小升初奥数讲义打印版答案

工程问题1、甲乙两个水管单独开，注满一池水，分别需要20小时，16小时.丙水管单独开，排一池水要10小时，假设水池没水，同时翻开甲乙两水管，5小时后，再翻开排水管丙，问水池注满还是要多少小时？【解析：】1/20+1/16＝9/80表示甲乙的工作效率9/80×5＝45/80表示5小时后进水量1-45/80＝35/80表示还要的进水量35/80÷〔9/80-1/10〕＝35表示还要35小时注满答：5小时后还要35小时就能将水池注满。2、修一条水渠，单独修，甲队需要20天完成，乙队需要30天完成。如果两队合作，由于彼此施工有影响，他们的工作效率就要降低，甲队的工作效率是原来的五分之四，乙队工作效率只有原来的十分之九。现在方案16天修完这条水渠，且要求两队合作的天数尽可能少，那么两队要合作几天？【解析：】由题意得，甲的工效为1/20，乙的工效为1/30，甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/10＝7/100，可知甲乙合作工效>甲的工效>乙的工效。又因为，要求“两队合作的天数尽可能少〞，所以应该让做的快的甲多做，16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少〞。设合作时间为x天，那么甲独做时间为〔16-x〕天1/20*〔16-x〕+7/100*x＝1x＝10答：甲乙最短合作10天3、一件工作，甲、乙合做需4小时完成，乙、丙合做需5小时完成。现在先请甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时？【解析：】由题意知，1/4表示甲乙合作1小时的工作量，1/5表示乙丙合作1小时的工作量〔1/4+1/5〕×2＝9/10表示甲做了2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。根据“甲、丙合做2小时后，余下的乙还需做6小时完成〞可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1。所以1－9/10＝1/10表示乙做6-4＝2小时的工作量。1/10÷2＝1/20表示乙的工作效率。1÷1/20＝20小时表示乙单独完成需要20小时。答：乙单独完成需要20小时。4、一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做，这样交替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。乙单独做这项工程需17天完成，甲单独做这项工程要多少天完成？【解析：】由题意可知1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+……+1/甲＝11/乙+1/甲+1/乙+1/甲+……+1/乙+1/甲×0.5＝1〔1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率，最后结束必须如上所示，否那么第二种做法就不比第一种多0.5天〕1/甲＝1/乙+1/甲×0.5〔因为前面的工作量都相等〕得到1/甲＝1/乙×2又因为1/乙＝1/17所以1/甲＝2/17，甲等于17÷2＝8.5天5、师徒俩人加工同样多的零件。当师傅完成了1/2时，徒弟完成了120个。当师傅完成了任务时，徒弟完成了4/5这批零件共有多少个？【解析：】答案为300个120÷〔4/5÷2〕＝300个可以这样想：师傅第一次完成了1/2，第二次也是1/2，两次一共全部完工，那么徒弟第二次后共完成了4/5，可以推算出第一次完成了4/5的一半是2/5，刚好是120个。6、一批树苗，如果分给男女生栽，平均每人栽6棵；如果单份给女生栽，平均每人栽10棵。单份给男生栽，平均每人栽几棵？【解析：】答案是15棵算式：1÷〔1/6-1/10〕＝15棵7．一个池上装有3根水管。甲管为进水管，乙管为出水管，20分钟可将满池水放完，丙管也是出水管，30分钟可将满池水放完。现在先翻开甲管，当水池水刚溢出时，翻开乙,丙两管用了18分钟放完，当翻开甲管注满水是，再翻开乙管，而不开丙管，多少分钟将水放完？【解析：】答案45分钟。1÷〔1/20+1/30〕＝12表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。1/12*〔18-12〕＝1/12*6＝1/2表示乙丙合作将漫池水放完后，还多放了6分钟的水，也就是甲18分钟进的水。1/2÷18＝1/36表示甲每分钟进水最后就是1÷〔1/20-1/36〕＝45分钟。8、某工程队需要在规定日期内完成，假设由甲队去做，恰好如期完成，假设乙队去做，要超过规定日期三天完成，假设先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，问规定日期为几天？【解析：】答案为6天解：由“假设乙队去做，要超过规定日期三天完成，假设先由甲乙合作二天，再由乙队单独做，恰好如期完成，〞可知：乙做3天的工作量＝甲2天的工作量即：甲乙的工作效率比是3：2甲、乙分别做全部的的工作时间比是2：3时间比的差是1份实际时间的差是3天所以3÷〔3-2〕×2＝6天，就是甲的时间，也就是规定日期方程方法：[1/x+1/〔x+2〕]×2+1/〔x+2〕×〔x-2〕＝1解得x＝69、两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时，一天晚上停电，小芳同时点燃了这两根蜡烛看书，假设干分钟后来点了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问：停电多少分钟？【解析：】答案为40分钟。解：设停电了x分钟根据题意列方程1-1/120*x＝〔1-1/60*x〕*2解得x＝40鸡兔同笼问题没有答案数字数位问题1、把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?【解析：】首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除10~19，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450它有能被9整除同样的道理，100~900百位上的数字之和为4500同样被9整除也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；从1000~1999千位上一共999个“1〞的和是999，也能整除；最后答案为余数为0。2、A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...【解析：】(A-B)/(A+B)=(A+B-2B)/(A+B)=1-2*B/(A+B)前面的1不会变了，只需求后面的最小值，此时(A-B)/(A+B)最大。对于B/(A+B)取最小时，(A+B)/B取最大，问题转化为求(A+B)/B的最大值。(A+B)/B=1+A/B，最大的可能性是A/B=99/1(A+B)/B=100(A-B)/(A+B)的最大值是：98/1003、A.B.C都是非0自然数,A/2+B/4+C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?【解析：】答案为6.375或6.4375因为A/2+B/4+C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。当是102时，102/16＝6.375当是103时，103/16＝6.43754、一个三位数的各位数字之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,那么新的三位数比原三位数大198,求原数.【解析：】答案为476解：设原数个位为a，那么十位为a+1，百位为16-2a根据题意列方程100a+10a+16-2a－100〔16-2a〕-10a-a＝198解得a＝6，那么a+1＝716-2a＝4答：原数为476。5、一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.【解析：】答案为24解：设该两位数为a，那么该三位数为300+a7a+24＝300+aa＝24答：该两位数为24。6、把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?【解析：】答案为121解：设原两位数为10a+b，那么新两位数为10b+a它们的和就是10a+b+10b+a＝11〔a+b〕因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11因此这个和就是11×11＝121答：它们的和为121。7、一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.