可知：yC=0求：图示截面重心。例题1040mm50mmxyo20mmA1A2A3材料力学第一章绪论.Nm-P=0Nm=

P∴解：1、沿m-m截面截开，取上半部分：NOmmmPxyMm例1求m—m、n—n截面上的内力。P-Qn=0Qn=P∴

2、沿n-n

截面截开，取右半部分：PNn

•

3

-3•2=0nnYA3kNABXANn解：1、沿n-n截面截开，取AB杆，受力如图：Nn

=2(kN)∴例2求m—m、n—n截面上的内力。.2-3-Qm

=02•2-3•1-Mm=0

沿m-m截面截开，取AB杆的右半部分，受力如图：Qm

=-1(kN)∴Mm=1(kN)∴材料力学第二章拉伸、压缩与剪切例1已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力

[

]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。解：1、轴力FN

=F

=25kN2、应力：3、强度校核：此杆满足强度要求，能够正常工作。FFXFN25KN+例题1一横截面为正方形的砖柱分上，下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示.已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力.FABCFF3000400037024021

解：(1)作轴力图FABCFF300040003702402150kN150kN(2)求应力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力.例题2简易起重设备中，AC杆由两根80

80

7等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成.材料为Q235钢，许用应力[

]=170MPa.求许可荷载[F].ABCF1m300解：(1)取结点A为研究对象，受力分析如图所示.ABCF1m300FAxyFN1FN2300结点A的平衡方程为由型钢表查得FAxyFN1FN2300得到(2)强度条件为(3)各杆的许可荷载(4)结论：许可荷载[F]=184.6kN例题3刚性杆ACB有圆杆CD悬挂在C点，B端作用集中力F=25kN，已知CD杆的直径d=20mm，许用应力[

]=160MPa，（1）试校核CD杆的强度;（2）并求：结构的许可荷载[F]；（3）若F=50kN，设计CD杆的直径.2aaFABDC解：(1)求CD杆受力FNCDFACBYX（2）结构的许可荷载[F]由2aaFABDC[F]=33.5kNFNCDFACBY得(3)若F=50kN，设计CD杆的直径由得d>=24.4mm取d=25mm2aaFABDC习题1

已知简单构架：杆1、2截面积A1=A2=100mm2，材料的许用拉应力

[st

]=200MPa，许用压应力

[sc]=150MPa

试求：载荷F的许用值[F]解：1.轴力分析2.利用强度条件确定[F]（A1=A2=100mm2，许用拉应力

[st]=200MPa，许用压应力

[sc]=150MPa）（拉伸）（压缩）习题2

已知：l,h,F（0<x<l）,AC为刚性梁,斜撑杆BD的许用应力为[s

].试求：为使杆BD重量最轻,q

的最佳值.斜撑杆，解：1.斜撑杆受力分析2.q最佳值的确定由强度条件欲使VBD

最小例题4图示为一变截面圆杆ABCD。已知E=210GPa，F1=20kN，F2=35kN，F3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm。d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：(1)Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的轴力并作轴力图(2)杆的最大正应力

max(3)B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力R=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDRⅠ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、Ⅲ-Ⅲ截面的轴力并作轴力图F1FN1F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDRRFN3FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR15+-2050xFN(2)杆的最大正应力

maxAB段：FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR

max

=176.8MPa

发生在AB段.BC段：)(MPa.N-==6-7422AFBCsDC段：)(MPa.N-==5-11033AFDCs(3)B截面的位移及AD杆的变形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDR3）画节点位移图求节点位移2）求各杆的变形量△li；以垂线代替图中弧线。1）分析受力确定各杆的内力FNiL2ABL1CF就是C点的近似位移。计算节点位移就是C点的节点位移图。例题5图所示杆系由两根钢杆1和2组成.已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成

=300的角度，长度均为

l=2m，直径均为d=25mm，钢的弹性模量为E=210GPa.设在点处悬挂一重物F=100kN，试求A点的位移

A.ABC12

ABC12

解：(1)列平衡方程，求杆的轴力FyFN1FN2A12

x(2)两杆的变形为变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起.ABC12

ABC12

（伸长）以两杆伸长后的长度BA1和CA2

为半径作圆弧相交于A

，即为A点的新位置.AA

就是A点的位移.因变形很小，故可过A1，A2

分别做两杆的垂线，相交于A

可认为A

ABC

A2A1

12A'解：（1）变形能例题5续

求图示杆系的应变能，和结点A的位移ΔA。已知：P=100kN，杆长l=2m，杆的直径d=25mm，a=30°，材料的弹性模量E=210GPa。能量法求节点位移ABC12

