第一课时离散型随机变量

7.2离散型随机变量及其分布列第一课时离散型随机变量1.理解随机变量的含义，了解随机变量与函数的区别与联系.2.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义.3.通过随机变量的概念，培养数学抽象的素养.借助随机变量间的关系解题，提升数学运算的素养(一)教材梳理填空1．随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有

的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量．2．离散型随机变量可能取值为

或可以

的随机变量，称为离散型随机变量．[微思考]离散型随机变量中，与试验结果相对应的实数有何特点？

提示：依据离散型随机变量的定义可知：与试验结果相对应的实数是间断的、离散的并且是有限个.唯一有限个一一列举(二)基本知能小试1．判断正误(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．

(

)(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量．(

)(3)离散型随机变量的取值是任意的实数．

(

)(4)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．

(

)答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)×2．下列变量中，是离散型随机变量的是

(

)A．到2022年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高C．下次运动会我校跳远冠军的成绩D．某人投篮10次，可能投中的次数解析：根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A、B、C均不符合离散型随机变量的定义，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．答案：D

3．同时抛掷5枚硬币，得到硬币反面向上的个数为ξ，则ξ的所有可能取值的集合为________．解析：当硬币全部为正面向上时，ξ＝0，硬币反面向上的个数还可能有1个，2个，3个，4个，也可能都反面向上，即5个．答案：{0,1,2,3,4,5}题型一随机变量的概念

[学透用活][典例1]指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由：(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚质地均匀的硬币3次，出现正面向上的次数；(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；(4)某个人的属相随年龄的变化．[解]

(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷3次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3，而且出现哪种结果是随机的，因此正面向上的次数是随机变量．(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即(1)试验在相同条件下是否可重复进行；(2)试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．[对点练清]1．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是

(

)A．取到产品的件数 B.取到正品的概率C．取到次品的件数 D.取到次品的概率解析：对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B、D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．答案：C

2．下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．(4)体积为64cm3的正方体的棱长．解：(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(4)体积为64cm3的正方体的棱长为4cm，是定值，不是随机变量．题型二离散型随机变量的判断

[探究发现]判断一个随机变量是否为离散型随机变量的关键是什么？提示：关键是判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出，如果可以一一列出，随机变量X就是离散型随机变量，否则就不是．

[学透用活][典例2]

(1)下列叙述中是离散型随机变量的为

(

)A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D．袋中有2个黑球，6个红球，任取3个，其中含有红球的可能性(2)某市公交公司规定：身高不超过120cm的学生免费乘车，凡身高超过120cm的学生，每次乘车0.5元，若学生每次乘车应交的车费为η(单位：元)，学生的身高用ξ(单位：cm)表示，那么ξ和η是不是离散型随机变量？若是，请写出相应的取值情况．[解析]

(1)选C对于选项A，是随机变量，但不是离散型的；同理选项B也是随机变量，但不是离散型的；对于选项C命中的次数在0,1,2，…，10中的任意一个值，所以它是离散型随机变量；对于选项D，其可能性为100%，所以它不是随机变量．“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．(2)由条件求解随机变量的值域．(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．

[对点练清]1．(多选)下列随机变量，其中X是离散型随机变量的为

(

)A．今天数学课，我被提问到的次数XB．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为XC．某公交车每15分钟一班，某人在站台等该公交车的时间为X分钟D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分解析：A、B、D中的随机变量X的取值可以按一定的次序一一列出，故它们都是离散型随机变量；C中的X可以取区间[0,15]内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．答案：ABD

2．指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某超市5月份每天的销售额；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)某市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ.解：(1)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．题型三用随机变量表示随机试验的结果

[学透用活](1)所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．(2)写随机变量表示的结果，要看三个特征：①可用数来表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值；③在试验之前不能确定取值．[典例3]写出下列随机变量可能取的值，

并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)袋中有大小相同的红球10个，

白球5个，

从袋中每次任取1个球，

取后不放回，

直到取出的球是白球为止，

所需要的取球次数．(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，

所取卡片上的数字之和．[解]

(1)设所需的取球次数为X,则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前(i－1)次取到的均是红球，

第i次取到白球，

这里i＝1,2,3,4，…，11.(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X＝3,4,5，…，11.X＝3,表示“取出标有1,2的两张卡片”；X＝4,表示“取出标有1,3的两张卡片”；X＝5,表示“取出标有2,3或1,4的两张卡片”；X＝6,表示“取出标有2,4或1,5的两张卡片”；X＝7,表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片”；X＝8,表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”；X＝9,表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”；X＝10,表示“取出标有4,6的两张卡片”；X＝11,表示“取出标有5,6的两张卡片”．用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．

[对点练清]1．[变设问]若本例(2)中条件不变，

所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ，

请问ξ有哪些取值？

其中ξ＝4表示什么含义？解：ξ的所有可能取值有：1,2,3,4,5.ξ＝4表示“取出标有1,5或2,6的两张卡片”．2．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果．解：根据题意可知X的可能取值为4,5,6,7.X＝4表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局．X＝5表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出．X＝6表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出．X＝7表示在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出．[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，则写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)从学校回家要经过5个红绿灯口，可能遇到红灯的次数；(2)在优、良、中、及格、不及格5个等级的测试中，某同学可能取得的成绩．解：(1)能用离散型随机变量表示．设可能遇到红灯的次数为X，它的可能取值的集合为{0,1,2,3,4,5}．事件{X＝0}表示经过5个红绿灯口时，遇到都不是红灯；事件{X＝1}表示经过5个红绿灯口时，遇到1次红灯；事件{X＝2}表示经过5个红绿灯口时，遇到2次红灯；事件{X＝3}表示经过5个红绿灯口时，遇到3次红灯；事件{X＝4}表示经过5个红绿灯口时，遇到4次红灯；事件{X＝5}表示经过5个红绿灯口时，遇到的都是红灯．则X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值的集合是{1,2,3,4,5}．事件{X＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X＝5}表示该同学取得的成绩为优．二、应用性——强调学以致用2．某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪800元，每工作1h再获取15元