【解析：】答案为85714解：设原六位数为abcde2，那么新六位数为2abcde〔字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数〕再设abcde〔五位数〕为x，那么原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x根据题意得，〔200000+x〕×3＝10x+2解得x＝85714所以原数就是857142答：原数为8571428、有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.【解析：】答案为3963解：设原四位数为abcd，那么新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9根据“新数就比原数增加2376〞可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察abcd2376cdab根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。再代入竖式的千位，成立。得到：abcd＝3963再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位适宜的数，所以不成立。9、有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,那么商为5余数为3,求这个两位数.【解析：】解：设这个两位数为ab10a+b＝9b+610a+b＝5〔a+b〕+3化简得到一样：5a+4b＝3由于a、b均为一位整数得到a＝3或7，b＝3或8原数为33或78均可以10、如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?【解析：】答案是10：20解：〔28799……9〔20个9〕+1〕/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20排列组合问题1、有五对夫妇围成一圈，使每一对夫妇的夫妻二人动相邻的排法有〔〕A768种B32种C24种D2的10次方中【解析：】根据乘法原理，分两步：第一步是把5对夫妻看作5个整体，进行排列有5×4×3×2×1＝120种不同的排法，但是因为是围成一个首尾相接的圈，就会产生5个5个重复，因此实际排法只有120÷5＝24种。第二步每一对夫妻之间又可以相互换位置，也就是说每一对夫妻均有2种排法，总共又2×2×2×2×2＝32种综合两步，就有24×32＝768种。2、假设把英语单词hello的字母写错了,那么可能出现的错误共有()A119种B36种C59种D48种【解析：】5全排列5*4*3*2*1=120有两个l所以120/2=60原来有一种正确的所以60-1=593、小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在以下条件下有多少种站法？〔1〕七个人排成一排；〔2〕七个人排成一排，小新必须站在中间.〔3〕七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.〔4〕七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.〔5〕七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.〔6〕七个人战成两排，前排三人，后排四人.〔7〕七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。【解析：】〔1〕〔种〕。〔2〕只需排其余6个人站剩下的6个位置．〔种〕.〔3〕先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440(种)．〔4〕先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．(种)．〔5〕先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，〔种〕.〔6〕七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以此题实质就是7个元素的全排列．〔种〕.〔7〕可以分为两类情况：“小新在前，阿呆在后〞和“小新在前，阿呆在后〞，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880(种)．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。4、用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？【解析：】个位数字，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，，，根据排列数公式，一共可以组成(个)符合题意的三位数。5、用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？可以分两类来看：⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有(种)放法，对应24个不同的五位数；⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有种选择．由乘法原理，可以组成(个)不同的五位数。由加法原理，可以组成(个)不同的五位数。6、用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；假设将这些四位数按从小到大的顺序排列，那么5687是第几个数？从高位到低位逐层分类：⑴千位上排，，或时，千位有种选择，而百、十、个位可以从中除千位已确定的数字之外的个数字中选择，因为数字不重复，也就是从个元素中取个的排列问题，所以百、十、个位可有(种)排列方式．由乘法原理，有(个)．⑵千位上排，百位上排时，千位有种选择，百位有种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从个元素中取个的排列问题，即，由乘法原理，有(个)．⑶千位上排，百位上排，十位上排，，，，，时，个位也从剩下的七个数字中选择，有(个)．⑷千位上排，百位上排，十位上排时，比小的数的个位可以选择，，，，共个．综上所述，比小的四位数有(个)，故比小是第个四位数．7、用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？【解析：】按位数来分类考虑：⑴一位数只有个；⑵两位数：由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的两位数，共可组成(个)不同的两位数；⑶三位数：由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每一组可以组成(个)不同的三位数，共可组成(个)不同的三位数；⑷四位数：可由，，，这四个数字组成，有(个)不同的四位数；⑸五位数：可由，，，，组成，共有(个)不同的五位数．由加法原理，一共有(个)能被整除的数，即的倍数．8、用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？【解析：】由于组成偶数，个位上的数应从，，中选一张，有种选法；十位和百位上的数可以从剩下的张中选二张，有(种)选法．由乘法原理，一共可以组成(个)不同的偶数．9、某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保翻开保险柜至少要试几次？【解析：】四个非数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，其余位置放，共有种选择；第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的位置放，共有(种)选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择．最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放，共有种选择．综上所述，由加法原理，一共可以组成(个)不同的四位数，即确保能翻开保险柜至少要试次．10、两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，(同一位置上坐不同的人算不同的坐法)，那么共有多少种不同的坐法？第一个位置在个人中任选一个，有(种)选法，第二个位置在另一胞胎的人中任选一个，有(种)选法．同理，第，，，个位置依次有，，，种选法．由乘法原理，不同的坐法有(种)。11、在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，答复者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．