（2）结点A的位移由得缺点：只能求出节点沿载荷作用方向的位移。ABC12

解：(1)键+轴的受力分析如图

例6

齿轮与轴由平键连接,已知轴的直径d=70mm，

键的尺寸为b×h×L=20×12×100mm，传递的扭转力偶矩Me=2kN.m，键的许用切应力为[

]=60MPa，许用挤压应力为[

bs]=100MPa.试校核键的强度.bhlMedFMeh综上，键满足强度要求.(2)校核剪切强度(3)校核挤压强度MedFbhlA例题7一销钉连接如图所示，已知外力

F=18kN,被连接的构件A

和B

的厚度分别为t=8mm和t1=5mm,销钉直径d=15mm,销钉材料的许用切应力为

[

]=60MPa,许用挤压应力为[

bS]=200MPa.试校核销钉的强度.t1FFAtt1Bdt1FFAtt1Bd解:(1)销钉受力如图b所示dF剪切面挤压面dF挤压面FFSFS(2)校核剪切强度由截面法得两个面上的剪力剪切面积为(3)挤压强度校核这两部分的挤压力相等，故应取长度为t的中间段进行挤压强度校核.故销钉是安全的.剪切面DdhF(1)销钉的剪切面面积A(2)销钉的挤压面面积AbS

思考题挤压面DdhF挤压面剪切面hd例8冲床的最大冲压力F=400kN，冲头材料的许用压应力[

]=440MPa，钢板的剪切强度极限

u=360MPa，试求冲头能冲剪的最小孔径d和最大的钢板厚度

.冲头

d钢板冲模FF解(1)冲头为轴向压缩变形d=34mm冲头

d钢板冲模F剪切面FF解(2)由钢板的剪切破坏条件δ=10.4mm冲头

d钢板冲模F剪切面F例题9一铆钉接头用四个铆钉连接两块钢板.钢板与铆钉材料相同.铆钉直径d=16mm，钢板的尺寸为b=100mm，t=10mm，F=90kN，铆钉的许用应力是[

]=120MPa，[

bS]=120MPa，钢板的许用拉应力[

]=160MPa.试校核铆钉接头的强度.FFttFFbFFtt(1)校核铆钉的剪切强度每个铆钉受力为F/4每个铆钉受剪面上的剪力为FFbF/4F/4剪切面(2)校核铆钉的挤压强度每个铆钉受挤压力为F/4F/4F/4剪切面挤压面(3)校核钢板的拉伸强度FF/4F/4F/4F/4+F3F/4F/4112233整个接头是安全的FF/4F/4F/4F/41122练习：已知：d

=2mm，b=15mm，d=4mm，[t]=100MPa，

[s]bs

=300MPa，[s]=160MPa。试求：[F]解：

1、剪切强度2、挤压强度3、钢板拉伸强度材料力学第三章扭转Me4ABCDMe1Me2Me3n例题1一传动轴如图所示，其转速n=300r/min，主动轮A输入的功率为P1=500kW.若不计轴承摩擦所耗的功率，三个从动轮输出的功率分别为P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW.试做轴的扭矩图，计算最大扭矩.解:(1)计算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n计算CA

段内任横一截面2-2截面上的扭矩.假设T

2为正值.结果为负号，说明T

2应是负值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me4(2)计算各段扭矩（设正法）ABCD同理，在BC

段内在AD

段内1133注意：若假设扭矩为正值，则扭矩的实际符号与计算符号相同.Me4Me1Me3Me2Me2Me4T1T3作出扭矩图从图可见，最大扭矩在CA段内.4780N·m9560N·m6370N·m+_例题2

图示空心圆轴外径D=100mm，内径d=80mm，M1=6kN·m，M2=4kN·m，材料的剪切弹性模量G=80GPa.(1)画轴的扭矩图；(2)求轴的最大切应力，并指出其位置.M1M2ABCll（1）画轴的扭矩图M1M2ABCllBC段1M2CT1T1+M2=02M2CM1BT2T2+M2-M1=0T2=2kN·m

