对口升学数学复习(数列教案)

第课时教学内容：数列的定义教学目的：理解数列的定义、通项公式、Sn的含义，掌握通项公式的求法及其应用，了解递推的含义．教学重点：数列的根本概念．教学难点：求通项公式、递推公式的应用教学过程：一、数列的定义：按一定顺序排列成的一列数叫做数列．记为：{a}．即{a}:a,a,…,a．二、通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．如数列：。简记为：数列{2n}三、前n项之和：S=a+a+…+a注求数列通项公式的一个重要方法：对于数列,有：例1、数列{100-3n}，〔1〕求a、a；〔2〕67是该数列的第几项；〔3〕此数列从第几项起开始为负项．解：练习:数列(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？例2求以下数列的通项公式：(1)5,10,15,20，…；〔2〕(3)−1，1，−1，1，…．解〔1〕；〔2〕；〔3〕，〔4〕练习：定写出数列3，5，9，17，33，……的通项公式：答案：an=2n+1。例3数列的前n项和，求数列的通项公式：〔1〕=n+2n；〔2〕=n-2n-1.解：〔1〕①当n≥2时，=-=(n+2n)-[(n-1)+2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，==1+2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴=2n+1为所求.〔2〕①当n≥2时，=-=(n-2n-1)-[(n-1)+2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，==1-2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴=为所求．注：Sn求an时，要先分n＝1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一．练习1.假设数列{an}的前n项和Sn=n2-1,那么a4等于(〕A.7 B.8 C.9 D.17练习2.数列{an}的前n项和Sn=n3，那么a5+a6的值为〔〕A.91 B.152 C.218 D.279四、同步练习：第课时教学内容：等差数列〔1〕教学目的：通过复习，稳固等差数列的定义、通项公式、求和公式教学重点：等差数列教学过程：〔一〕主要知识1．等差数列的定义:2．通项：．3．求和：．4．中项：假设a、b、c等差数列，那么b为a与c的等差中项:2b=a+c〔二〕热身练习：讲练题：〔1〕等差数列{an}中a1=31,d=-7,求a6及S10.〔2〕求等差数列2，9，16，…的第11项.〔3〕等差数列{an}中a1=7，a9=39，求S9;〔4〕10和16的等差中项是〔〕。三、例题讲解：【例1】等差数列{an}的前n项和记为Sn,a10=30,a20=50.(1)求通项an;(2)假设Sn=242,求n.【解】(1)由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋9d＝30,a1＋19d＝50))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝12,d＝2)).故an＝2n＋10.(2)由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，Sn＝242，得12n＋eq\f(nn－1,2)×2＝242，解之得n＝11或n＝－22(舍去)．∴n＝11.解设这五个数组成的等差数列为{an}由：a1＝－1，a5＝7，∴7＝－1＋(5－1)d解出d＝2。所求数列为：－1，1，3，5，7．练习在等差数列中,解:设首项为,公差为,那么【例2】Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，求a5.解析：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝6a1＋\f(6×5,2)d，,a1＋3d＝1，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝7,d＝－2)).∴a5＝1＋(－2)＝－1.练习：设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．假设S10＝S11，那么a1＝()A．18B．20C．22D．24【例3】三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数．解设三个数分别为x－d，x，x＋d．解得x＝5，d＝±2。∴所求三个数为3、5、7或7、5、3注设元技巧:三数:四数【例4】等差数列{}中=13且=,那么n取何值时,取最大值．解解法1：设公差为d，由=得：3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2。解得d=-2,所以=15-2n。由即得：6.5≤n≤7.5,所以n=7时,取最大值.解法2:由解1得d=-2,又a1=13，所以=-n+14n=-(n-7)+49∴当n=7，取最大值．【练习】在等差数列{an}中，前3项和为12，前3项积为48，且d＞0,求a1.解a1=2.【练习】在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列．例1判断以下数列是否是等差数列：〔1〕an=3n＋5;〔2〕an+1=an-3.解：练习：数列{a}满足：a=2,a=a+3,求通项a．四、小结：定义a-a=d(通项公式a=a+(n-1)d等差中项A=求和公式五、同步练习：第课时教学内容：等差数列〔2〕教学目的：深化知识，强化等差数列性质的应用教学重点：等差数列的性质及应用教学难点：性质的应用教学过程：〔一〕简单性质:〔1〕假设n+m=2p，那么an+am=2ap．推广：组成公差为的等差数列．〔下标等差，那么项也等差〕〔2〕〔二〕知识应用例1在等差数列{a}中，解决以下问题：〔1〕a+a=20，求a．〔2〕：等差数列{an}中，a4＋a6＋a15＋a17＝50，求S20；解〔2〕∵a4＋a6＋a15＋a17=50，又因它们的下标有4＋17＝6＋15=21∴a4＋a17=a6＋a15=25，〔3〕++++＝450,求+及前9项和．