〞对乙说：“你当然不会是最差的．〞从这个答复分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，“甲和乙都未拿到冠军〞，而且“乙不是最差的〞，也就等价于人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有种排法，再排甲，也有种排法，剩下的人随意排，有(种)排法．由乘法原理，一共有(种)不同的排法。12、名男生，名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法：⑴甲不在中间也不在两端；⑵甲、乙两人必须排在两端；⑶男、女生分别排在一起；⑷男女相间．⑴先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随意排，也就是个元素全排列的问题，有(种)选择．由乘法原理，共有(种)排法．⑵甲、乙先排，有(种)排法；剩下的个人随意排，有(种)排法．由乘法原理，共有(种)排法．⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有(种)不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有(种)和(种)排法．由乘法原理，共有(种)排法．⑷先排名男生，有(种)排法，再把名女生排到个空档中，有(种)排法．由乘法原理，一共有(种)排法。13、⑴从1，2，…，8中任取3个数组成无重复数字的三位数，共有多少个？〔只要求列式〕⑵从8位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共有多少种不同的选法？⑶3位同学坐8个座位，每个座位坐1人，共有几种坐法？⑷8个人坐3个座位，每个座位坐1人，共有多少种坐法？⑸一火车站有8股车道，停放3列火车，有多少种不同的停放方法？⑹8种不同的菜籽，任选3种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？⑴按顺序，有百位、十位、个位三个位置，8个数字〔8个元素〕取出3个往上排，有种．⑵3种职务3个位置，从8位候选人〔8个元素〕任取3位往上排，有种．⑶3位同学看成是三个位置，任取8个座位号〔8个元素〕中的3个往上排〔座号找人〕，每确定一种号码即对应一种坐法，有种．⑷3个坐位排号1，2，3三个位置，从8人中任取3个往上排〔人找座位〕，有种．⑸3列火车编为1，2，3号，从8股车道中任取3股往上排，共有种．⑹土地编1，2，3号，从8种菜籽中任选3种往上排，有种。14、某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成个小组，每组人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的个第名进行场半决赛和场决赛，确定至名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？第一阶段中，每个小组内部的个人每人要赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第二阶段中，每个小组内部人中每人赛一场，组内赛场，共个小组，有场；第三阶段赛场．根据加法原理，整个赛程一共有场比赛。15、由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个。(2007年“迎春杯〞高年级组决赛)这是一道组合计数问题．由于题目中仅要求，，至少各出现一次，没有确定，，出现的具体次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由组成的五位数中，去掉仅有个或个数字组成的五位数即可．(法1)分两类：⑴，，中恰有一个数字出现次，这样的数有(个)；⑵，，中有两个数字各出现次，这样的数有(个)．符合题意的五位数共有(个)．(法2)从反面想，由，，组成的五位数共有个，由，，中的某个数字组成的五位数共有个，由，，中的某个数字组成的五位数共有个，所以符合题意的五位数共有(个)。16、个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？(法1)乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场上，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有种选择，总共就有种选择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲〞这样的情况本来是同一种选择，而却算作了两种，所以最后的结果应该是()(种)．(法2)排除法．可以从所有的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为，而被选的两个人相邻的情况有种，所以共有(种)。17、8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间〔不一定相邻〕，小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？冬冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，那么可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：〔种〕同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：〔种〕因此同时满足三个条件的站法总数为：〔种〕。18、小明有10块大白兔奶糖,从今天起,每天至少吃一块.那么他一共有多少种不同的吃法?我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一列,如果在其中9个间隙中的某个位置插入“木棍〞,那么将lO块糖分成了两局部。我们记从左至右,第1局部是第1天吃的,第2局部是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒：○○○○|○○○|○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不难知晓,每一种插入方法对应一种吃法,而9个间隙,每个间隙可以插人也可以不插入,且相互独立，故共有29=512种不同的插入方法,即512种不同的吃法。19、某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为平安起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有平安乘船方法共有多少种？由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船．⑴假设这人都不乘坐船，那么恰好坐满两船，①假设两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；②假设两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，那么船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法．故人都不乘坐船有种平安方法；⑵假设这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择．其余的个成人与个儿童，①假设两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；②假设两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种平安方法．所以，共有种平安乘法．20、从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛．在以下条件下，分别有多少种选法？⑴恰有名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。⑴恰有名女生入选，说明男生有人入选，应为种；⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选〞和“没有女生入选〞都不符合要求．运用包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：；⑶人必须入选，那么从剩下的人中再选出另外人，有种；⑷从所有的选法种中减去这个人同时入选的种：．⑸分三类情况：人无人入选；人仅有人入选；人中有人入选，共：。21、在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照以下条件各有多少种选派方法？