AB段（+）（-）T1=-4kN·m最大扭矩发生在BC段Tmax=4kN·m4kN·m2kN·m+_T（2）求轴的最大切应力，并指出其位置

max最大切应力发生在截面的周边上，且垂直于半径.M1M2ABCll

max解：作轴的扭矩图CABMAMBMC分别校核两段轴的强度例题3

图示阶梯圆轴，AB段的直径d1=120mm，BC段的直径

d2=100mm.扭转力偶矩为MA=22kN·m，MB=36kN·m

，MC=14kN·m.已知材料的许用切应力[

]=80MPa，试校核该轴的强度.因此，该轴满足强度要求.22kN·m14kN·m+_例题4

实心圆轴１和空心圆轴２（图a、b）材料、扭转力偶矩M和长度

l均相等，最大切应力也相等.若空心圆轴的内外径之比为

=0.944，试求空心圆截面的外径和实心圆截面直径之比及两轴的重量比.(b)分析：设实心圆截面直径为d1，空心圆截面的内、外径分别为d2、D2;又扭转力偶矩相等，则两轴的扭矩也相等，设为T.已知：D2ll(a)d1d2MMMM解得两轴材料、长度均相同，故两轴的重量比等于两轴的横截面面积之比，在最大切应力相等的情况下空心圆轴比实心圆轴轻，即节省材料.例题5

图示等直杆，已知直径d=40mm，a=400mm，材料的剪切弹性模量G=80GPa，

DB=1°.

试求：（1）AD杆的最大切应力；（2）扭转角

CA.解：画扭矩图计算外力偶矩M

DB=

CB+

DC=1°Tmax=3M+M2M3Maa2aM2M3MABCD（1）AD杆的最大切应力（2）扭转角

CAaa2aM2M3MABCD+M2M3M例题6

某汽车的主传动轴是用40号钢的电焊钢管制成，钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，轴传递的转矩M=1.98kN·m,材料的许用剪应力

[

]=100MPa，剪变模量为G=80GPa，轴的许可扭角=2/m.试校核轴的强度和刚度.DdtMM解：轴的扭矩等于轴传递的转矩轴的内，外径之比强度条件

刚度条件DdtMM该轴满足强度和刚度要求。例题7

两端固定的圆截面杆AB，在截面C处受一个扭转力偶矩M

的作用，如图所示。已知杆的抗扭刚度

GIP，试求杆两端的支反力偶矩.CMabABl解：去掉约束，代之以支反力偶矩这是一次超静定问题，须建立一个补充方程.ACBMMAMB两固定端A和B的相对扭转角为零.杆的变形相容条件是CMabABl（1）静力平衡方程CMabABl（2）变形几何方程（3）由物理关系建立补充方程解得ACBMMAMB•

AC大小等于

CB（4）补充方程例题8

图

示一长为l的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆组成，内外两杆均在线弹性范围内工作，其抗扭刚度GaIPa

、GbIPb

.当此组合杆的两端各自固定在刚性板上，并在刚性板处受一对矩为M

的扭转力偶的作用试求分别作用于内、外杆上的扭转力偶矩.MMlAB解：（1）静力平衡方程这是一次超静定问题.变形相容条件是，内、外杆的扭转变形应相同.（2）变形几何方程（3）物理关系方程MMMlABMaMb（4）物理方程代入几何方程，得补充方程MbMaMMMlAB解得：例题9

某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半经R=18mm，簧丝横截面直径d=4mm，有效圈数n=5.材料的[

]=350MPa

，G=80GPa弹簧工作的总压缩变形(包括预压变形)为l

=18.5mm

试校核弹簧的强度.解：求出弹簧所受的压力P为由R及d求出弹簧的曲度系数k=(4*9-1)/(4*9-4）+0.615/9=

1.16弹簧满足强度要求.

