工程力学第16讲 弯曲内力：不写方程直接画内力图

§10—3剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系1、支反力：LqFAYFBY2、内力方程3、讨论：x第十章弯曲内力对dx

段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。第十章弯曲内力q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。第十章弯曲内力二、微分关系的应用2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线；弯矩图为一条二次曲线。1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。Fs图：M图：（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。Fs图：M图：M(x)第十章弯曲内力4、集中力偶处——剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。5、弯矩极值处——剪力为零的截面、集中力作用的截面、

集中力偶作用的截面。3、集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。（2）当分布力的方向向下时——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。Fs图：M图：M(x)第十章弯曲内力外力无分布荷载段均布载荷段集中力集中力偶q=0q>0q<0Fs图特征M图特征CFCm水平直线xFsFs>0FsFs<0x斜直线增函数xFsxFs降函数xFsCFs1Fs2Fs1–Fs2=F自左向右突变xFsC无变化斜直线Mx增函数xM降函数曲线xM盆状坟状xM自左向右折角

自左向右突变xM折向与F同向三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图M与m同

xM1M2第十章弯曲内力[例]

用简易作图法画下列各图示梁的内力图。控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。四、简易法作内力图法（利用微分规律）:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。基本步骤：1、外力图；

2、剪力图；集中力突变，无集中力处水平直线、倾斜直线或曲线。

3、弯矩图；集中力偶处突变，无集中力偶处根据剪力图积分一次来画。第十章弯曲内力左端点：剪力图有突变，突变值等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力的大小。qa2qa–xMaaqaqA解：1、确定支反力（可省略）左侧段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线右侧段：剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。2、画内力图FymFsxFs第十章弯曲内力Fs(x)x2kN2kN解：1、支反力2、画内力图AC段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线BD段：剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。CD段：剪力图为零；弯矩图为一条水平线。A、C、B截面剪力图有突变；突变值的大小为其集中力的值。1kN/mABCD2kN2m1m1mFAYFBYM(x)x2kN、m2kN、m第十章弯曲内力1m4m10kN/m20kN40kN、mCBA解：1、支反力FAYFBY2、画内力图CA段：剪力图为一条水平线；弯矩图为一条斜直线AB段：剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。C、A、B截面剪力图有突变；大小为其集中力的值。A截面弯矩图有突变；大小为其集中力偶的值。Q=0处M有极值201525Fs(x)x（kN）M(x)xkNm202.5m31.2520第十章弯曲内力解：求支反力左端点A：B点左：B点右：C点左：M的驻点：C点右：右端点D：Fsxqa/2–qa/2–qa/2+qa2qaABCDxM3qa2/8qqa2/2qa2/2qa2/2FAYFDYaaa第十章弯曲内力§10—4按叠加原理作弯矩图二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。三、步骤：1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；

2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；

3、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。第十章弯曲内力[例]按叠加原理作弯矩图(AB=L，力F作用在梁AB的中点处）。qFABFq=+AABBxM2+xM=xM1第十章弯曲内力四、对称性与反对称性的应用：

对称结构在对称载荷作用下——

Fs图反对称，M图对称；

对称结构在反对称载荷作用下——

Fs图对称，M图反对称。第十章弯曲内力[例7]作下列图示梁的内力图。FLFFLLLLLLL0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–F第十章弯曲内力F0.5FFLL0.5FFLLL0.5F0.5FFLLLF0M2x0.5FL0.5FLM1x0.5FLMxFL第十章弯曲内力[例]绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+M1x=2FaxM2+2FaxMFa第十章弯曲内力qq=++xM23qa2/2xM1=qa2/2aaqqxMqa2第十章弯曲内力FL/2L/2FL/2xMFL/2xM2+FL/2=FL/4xM1=+FFL/2第十章弯曲内力50kNaa20kNm20kNm=+50kN20kNm20kNmxM2+50kNm=20kNmxM1Mx20kNm30kNm20kNm第十章弯曲内力§10—5平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。

特点：刚架各杆的内力有：Fs、M、FN。1、刚架：由刚性节点联成的框架2、节点：两杆之间的交点。3、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不能有转动）。用填角表示，以与铰支节点区别。4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。第十章弯曲内力二、平面刚架内力图规定：

弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。

剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件。

四、平面曲杆内力图规定：

弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压的一侧。剪力图及轴力图：与平面刚架相同。第十章弯曲内力[例]试作图示刚架的内力图。F1F2alABC–FN

图F2+Fs图F1+F1aM图F1a+F2lF1F1a第十章弯曲内力[例]已知：如图所示，F及R

。试绘制Fs、M、FN

图。OFRqmmx解：建立极坐标，O为极点，OB

极轴，q表示截面m–m的位置。ABF1FF2第十章弯曲内力ABOM图OO+Fs图FN图2FRFF–+qmmxOFRABF第十章弯曲内力[例]改内力图之错。a2aaqqa2ABFsxxM––+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/45qa2/43qa2/249qa2/32FAyFBy第十章弯曲内力[例]已知Fs图，求外荷载及M图（梁上无集中力偶）。Fs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+–+q=2kN/mM(kN·m)x111.25第十章弯曲内力弯曲内力小结一、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。二、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过弯曲中心）。变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。

三、弯曲内力的确定1、内力的正负规定:第十章弯曲内力（1）、截面法——截开；代替；平衡。①剪力Fs:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为

顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。2、内力的计算：注意的问题a、在截开面上设正的内力方向。b、在截开前不能将外力平移或简化。（2）、简易法求内力：Fs=∑Fi（一侧），M=∑mi。（一侧）。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。重点第十章弯曲内力四、剪力方程、弯矩方程：

Fs=Fs(x）———剪力方程

M=M(x)———弯矩方程

注意：不能用一个函数表达的要分段，分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终点。五、剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系六、微分关系的应用1、分布力q(x)=0时——剪力图为一条水平线；

弯矩图为一条斜直线。2、分布力q(x)=常数时——剪力图为一条斜直线；

弯矩图为一条二次曲线。难点重点第十章弯曲内力（1）当分布力的方向向上时——剪力图为斜向上的斜直线；弯矩图为上凹的二次曲线。3、集中力处——剪力图有突变，突变值等于集中力的大小；弯矩图有折角。（2）当分布力的方向向下时——剪力图为斜向下的斜直线；弯矩图为下凹的二次曲线。Fs图：M图：M(x)Fs图：M图：M(x)第十章弯曲内力七、剪力图和弯矩图：1、利用方程画剪力图和弯矩图——步骤：（1）、利用静力方程确定支座反力。（2）、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。（3）、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状描点绘出剪力图、弯矩图。（4）、确定最大的剪力值、弯矩值。4、集中力偶处——剪力图无变化；弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。5、弯矩极值处——剪力为零的截面、集中力作用的截面、集中力偶作用的截面。第十章弯曲内力控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。2、简易法作内力图（利用微分规律）——基本步骤：（1）、确定支座反力；（2）、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；（3）、确定控制点内力的数值大小及正负；（4）、描点画内力图。重点3、叠加法作内力图——（1）、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然