⑴有3名内科医生和2名外科医生；

⑵既有内科医生，又有外科医生；

⑶至少有一名主任参加；

⑷既有主任，又有外科医生。⑴先从名内科医生中选名，有种选法；再从名外科医生中选名，共有种选法．根据乘法原理，一共有选派方法种．⑵用“去杂法〞较方便，先考虑从名医生中任意选派人，有种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有人，所以不可能只派外科医生．如果只派内科医生，有种选派方法．所以，一共有种既有内科医生又有外科医生的选派方法。⑶如果选名主任，那么不是主任的名医生要选人，有种选派方法；如果选名主任，那么不是主任的名医生要选人，有种选派方法．根据加法原理，一共有种选派方法．⑷分两类讨论：①假设选外科主任，那么其余人可任意选取，有种选取方法；②假设不选外科主任，那么必选内科主任，且剩余人不能全选内科医生，用“去杂法〞有种选取法．根据加法原理，一共有种选派方法。22、在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？按具有双项技术的学生分类：⑴两人都不选派，有(种)选派方法；⑵两人中选派人，有种选法．而针对此人的任务又分两类：假设此人要安装电脑，那么还需人安装电脑，有(种)选法，而另外会安装音响设备的人全选派上，只有种选法．由乘法原理，有(种)选法；假设此人安装音响设备，那么还需从人中选人安装音响设备，有(种)选法，需从人中选人安装电脑，有(种)选法．由乘法原理，有(种)选法．根据加法原理，有(种)选法；综上所述，一共有(种)选派方法．⑶两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：①两人全安装电脑，那么还需要从人中选人安装电脑，另外会安装音响设备的人全选上安装音响设备，有(种)选派方案；②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有(种)选派方案；③两人全安装音响设备，有(种)选派方案．根据加法原理，共有(种)选派方案．综合以上所述，符合条件的方案一共有(种)．23、有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张？针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类：⑴多面手不参加，那么需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择．由乘法原理，有种选择．⑵多面手中有一人入选，有种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，那么需从名英语翻译员中再选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择．由乘法原理，有种选择；如果参加日文翻译，那么需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中再选知名，有种选择．由乘法原理，有种选择．根据加法原理，多面手中有一人入选，有种选择．⑶多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．情况①中，还需从名英语翻译员中选出人，有种选择．需从名日语翻译员中选人，种选择．由乘法原理，有种选择．情况②中，需从名英语翻译员中选出人，有种选择．还需从名日语翻译员中选出人，有种选择．根据乘法原理，共有种选择．情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择．由乘法原理，有种选择．容斥原理1、有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是()A43,25B32,25C32,15D43,11【解析：】根据容斥原理最小值68+43-100＝11最大值就是含铁的有43种2、在多元智能大赛的决赛中只有三道题.:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是()A，5B，6C，7D，8【解析：】根据“每个人至少答出三题中的一道题〞可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123由〔1〕知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①由〔2〕知：a2+a23＝〔a3+a23〕×2……②由〔3〕知：a12+a13+a123＝a1－1……③由〔4〕知：a1＝a2+a3……④再由②得a23＝a2－a3×2……⑤再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥然后将④⑤⑥代入①中，整理得到a2×4+a3＝26由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。故只解出第二题的学生人数a2＝6人。3、一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？【解析：】答案：及格率至少为71％。假设一共有100人考试100-95＝5100-80＝20100-79＝21100-74＝26100-85＝155+20+21+26+15＝87〔表示5题中有1题做错的最多人数〕87÷3＝29〔表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人〕100-29＝71〔及格的最少人数，其实都是全对的〕及格率至少为71％某大楼里有125盏灯，按1,2，3，…,125编号，每盏灯有一个拉线开关，拉一次灯亮，再拉一次灯熄。工程师做实验，他先把所有号码是4的倍数的灯的开关拉1次，再把所有号码是6的倍数的灯的开关拉1次，同时再拉1次号码是4的倍数、但不是6的倍数的灯开关，问：现在有多少盏灯是亮的？【解析：】号码是4的倍数的灯有4，8，12，…，124，共31盏；号码是6的倍数的灯有6，12，18，…，120，共20盏；号码是4的倍数也是6的倍数的灯有12，24，36，…，120，共10盏。号码是4的倍数，但不是6的倍数的灯有31-10=21盏。那么亮的灯数是20-10=10(盏)。5、A、B、C三位质检员对流水线上的书包进行检查，A每3个书包抽查1个，B每5个书包抽查1个，C每7个书包抽查1个，一共有250个书包通过流水线，假定A、B、C首个抽查到的书包分别是第三个、第五个和第七个，试求：(1)没被抽查到的书包数。(2)在A或B抽查到的书包中，没被C抽查到的书包数。【解析：】(1)250内，3的倍数有83个，5的倍数有50个，7的倍数有35个，15的倍数有16个，21的倍数有11个，35的倍数有7个，105的倍数有2个，没被抽查到的书包有250-83-50-35+16+11+7-2=114(个)。是3或5的倍数，但不是7的倍数的有83+50-16-11-7+2=101(个)。6、学校举行趣味运动会，班里的同学有20人报名。参加障碍过河比赛的有10人，参加自行车慢骑的有13人，参加“袋鼠跳〞比赛的有15人，障碍过河、“袋鼠跳〞都参加的有9人，障碍过河、自行车慢骑都参加的有6人，自行车慢骑、“袋鼠跳〞都参加的有8人，你能画出参加比赛的人数文氏图吗？【解析：】三项比赛都参加的人数为：20-10-13-15+9+8+6=5(人)。文氏图如下：7、某体育学校的运发动中，会游泳的有15人，会跳高的有12人，会跳远的有9人，以上三个工程只会其中两种的有13人，会三种的有5人，那么只会其中两种的人分别有多少可能？【解析：】设只会游泳、跳高的有x人，只会游泳、跳远的有y人，只会跳高、跳远的有z人，那么