例题10

一矩形截面的等直钢杆,其横截面尺寸,h=100mm,b=

50mm,长度l=2m,在杆两端作用一对矩

M=4kN·m

的扭转力

偶.钢的许用切应力[τ]=100MPa,剪切模量

G=80GPa,许可

单位长度扭转角[

/]=1/m.试校核该杆的强度和刚度.解：横截面上的扭矩由表3-1查得材料力学第四章平面图形的几何性质例1求图形对y、z

轴的静矩和形心O法1）根据公式计算法2）按规律确定形心例2试确定下图的形心。（组合图形的形心）801010c(19.7;39.7)zyC1C2解法1：1)、建立坐标如图示，分割图形2)、利用公式求形心801201010c(-20.3;34.7)解法二：1)、分割图形及建立坐标系，如图所示zy2)、求形心解法三：负面积法求形心：801201010zy例3

求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc

的惯性矩。解：xybdOCxcyc

yf(y)求对形心轴xc

的惯性矩由平行移轴公式得：ybdOCxcyc

yf(y)x例4

试求图a

所示截面对于对称轴x的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对x

轴(形心轴)的惯性矩：2、一个半圆对其自身形心轴xc

轴的惯性矩（见上例）xyC(a)d=8040100a=10040

3a+p2d3、一个半圆对x

的惯性矩由平行移轴公式得：4、整全面积对于对称轴x的惯性矩：xyC(a)d=8040100a=10040

a+2d3p材料力学第五章弯曲内力解:(1)求支反力RA

和RB

例题1

图示梁的计算简图。已知F1、F2，且F2>F1

，

尺寸a、b、c和l亦均为已知.试求梁在E

、F

点处横截面处

的剪力和弯矩.RBRABdEDAabclCFF1F2记E

截面处的剪力为FSE

和弯矩

ME，且假设FSE

和弯矩ME

的指向和转向均为正值(设正法).FSEAEcRAME解得BdEDAabclCFF1F2RBRA取右段为研究对象FSEMEa-cb-cCDl-cBEF1F2RB+解得+BdEDAabclCFF1F2RBRA例题2

轴的计算简图如图所示，已知F1=F2=F=60kN

，a=230mm,b=100mm

和c=1000mm.求C、D点处横截面上的剪力和弯矩.ABRARB

解(1)求支座反力bacF2=FCDF1=Fa(2)计算C横截面上的剪力FSC和弯矩

MC.看左侧(3)计算D横截面上的剪力FSD

和弯矩MD

.看左侧ABRARBbacF2=FCDF1=Fa例题3

求图示梁中指定截面1、2上的剪力和弯矩。已知：1、2截面距离很近，可近似认为距离A支座1m，集中力偶m作用在1、2两截面间。解(1）求支座反力RA=4kNRB=-4kNC12m(2）求1-1截面的内力(3）求2-2截面的内力RARBB1m2.5m10kN.mAC12例题4

如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载F作用,试作此梁的剪力图和弯矩图.BAFlx解

(1)

将坐标原点取在梁的左端，列出梁的剪力方程和弯矩方程剪力为常数，弯矩是一次函数，剪力图是一直线弯矩图是一斜直线FFSxxMAFBlxFl例题5

图示的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.解(1)求支反力RARBBlqAx(2）列剪力方程和弯矩方程.剪力图为一倾斜直线.x=0处，x=l

处,BlqRAAxRBql/2ql/2+FSx弯矩图为一条二次抛物线.lqRAABxRB得驻点弯矩的极值左端点右端点极值点+l/2Mx解(1)求梁的支反力例题6

图示的简支梁在C点处受集中荷载

P作用.试作此梁的剪力图和弯矩图.lFABCabRARB因为AC段和CB段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程.将坐标原点取在梁的左端将坐标原点取在梁的左端

AC段CB段xxBlFACabRARB由(1),(3)两式可知,AC,CB两段梁的剪力图各是一条平行于x

轴的直线.xxlFABCabRARB+FSx由(2),(4)式可知,AC,CB两段梁的弯矩图各是一条斜直线.xxlFABCabRARB+Mx解

求梁的支反力例题7

图示的简支梁在C点处受矩为m的集中力偶作用.试作此梁的的剪力图和弯矩图.将坐标原点取在梁的左端.因为梁上没有横向外力，所以全梁只有一个剪力方程RARBlABCabmxAC段CB段AC