解〔3〕由等差中项公式：+＝2，+＝2，由条件++++＝450,得：5＝450,∴＋＝2＝180，＝810〔4〕等差数列{a}的前n项和为30,前2n项和为100,那么它的前3n项和为C．〔A〕130〔B〕170〔C〕210〔D〕260〔5〕{a}是等差数列，公差为-2，且a+a+...+a=100，那么a+a+...+a=．例2等差数列{an}的公差是正数，且a3·a7=－12，a4＋a6=－4，求它的前20项的和S20的值．解法一设等差数列{an}的公差为d，那么d＞0，由可得由②，有a1＝－2－4d，代入①，有d2=4，再由d＞0，得d＝2∴a1=－10，最后由等差数列的前n项和公式，可求得S20＝180解法二由等差数列的性质可得：a4＋a6＝a3＋a7即a3＋a7＝－4，又a3·a7=－12，由韦达定理可知：a3，a7是方程x2＋4x－12＝0的二根解方程可得x1=－6，x2＝2∵d＞0∴{an}是递增数列，∴a3＝－6，a7=2例3在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，那么n之值是多少？解∵S偶项－S奇项=nd∴nd=90－75=15，又由a2n－a1＝27，即(2n－1)d=27例4假设一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.解:,例5项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设数列共2m+1〔m∈N*〕把该数列记为｛an｝.依题意：(a2+a2m)=33〔1〕(a1+a2m+1)=44〔2〕由〔1〕〔2〕得∴m=3。代入〔1〕得a2+a2m=22，∴am+1==11．即该数列有7项，中间项为11．〔三〕同步练习：第课时教学内容：等比数列教学目的：稳固等比数列的定义、通项、求和教学重点：等比数列．教学难点：计算方法教学过程：〔一〕主要知识：1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.注：常用定义判断或证明一个数列是等比数列．观察并判断以下数列是否是等比数列:(1)1，3，9，27，81，…是,公比q=3(2)5，5，5，5，5，5，…是,公比q=1(3)1，-1，1，-1，1，…是,公比q=-1(4)1，0，1，0，1，…不是等比数列2．通项公式：．练习：在等比数列{an}中，a1=1，an+1－2an=0，那么an=2n-1.3．前n项和：注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论．4．等比中项：如果在与之间插入一个数，使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即〔〕．〔二〕主要方法：1．等比数列的判定方法：①定义法：对于数列，假设，那么数列是等比数列.②等比中项：对于数列，假设，那么数列是等比数列．2．三个数成等比可设它们为：a，aq，aq2或a/q，a，aq；四个数成等比可设它们为：a/q3，a/q，aq，aq3；〔三〕知识点训练练习1：根据下面等比数列{an}中a1=8,q=1/2,求a8、S5.解：a8=a1q8-1=8×(1/2)7=1/16练习2：等比数列：1，2，4，….求数列的第5项及前5项的和.解2由：a1=1,q=2，所以a5=a1q4=1×24=16练习3：-1，a，-9成等比数列，那么a=.〔四〕例题讲解：例1.在等比数列{an}中:(1)a4=27,q=-3,求a7,S7；(2)a2=18,a4=8,求a1,q,a5。解析由:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝27，,q＝-3，))解得：a1＝-1a7＝(-1)·(-3)6=-729，=-547解析由:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝18,,a1q3＝8,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝27，,q＝2/3，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝-27，,q＝-2/3.))当a1＝27,q＝2/3时,a5＝27·(2/3)4=16/3,当a1＝-27,q＝-2/3时,a5＝-16/3.方法点睛等比数列根本量的运算是等比数列中的一类根本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二〞，通过列方程(组)可迎刃而解．[例2]设等比数列{an}的前n项和为Sn，a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.解析：由题意得:eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝6，,6a1＋a1q2＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝3，,q＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝3.))当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.[例2]解决以下问题：〔1〕等比数列中=5,且2=3，求通项公式；解：〔2〕求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由，从第5项到第10项的和为-=1008练习：1.{an}是等比数列，a2＝2，a5＝1/4，那么公比q＝(D)A.－B.－2C.2D.1/22．假设等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，那么公比q＝________；前n项和Sn＝________.答案：22n＋1－23.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，假设S3=7，S6=63，那么公比q=〔 A〕A.2 B.-2 C.3 D.-34．