共有6组解：(1)x=7,y=4,z=2；(2)x=7,y=3,z=3；(3)x=7,y=2,z=4；(4)x=6,y=4,z=3；(5)x=6,y=3,z=4；(6)x=5,y=4,z=4。8、在一所中学的实验班里，60个学生参加过竞赛。其中参加过数学竞赛的有30人，参加过英语竞赛的有25人，参加过作文比赛的有17人，参加过数学竞赛和英语竞赛的有12人，参加过英语竞赛和作文比赛的有10人，参加过数学竞赛和作文比赛的有7人，那么三种竞赛都参加过的学生有()人。请写出过程：抽屉原理、奇偶性问题练1把40名小朋友看做40个抽屉，将125件玩具放入这些抽屉，因为125＝3×40+5，根据抽屉原理，可知至少有一个抽屉有4件或4件以上的玩具，所以肯定有人会得到4件或4件以上的玩具。把三个笔盒看做3个抽屉，因为16＝5×3+1，根据抽屉原理可以至少有一个笔盒里的笔有6枝或6枝以上。把盒子数看成抽屉，要使其中一个抽屉里至少有7个球，那么球的个数至少应比抽屉个数的〔7－1〕倍多1，而25＝4×〔7－1〕+1，所以最多方子4个盒子里，才能保证至少有一个盒子里有7个球。练2最少应取出〔3－1〕×5+1＝11个球至少取出〔4－1〕×3+1＝10块木块。如果没有两张王牌，至少要取〔4－1〕×13+1＝40张，再加上两张王牌，至少要摸出40+2＝42张，才能保证其中必有4张牌点数相同。练3小学六年中最多有2个闰年，共366×2+365×4＝2191天，因为13170＝6×2192+18，所以其中一定有7人是同年同月同日生的。参加课外兴趣小组的学生共分四种情况，只参加一个组的有4种类型，只参加两个组的有6种类型，只参加三个字的有4种类型，参加四个组的有1种类型。把4+6+4+1＝15种类型看作15个抽屉，把46个学生放入这些抽屉，因为46＝15×3+1，所以班级中至少有4名学生参加的工程完全相同。全班订阅报刊的类型共有3+3+1＝7种，因为37＝5×7+2，所以其中至少有6位学生订的报刊相同。练4在1～50中，5的倍数有50÷5＝10个，不是5的倍数的就有50－10＝40个，至少要取出40+1＝41个不同的数才能保证其中有个数能贝5整除。在1～120中，4的倍数有120÷4＝30个，不是4的倍数有120－30＝90个，正是要取出90+1＝91个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数。差是5的两数有以下5组：1、6，11、16，21、26，31、36；2、7，12、17，22、27；3、8，13、18，23、28、33；4、9，14、19，24、29，34；5、10，15、20，25、30、35。要使取出的数中没有两个数的差是5的倍数，最多只能从每组中各取1个数，即最多可以取5个数。练5把11秒钟看做11个抽屉，把100米看作100个元素，因为100＝9×11+1，所以必有1个抽屉里超过9米，即必有某一秒钟，他跑的距离超过9米。如图答30－1，把边长为2的等边三角形分成四个边长为1的小等边三角形。把它看作4个抽屉，5个点看作5个元素，那么一定有一个小三角形内有2个点，这2个点之间的距离不超过1。3、先把长方形的每边剪去宽1厘米的长条，余下一个50×40的长方形，它的面积为2000平方厘米，再把每个圆的半径放大1厘米成为3厘米的圆，假设剪去后的长方形至少有一个点未被70个镶边后的圆盖住的话，那么原来的长方形中就能放进一个以这点为圆心的圆。因为×32×70的值就小于630×3.15＝1984.52000，所以在原来的长方形中一定可以放进一个半径为1厘米的圆。例题6、1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？【解析：】此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。解法1：∵1+2+3+…+1993又∵997和1993是奇数，奇数×奇数=奇数，∴原式的和是奇数。解法2：∵1993÷2=996…1，∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。∵996个偶数之和一定是偶数，又∵奇数个奇数之和是奇数，∴997个奇数之和是奇数。因为，偶数+奇数=奇数，所以原式之和一定是奇数。例题7、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？【解析：】解法1：∵相邻两个奇数相差2，∴150是这个要求数的2倍。∴这个数是150÷2=75。解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a+1，2a-1〔a≥1〕.那么有〔2a+1〕x-〔2a-1〕x=150，2ax+x-2ax+x=150，2x=150，x=75。∴这个要求的数是75。例题8、元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？【解析：】此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。送贺年卡的人可以分为两种：一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。例题9、a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。【解析：】证明：∵a、b、c中有两个奇数、一个偶数，∴a、c中至少有一个是奇数，∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。又∵偶数×整数=偶数，∴〔a-1〕×〔b-2〕×〔c-3〕是偶数。例题10、如以下图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“保护树木〞的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数〔以米为单位〕，这是为什么？【解析：】任意挑选三棵树挂上小牌，假设第一棵挂牌的树与第二棵挂牌的树之间相距a米，第二棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间相距b米，那么第一棵挂牌的树与第三棵挂牌的树之间的距离c=a+b〔米〕〔如以下图〕，如果a、b中有一个是偶数，题目已得证；如果a、b都是奇数，因为奇数+奇数=偶数，所以c必为偶数，那么题目也得证。小试牛刀1．为保证取出的球中有两个球的颜色相同，那么最少要取出4个球。2．最少要抽取29张牌，方能保证其中至少有3张牌有相同的点数。3．证明：A、B、C、D四类书，根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种，分别是：因为有11名学生到老师家借书，而只有10种借书情况，因此必有两个学生所借的书的类型相同。4．证明，所谓单循环赛即每个运发动都与其它运发动进行一场比赛。即每个人要参加49场比赛，这样如果假设没有运发动积分相同，因为没有全胜，那么运发动的积分就有48胜、47胜……2胜、1胜、0胜共49个积分情况，而50名运发动需要有50个不同的积分结果，这里“49个积分情况〞与“需要50个积分结果〞出现了矛盾，所以假设“没有运发动积分相同〞是错误的，因此一定有两个运发动积分相同。5．至少有9名同学所拿的球种类是一致的。6．那么参赛男生46人。7．至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。8．至少把这些水果分成了5堆。分四种情况：9．至少选出51个数，其中必有两个数的和是100。10．46乘客带苹果。11．提示：分值从0～100，共101种可能的分值，10101÷〔0＋1＋2＋……＋100〕＝2……1，那么至少有3人得分相同。12．至少有335个人游览的地方完全相同。13．那么至少有5人植树的株数相同。14、偶数至多有48个。15、提示：先按规律写出一些数来，再找其奇、偶性的排列规律，便可得到答案：不会依次出现1、9、8、8这四个数。16、设四个连续奇数是2n＋1，2n＋3，2n＋5，2n＋7，n为整数，那么它们的和是〔2n+1〕＋〔2n＋3〕＋〔2n＋5〕+〔2n＋7〕＝2n×4＋16＝8n+16=8〔n+2〕。所以，四个连续奇数的和是8的倍数。17、证明：设填入数分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6.有假设要证明的结论不成立，那么有：∵偶数≠奇数，∴假设不成立，命题得证。18、应选择〔B〕.参考例3。19、是偶数.参考例3。20、不能.因为5个奇数的和为奇数，不可能等于20。21、能.例如第一次78910第二次3456第三次2345第四次134522、这种交换方法是不可行的.参考例12。23、利用黑白相间染色方法可以证明：不可能剪成由7个相邻两个方格组成的长方形，因为图形中一种颜色有8格，另一种颜色有6格，而每个相邻两个方格组成的长方形是一黑格一白格，7个这样的长方形共7黑格7白格.与图形相矛盾.行程问题1、某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？【解析：】这个题可以简单的找规律求解