段和

BC

段的弯矩方程不同xxlABCabRA=m/lRB=-m/lm(2)(3)lABCabRARBm由(1)式可见，整个梁的剪力图是一条平行于x

轴的直线.梁的任一横截面上的剪力为+FSxAC，CB

两梁段的弯矩图各是一条倾斜直线.xlABCabRARBm(2)(3)

x=a，

x=0，AC段CB段

x=a,x=l，M(l)

=0+Mx例题8

一简支梁受移动荷载F

的作用如图所示.试求梁的弯矩为极大值时荷载F

的位置.ABFlx解先设F在距左支座A

为x

的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.荷载在任意位置时，支反力当荷载F在距左支座为x的任意位置C时，梁的弯矩为令RARB移动荷载F

在简支梁的跨中时，梁的弯矩为极大值.代入式将得最大弯矩值由

例题9

一简支梁受两个力F作用，如图所示。已知F=25.3kN，有关尺寸如图所示.直接作梁的剪力图和弯矩图.解

(1)求梁的支反力将梁分为AC,CD,DB

三段.每一段均属无载荷区段.RARBBACD2001151265FF231(2)剪力图每段梁的剪力图均为水平直线AC段BRBACD2001151265FFRA231DB段最大剪力发生在DB段中的任一横截面上(3)弯矩图每段梁的弯矩图均为斜直线。且梁上无集中力偶.CD段23.6KN1.7KN27KN+xFSBACD2001151265FFRARB231最大弯矩发生在C

截面4.72KN.m3.11KN.m+Mx例题10

一简支梁受均布荷载作用，其集度q=100kN/m,如图

所示.直接作此梁的剪力图和弯矩图.

解(1)计算梁的支反力将梁分为AC、CD、DB

三段.AC和DB上无荷载,CD

段有向下的均布荷载.RARBBEqACD0.21.6120.2(2)剪力图AC段水平直线CD段

向右下方的斜直线DB段水平直线最大剪力发生在AC

和DB

段的任一横截面上.80kN+FSxRARBEqACD0.21.6120.280kN(3)弯矩图AC段向上倾斜的直线CD段向上凸的二次抛物线其极值点在FS=0的中点E处的横截面上.DB段向下倾斜的直线

MB

=

0全梁的最大弯矩梁跨中E点的横截面上.+MxRARBEqACD0.21.6120.216KN.m16KN.m48KN.m解支座反力为RCy=31kNRB=29kNRA=81kNmA

=96.5kN.m例题11

直接作组合梁的剪力图和弯矩图.10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBq=20kN/m将梁分为AE，EC，CD，DK，KB

五段。RARBmA注意：RCy=31kN是组合梁之间相互作用的内力，非外力。即是剪力。RCyM=5kN.mBCDKq=20kN/mRB(1)剪力图AE段

水平直线FS(x)

=RA

=81kN10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/mED段

水平直线DK

段向右下方倾斜的直线FSK=-RB

=-29kNFS(x)

=RA

-F=31kNKB

段水平直线FSB=-RB=-29kN81kN31kNFSx29kN+设距K截面为x

的截面上剪力FS=0.即10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m=1.45x81kN31kN29kN+FSx(2)弯矩图AE，EC，CD

梁段均为向上倾斜的直线B10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m96.515.531MxKB

段向下倾斜的直线B10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/mDK段向上凸的二次抛物线在FS=0的截面上弯矩有极值55+345x=1.4596.515.531Mx中间铰链传递剪力(铰链左，右两侧的剪力相等)；但不传递弯矩(铰链处弯矩必为零).F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m81kN31kN29kN+FSx96.53115.5+55345x=1.45Mx解：1、支反力2、写出内力方程1kN/m2kNABCD1m1m2mx1x2x1FAFB[练习1]

画出梁的内力图。3、根据方程画内力图1kN/m2kNABCDFAFBx22

M(x)（kN.m）+

FS(x)（kN）x22+材料力学第六章弯曲应力例1

计算截面对中性轴的惯性矩。解：

zc为截面的对称轴，中性轴必与zc

垂直，且经过截面形心建立直角坐标系，求形心纵坐标A1=2800mm2，z1=80mm，A2=2000mm2，

z2=0mm求截面形心把图形看作由两个矩形组成矩形①对yc

轴的惯性矩（平行移轴）矩形②对yc

轴的惯性矩（平行移轴）全面积对yc

轴的惯性矩为：求Iyc80y1y22020120z例题2：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的抗拉许用应力为[

t]=30MPa,抗压许用应力为[

C]=160MPa。已知截面对形心轴Z的惯性矩为Iz

=763cm4,y1=52mm,校核梁的强度。

F1=9KNF2=4KNAcBD1m1m1m解：80y1y22020120zF1=9KNF2=4KNRARBAcBD1m1m1m80y1y22020120z最大正弯矩在截面C上最大负弯矩在截面B上+-F1=9KNF2=4KNRARBAcBD1m1m1mCB2.5KN4KN80y1y22020120z