在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，那么公比q= (C)A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或eq\f(1,2)5．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24 B．0C．12 D．24【例3】等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项.求数列{an}与{bn}的通项公式.解由有:b2=a2,b3=a5,b4=a14又：a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d).解得d=2(∵d＞0).∴an=1+(n-1)·2=2n-1.又b2=a2=3,b3=a5=9,∴数列{bn}的公比为3,由b2/b1=3，得b1=1∴bn=1·3n-1=3n-1.练习：等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列.假设a1＝1，那么S4＝(C)A.7B.8C.15D.16〔五〕作业：在等比数列中，解决以下问题：〔1〕a=8,a=2，求a．〔2〕S=,S=+，求a．〔3〕在等比数列{a}中，S=，公比q=,求a．〔4〕a5－a1＝15，a4－a2＝6，那么a3＝.〔5〕在等比数列{an}中，a3＝1，S3＝4，求a1、q〔6〕a=a+5，a+a=4,求a．第课时教学内容：数列综合运用教学目的：系统掌握等差、等比数列的概念与性质，提高综合运用知识的能力．教学重点：等差等比数列的综合运算．教学过程：一、等差、等比数列的综合问题：例1假设a、b、c成等差数列，且a＋1、b、c与a、b、c＋2都成等比数列，求b的值．解设a、b、c分别为b－d、b、b＋d，由b－d＋1、b、b＋d与b－d、b、b＋d＋2都成等比数列，有：整理，得:∴b＋d=2b－2d即b=3d，代入①，得9d2=(2d＋1)·4d，解之，得d=4或d=0(舍)，∴b=12例2三个数成等比数列，假设第二个数加4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列，求这三个数．解法一按等比数列设三个数，设原数列为a，aq，aq2由：a，aq＋4，aq2成等差数列即：2(aq＋4)=a＋aq2〔1〕a，aq＋4，aq2＋32成等比数列即：(aq＋4)2=a(aq2＋32)，即〔2〕解法二按等差数列设三个数，设原数列为b－d，b－4，b＋d由：三个数成等比数列即：(b－4)2=(b－d)(b＋d)〔1〕b－d，b，b＋d＋32成等比数列即b2=(b－d)(b＋d＋32)〔2〕解法三任意设三个未知数，设原数列为a1，a2，a3由：a1，a2，a3成等比数列a1，a2＋4，a3成等差数列得：2(a2＋4)=a1＋a3 ②a1，a2＋4，a3＋32成等比数列，得：(a2＋4)2=a1(a3＋32) ③说明恰当题设简化计算过程的作用．例3一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列．解：设所求的等比数列为a,aq,aq2,那么2(aq+4)=a+aq2且(aq+4)2=a(aq2+32)解得a=2，q=3或a=，q=-5，故所求的等比数列为2，6,18或，-，．例4a<b<c，a+b+c=3且a,b,c成等差数列，a,b,c成等比数列，求a,b,c．解：例5公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q．解:设等差数列的通项an=a1+(n-1)d(d≠0).根据题意得a32=a2a6即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),解得.所以例6有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是，第二个数与第三个书的和是，求这四个数．解：设这四个数为：，那么解得：或，所以所求的四个数为：；或．二、应用型问题：例1某学生的父母欲为其买一台电脑售价为1万元，除一次性付款方式外，商家还提供在1年内将款全部还清的前提下三种分期付款方案(月利率为1%)：⑴购置后2个月第1次付款,再过2个月第2次付款…购置后12个月第6次付款；⑵购置后1个月第1次付款,过1个月第2次付款…购置后12个月第12次付款；⑶购置后4个月第1次付款,再过4个月第2次付款,再过4个月第3次付款你能帮他们参谋选择一下吗？〞分析每月利息按复利计算,即上月利息要计入下月本金.例如,由于月利率为1%,款额a元过一个月就增值为a(1+1%)=1.01a(元);再过一个月又增值为1.01a(1+1%)=1.01a(元)可将问题进一步分解为：〔1〕商品售价增值到多少？〔2〕各期所付款额的增值状况如何？〔3〕当贷款全部付清时，电脑售价与各期付款额有什么关系？解方案一：10000×(1+1%)12=x+(1+1%)2x+(1+1%)4x+(1+1%)6x+(1+1%)8x+(1+1%)10x，解得＝1785.86，三种方案列表如下：方案次数付款方法每期所付款表达式每期付款付款总额16每2月付1次付6次x=1785.8610721.16212每一个月付1次，付12次x=888.4910661.8533每4个月付1次，付3次x=3607.6210822.85例2用分期付款方式购置家用电器一件，价格为1150元，购置当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，假设交付150元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？解：购置时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完.设每月付款顺次组成数列{an}，那么a1=50+1000×0.01=60(元).a2=50+(1000－50)×0.01=(60－0.5)(元).a3=50+(1000－50×2)×0.01=(60－0.5×2)(元).依此类推得a10=60－0.5×9=55.5(元),an=60－0.5(n－1)(1≤n≤20).∴付款数{an}组成等差数列，公差d=－0.5,全部货款付清后付款总数为S20+150=(a1+a20)+150=(2a1+19d)×