时间车辆

4分钟9辆

6分钟10辆

8分钟9辆

12分钟9辆16分钟8辆

18分钟9辆

20分钟8辆

24分钟8辆

由此可以看出：每12分钟就减少一辆车，但该题需要注意的是：到了剩下一辆的时候是不符合这种规律的到了12*9=108分钟的时候，剩下一辆车，这时再经过4分钟车厂恰好没有车了，所以第112分钟时就没有车辆了，但题目中问从第一辆出租汽车开出后，所以应该为108分钟。2、小峰骑自行车去小宝家聚会，一路上小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从前方超越小峰，小峰骑车到半路，车坏了，小峰只好打的去小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车，出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，那么如果公交车的发车时间间隔和行驶速度固定的话，公交车的发车时间间隔为多少分钟？【解析：】间隔距离=〔公交速度-骑车速度〕×9分钟；间隔距离=〔出租车速度-公交速度〕×9分钟所以，公交速度-骑车速度=出租车速度-公交速度；公交速度=〔骑车速度+出租车速度〕/2=3×骑车速度.由此可知，间隔距离=〔公交速度-骑车速度〕×9分钟=2×骑车速度×9分钟=3×骑车速度×6分钟=公交速度×6分钟.所以公交车站每隔6分钟发一辆公交车.3、小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?【解析：】火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米/小时)，车身长是:20×15=300(米)4、一条单线铁路上有A,B,C,D,E5个车站,它们之间的路程如下图(单位:千米).两列火车同时从A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟?【解析：】BBECAD225千米25千米15千米230千米两列火车同时从A,E两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.从图中可知,AE的距离是:225+25+15+230=495(千米)两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时)相遇处距A站的距离是:60×4.5=270(千米)而A,D两站的距离为:225+25+15=265(千米) 由于270千米>265千米,从A站开出的火车应安排在D站相遇,才能使停车等待的时间最短.因为相遇处离D站距离为270-265=5(千米),那么,先到达D站的火车至少需要等待:(小时)，小时=11分钟5、乙船顺水航行2小时，行了120千米，返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路，用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【解析：】乙船顺水速度：120÷2=60〔千米/小时〕.乙船逆水速度：120÷4=30〔千米/小时〕。水流速度：〔60-30〕÷2＝15〔千米/小时〕.甲船顺水速度：12O÷3＝4O〔千米/小时〕。甲船逆水速度：40-2×15=10〔千米/小时〕.甲船逆水航行时间：120÷10=12〔小时〕。甲船返回原地比去时多用时间：12-3=9〔小时〕．6、一条小河流过A，B,C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米?【解析：】如下画出示意图有AB段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有BC段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时．而从AC全程的行驶时间为8-1=7小时．设AB长千米,有,解得=25．所以A,B两镇间的距离是25千米.7、现在是10点，再过多长时间，时针与分针将第一次在一条直线上？【解析:】时针的速度是360÷12÷60=0.5(度/分)，分针的速度是360÷60=6(度/分)即分针与时针的速度差是6-0.5=5.5(度/分)，10点时，分针与时针的夹角是60度，第一次在一条直线时，分针与时针的夹角是180度，即分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。所以答案为(分)8、有一座时钟现在显示10时整．那么，经过多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分钟，分针与时针第二次重合?【解析：】在lO点时，时针所在位置为刻度10，分针所在位置为刻度12；当两针重合时，分针必须追上50个小刻度，设分针速度为“l〞，有时针速度为“〞，于是需要时间：．所以，再过分钟，时针与分针将第一次重合．第二次重合时显然为12点整，所以再经过 分钟，时针与分针第二次重合．标准的时钟，每隔分钟，时针与分针重合一次．我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成：一般时钟的表盘大刻度有12个，即为小时数；小刻度有60个，即为分钟数．所以时针一圈需要12小时，分针一圈需要60分钟(1小时)，时针的速度为分针速度的．如果设分针的速度为单位“l〞，那么时针的速度为“〞．9、某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分〔如右图所示〕。当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？【解析：】标准钟一昼夜是24×60=1440〔分〕，怪钟一昼夜是100×10=1000〔分〕怪钟从5点到6点75分，经过175分，根据十字交叉法，1440×175÷1000=252〔分〕即4点12分。10、手表比闹钟每时快60秒，闹钟比标准时间每时慢60秒。8点整将手表对准，12点整手表显示的时间是几点几分几秒？【解析：】按题意，闹钟走3600秒手表走3660秒，而在标准时间的一小时中，闹钟走了3540秒。所以在标准时间的一小时中手表走3660÷3600×3599=3599〔秒〕，即手表每小时慢1秒，所以12点时手表显示的时间是11点59分56秒。11、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，那么A、B两地相距多少千米？【解析：】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4:3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程．所以A、B两地相距(千米)．12、B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：假设丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷〔3－1〕=5〔分钟〕此时拿上乙拿错的信当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30〔分钟〕，同理丙追及时间为30÷〔3－1〕=15〔分钟〕，此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50〔分钟〕，此时追及乙需要：50÷〔3－1〕=25〔分钟〕，返回B地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90〔分钟〕同理先追及甲需要时间为120分钟。13、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？【解析：】两车相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，此时甲、乙的速度比为，所以甲到达B地时，乙又走了，距离A地，所以A、B两地的距离为(千米13、在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析：】由题意知，甲行4分相当于乙行6分.〔抓住走同一段路程时间或速度的比例关系〕