B截面{F1=9KNF2=4KNRARBAcBD1m1m1m+-2.5KNm4KNmMB80y1y22020120zC截面F1=9KNF2=4KNRARBAcBD1m1m1m+-+-CB2.5KNm4KNmMCMB例题3：由n片薄片组成的梁lFZbh当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲lFZbh近似地认为每片上承担的外力等于每一薄片中的最大正应力等于lFZbhlFZbh若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲最大正应力等于解：画内力图求危险截面内力例4矩形(b

h=0.12m0.18m）截面木梁如图，[

]=7MPa，[

]=0.9MPa，试校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mFS–+x求最大应力并校核强度q=3.6kN/mFS–+x结论:该梁满足强度条件xM+1)画内力图(FS,

M图),确定危险截面内力解：2)求[P]：3)求最大切应力100×50×50=25000mm3例5由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁，尺寸如图所示。胶合层的拉剪强度较小，[t]=3.4MPa,试求其许用载荷P，并在此载荷作用下梁中的tmax和相应的smax。Sz*=4)求最大正应力注：若叠梁的梁间接触面光滑无约束，则每层梁独立弯曲，每层梁承受的外力和弯矩相等。例6外伸梁受载及等截面形状如图所示。当梁内最大拉应力smax=50MPa，求梁中最大切应力及所在位置。2)画FS和M图，确定危险截面1)求支座反力解：3)求形心位置4)求对中性轴的Iz

（平行移轴公式）5)求P:6)求tmax7)确定1)约束反力2)M图，确定危险截面解：3)强度校核B和CD段的所有截面例7槽形铸铁外伸梁如图所示，已知：P=30kN，a=1m，h=200mm，y=53.2mm，IZ=2.8×107mm4，[σt]=40MPa，[σc]=170MPa；试用正应力强度条件校核梁的强度。B截面：CD段：3)强度校核：故该梁的正应力强度满足。例8截面为T字形的铸铁梁如图所示，欲使梁内最大拉应力与最大压应力之比为1：3，试求水平翼缘的合理宽度b。1)中性轴的位置：2)求b：解：(中性轴必过形心)例9把直径为d的钢丝绕在直径为D=2m的卷筒上，设钢丝的E=200GPa。①若d=1mm，试计算钢丝中产生的σmax。②若钢丝的

[σ]=200MPa，则该卷筒上能绕多粗的钢丝。1)计算σmax

：2)求d：解：例10截面为b×t的钢条，长为l，重量为P(均布)，放在水平刚性平面上，当钢条A端作用P/3的向上拉力时，求：1)钢条脱开刚性平面的距离d？2)钢条内的σmax?1)求d：解：c研究C截面左段梁2)求σmax

：由AC段内的弯矩方程为例11设梁的横截面为矩形，高为300mm，宽为150mm，横截面上负弯矩数值为240kN.m，材料的抗拉弹性模量Et为抗压弹性模量Ec的1.5倍，若梁中应力未超过材料的比例极限，试求最大拉应力及最大压应力。1)中性轴的位置：解：2)求ρ表达式3)求σtmax

及σcmax材料力学第七章弯曲变形例题1

图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角ABxFv(1)弯矩方程为解：(2)挠曲线的近似微分方程为xvABxF对挠曲线近似微分方程进行积分梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件为:将边界条件代入(3)(4)两式中,可得：BxvAFBxvAF（）都发生在自由端截面处和（）例题2

图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其和ABql解:由对称性可知，梁的两个支反力为ABqlRARBx计算梁的弯矩，求转角和挠度方程梁的转角方程和挠曲线方程分别为:

xABqlRARB

A

B在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，最大转角和最大挠度分