从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20〔分〕，乙需20÷4×6＝30〔分〕.14、一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【解析：】当以原速行驶到全程的时，总时间也用了，所以还剩下分钟的路程；修理完毕时还剩下分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为，因此每分钟应比原来快米．小结：此题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便．15、狗跑5步的时间马跑3步，马跑4步的距离狗跑7步，现在狗已跑出30米，马开始追它。问：狗再跑多远，马可以追上它？【解析：】根据“马跑4步的距离狗跑7步〞，可以设马每步长为7x米，那么狗每步长为4x米。根据“狗跑5步的时间马跑3步〞，可知同一时间马跑3*7x米＝21x米，那么狗跑5*4x＝20米。可以得出马与狗的速度比是21x：20x＝21：20根据“现在狗已跑出30米〞，可以知道狗与马相差的路程是30米，他们相差的份数是21-20＝1，现在求马的21份是多少路程，就是30÷〔21-20〕×21＝630米16、甲乙辆车同时从ab两地相对开出，几小时后再距中点40千米处相遇？，甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时，求ab两地相距多少千米？【解析：】答案720千米。由“甲车行完全程要8小时，乙车行完全程要10小时〞可知，相遇时甲行了10份，乙行了8份〔总路程为18份〕，两车相差2份。又因为两车在中点40千米处相遇，说明两车的路程差是〔40+40〕千米。所以算式是〔40+40〕÷〔10-8〕×〔10+8〕＝720千米。17、在一个600米的环形跑道上，兄两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，假设两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，那么两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？【解析：】答案为两人跑一圈各要6分钟和12分钟。解：600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和〔50+150〕÷2=100，表示较快的速度，方法是求和差问题中的较大数〔150-50〕/2=50，表示较慢的速度，方法是求和差问题中的较小数600÷100=6分钟，表示跑的快者用的时间600/50=12分钟，表示跑得慢者用的时间18、慢车车长125米，车速每秒行17米，快车车长140米，车速每秒行22米，慢车在前面行驶，快车从后面追上来，那么，快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车需要多少时间？【解析：】答案为53秒算式是〔140+125)÷(22-17)=53秒可以这样理解：“快车从追上慢车的车尾到完全超过慢车〞就是快车车尾上的点追及慢车车头的点，因此追及的路程应该为两个车长的和。19、在300米长的环形跑道上，甲乙两个人同时同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，两人起跑后的第一次相遇在起跑线前几米？【解析：】答案为100米300÷〔5-4.4〕＝500秒，表示追及时间5×500＝2500米，表示甲追到乙时所行的路程2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及总路程为8圈还多100米，就是在原来起跑线的前方100米处相遇。20、一个人在铁道边，听见远处传来的火车汽笛声后，在经过57秒火车经过她前面，火车鸣笛时离他1360米，(轨道是直的),声音每秒传340米，求火车的速度〔得出保存整数〕【解析：】答案为22米/秒算式：1360÷(1360÷340+57〕≈22米/秒关键理解：人在听到声音后57秒才车到，说明人听到声音时车已经从发声音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4+57＝61秒。21、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步，问猎犬至少跑多少米才能追上兔子。【解析：】正确的答案是猎犬至少跑60米才能追上。解：由“猎犬跑5步的路程，兔子要跑9步〞可知当猎犬每步a米，那么兔子每步5/9米。由“猎犬跑2步的时间，兔子却能跑3步〞可知同一时间，猎犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。从而可知猎犬与兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是说当猎犬跑60米时候，兔子跑50米，本来相差的10米刚好追完22、AB两地,甲乙两人骑自行车行完全程所用时间的比是4:5,如果甲乙二人分别同时从AB两地相对行使,40分钟后两人相遇,相遇后各自继续前行,这样，乙到达A地比甲到达B地要晚多少分钟?【解析：】答案：18分钟解：设全程为1,甲的速度为x乙的速度为y列式40x+40y=1x:y=5:4得x=1/72y=1/90走完全程甲需72分钟,乙需90分钟故得解23、甲乙两车同时从AB两地相对开出。第一次相遇后两车继续行驶，各自到达对方出发点后立即返回。第二次相遇时离B地的距离是AB全程的1/5。甲车在第一次相遇时行了120千米。AB两地相距多少千米？【解析：】答案是300千米。解：通过画线段图可知，两个人第一次相遇时一共行了1个AB的路程，从开始到第二次相遇，一共又行了3个AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，从线段图可以看出，甲一共走了全程的〔1+1/5〕。因此360÷〔1+1/5〕＝300千米24、一船以同样速度往返于两地之间，它顺流需要6小时;逆流8小时。如果水流速度是每小时2千米，求两地间的距离？【解析：】〔1/6-1/8〕÷2＝1/48表示水速的分率2÷1/48＝96千米表示总路程25、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，快车每小时行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，慢车行完全程需要8小时，求甲乙两地的路程。【解析：】相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3时间比为3：4所以快车行全程的时间为8/4*3＝6小时6*33＝198千米26、小华从甲地到乙地,3分之1骑车,3分之2乘车;从乙地返回甲地,5分之3骑车,5分之2乘车,结果慢了半小时.,骑车每小时12千米,乘车每小时30千米,问:甲乙两地相距多少千米?【解析：】把路程看成1，得到时间系数去时时间系数：1/3÷12+2/3÷30返回时间系数：3/5÷12+2/5÷30两者之差：〔3/5÷12+2/5÷30〕-〔1/3÷12+2/3÷30〕=1/75相当于1/2小时去时时间：1/2×〔1/3÷12〕÷1/75和1/2×〔2/3÷30〕1/75路程：12×〔1/2×〔1/3÷12〕÷1/75〕+30×〔1/2×〔2/3÷30〕1/75〕=37.5〔千米〕比例问题1、甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求.【解析：】由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的，同样的乙等于甲、丙两数和的，同样的丙等于甲、乙两个数和的，所以甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的倍也等于丙的，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为多少？【解析：】甲的一半、乙的倍、丙的这三个数的比为，所以甲、乙、丙这三个数的比为即，化简为，那么甲的、乙的倍、丙的一半这三个数的比为即，化简为如以下图所示，圆与圆的面积之和等于圆面积的，且圆中的阴影局部面积占圆面积的，圆的阴影局部面积占圆面积的，圆的阴影局部面积占圆面积的．求圆、圆、圆的面积之比。【解析：】设与的共同局部的面积为，与的共同局部的面积为，那么根据题意有，，，于是得到，这条式子可化简为，所以.最后得到某俱乐部男、女会员的人数之比是，分为甲、乙、丙三组．甲、乙、丙三组的人数比是，甲组中男、女会员的人数之比是，乙组中男、女会员的人数之比是．求丙组中男、女会员人数之比。【解析：】以总人数为1，那么甲组男会员人数为，女会员为，乙组男会员为，女会员为；丙组男会员为，女会员为；所以，丙组中男、女会员人数之比为某团体有名会员，男女会员人数之比是，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为、、，那么丙组有多少名男会员？【解析：】会员总人数人，男女比例为，那么可知男、女会员人数分别为人、人；又甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，那么可知甲组人数为人，乙、丙人数之和为人，可设丙组人数为人，那么乙组人数为人，又甲组男、女会员比为，那么甲组男、女会员人数分别为人、人，又乙、丙两组男、女会员比例，那么可得：，解得．即丙组会员人数为人，又男、女比例，可得丙组男会员人数为人(2007年华杯赛总决赛)、、三项工程的工作量之比为，由甲、乙、丙三队分别承当．三个工程队同时开工，假设干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，那么甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【解析：】根据题意，如果把工程的工作量看作，那么工程的工作量就是，工程的工作量就是．设甲、乙、丙三个工程队的工作效率分别为、、.经过天，那么：将⑶代入⑵，得，将⑷代入⑴，得，，将代入⑴，得．代入⑶，得．甲、乙、丙三队的．工作效率的连比是7、[1]某校毕业生共有9个班，每班人数相等．[2]一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；[3]四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少?【解析：】如下表所示，由[2]知，一、二、三班的男生总数比二、三班总人数多1；由[3]知，四至九班的男生总数比四、五、六班总人数少1．一班男生比二、三班女生多1人加上二、三班男生二、三班男生一、二、三班男生比二、三班总人数多1人七、八、九班男生比四、五、六班女生少1人加上四、五、六班男生四、五、六班男生四、五、六、七、八、九班男生比四、五、六班总人数少1人因此，一至九班的男生总数是二、三、四、五、六共五个班的人数之和，由于每班人数均相等，那么女生总数等于四个班的人数之和．所以，男、女生人数之比是一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到个，而甲、乙两班的人数比为，求一共有多少个苹果？【解析：】一共有个苹果。一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，那么一班和二班的人数比变为．求原来两班的人数？【解析：】原来一班的人数为两班总人数的，调班后一班的人数是两班人数的，调班前后一班人数的比值为，所以一班原来的人数为人，二班原来的人数为人。幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．大班男生数与女生数的比为，中班男生数与女生数的比为，那么大班有女生多少名？【解析：】由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡兔同笼的方法．假设18名女生全部是大班，那么大班男生数：女生数，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又中班男生数：女生数，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，所以需要换2组；所以，大班女生有(名)甲、乙两只蚂蚁同时从点出发，沿长方形的边爬去，结果在距点厘米的点相遇，乙蚂蚁的速度是甲的倍，求这个长方形的周长。【解析：】两只蚂蚁在距点厘米的点相遇，说明乙比甲一共多走了(厘米)．又知乙蚂蚁的速度是甲蚂蚁的倍，相同时间内乙蚂蚁爬的路程与甲蚂蚁爬的路程比为：1.2：1＝6：5，所以甲爬的路程是(厘米)，乙爬的路程是(厘米)，长方形的周长为(厘米)甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【解析：】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×〔1－20％〕]∶[4×〔1＋20％〕]＝4∶4．8＝5∶6．相遇时，甲、乙分别走了全程的和。设全程x千米，剩下的局部甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的4/9，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩1-＝，没有走所以A、B全长为450千米师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【解析：】师傅与徒弟的工作效率之比是，工作时间相同，工作量与工作效率成正比，所以师傅与徒弟分别完成总量的和，师傅和徒弟一共加工了个零件、、三个水桶的总容积是公升，如果、两桶装满水，桶是空的；假设将桶水的全部和桶水的，或将桶水的全部和桶水的倒入桶，桶都恰好装满．求、、三个水桶容积各是多少公升？【解析：】根据题意可知，桶水的全部加上桶水的等于桶水的全部加上桶水的，所以桶水的等于桶水的，那么桶水的全部等于桶水的，桶水为桶水的．所以、、三个水桶的容积之比是．又、、三个水桶的总容积是公升，所以桶的容积是公升，桶的容积是公升，桶的容积是公升。一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？【解析：】如果只将长边截去，宽、长之比为，所以宽边的长度为厘米，所以原来铁板的长为厘米一把小刀售价元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为．小明原来有多少钱？【解析：】由，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的，小明的钱相当于小