相似三角形复习公开课

如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得到的新三角形与原△ABC相似.问：你能画出符合条件的直线吗？

DACB温故知新(1)EE相似三角形的判定方法1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似2、有两角对应相等的两个三角形相似A．B．C．D．ABC如图，每个小正方形边长均为1，那么以下图中的三角形〔阴影局部〕与左图中相似的是〔〕3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似4、三边对应成比例的两三角形相似B相似三角形的判定方法温故知新(1)1、根据以下条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为什么？(1)∠A=40°,∠B=80°,∠A′=40°,∠C′=60°课堂抢答ABC40°80°60°40°A′B′C′1、根据以下条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？为什么？(2)∠A=40°，AB=3，AC=6∠A′=40°，A′B′=7，A′C′=14课堂抢答7ABC40°40°A′B′C′14361、根据以下条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？为什么？(3)AB=4，BC=6，AC=8A`B`=18，B`C`=12，A`C`=21课堂抢答18ABCA`B`C`21486122424如何改变△A`B`C`的其中一条边使△ABC与△A`B`C`相似？1.找一找:(1)如图1,:DE∥BC,EF∥AB,那么图中共有_____对三角形相似.ABCDEF如图(1)3(2)如图3，∠1=∠2=∠3,那么图中相似三角形的组数为________.ADBEC132如图(2)4渐入佳境(3):四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,那么图中共有_____对三角形相似.·ABCDEO(4):四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,且AC平分∠BAD,那么图中共有_____对三角形相似.·ABCDEO1234渐入佳境2.在平面直角坐标系，B〔1，0〕,A〔3，－3〕,C〔3，0〕,点P在y轴的正半轴上运动，假设以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，那么点P的坐标是__________________.y·ABCx··O渐入佳境3.如图：在⊿ABC中，

∠C=90°,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：AQPCBAQPCB经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？渐入佳境，D、E为△ABC中BC、AC上两点，CE=3，CA=8，CB=6，假设∠CDE=∠A，那么：CD=_____，△CDE的周长:△CAB的周长=_______,△CDE的面积:△CAB的面积=______.

温故知新(2)EABCD41：21：4如图，平行四边形ABCD,CE=BCS△ADF=16,那么S△CEF=，平行四边形ABCD的面积为？ACFEBD如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，那么S△DEF：S△EBF：S△ABF=FEBACDABCDEO·例1、如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC.求证:AB2=AE·AD证明：连接BD∵AB=AC∴∠ADB=∠ABE又∵∠BAD=∠EAB∴△ABE∽△ADB∴AB2=AE·AD=∴∴AD渐入佳境EDCBA如图，三角形ABC中，BE,CD是两边上的高，问题1、图中有相似三角形吗？并说明理由问题2、说明∠AED=∠ABC问题1、图中有相似三角形吗？并说明理由问题2、说明∠AED=∠ABC挑战自我：如图，D在△ABC的边AC上，且DE∥BC，交AB于E，F在AE上，且AE2=AF×AB，求证：△AFD∽△AEC.FEBCAD尝试练习例3、如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合〕，在AC上取一点E，使∠ADE=45°ABCDE〔1〕求证：△ABD∽△DCE〔2〕设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值〔3〕当△ADE是等腰三角形时，求AE的长1综合运用如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合〕，在AC上取一点E，使∠ADE=45°〔1〕求证：△ABD∽△DCE∵∠ADC是△ABD的外角∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1〕21证明：∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠B=∠C=45°又∵∠ADE=45°∴∠ADE=∠B∴∠1=∠2∴△ABD∽△DCEABCDE〔2〕设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值解：∵△ABD∽△DCE1∴∴∴当时如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合〕，在AC上取一点E，使∠ADE=45°ABCDE〔3〕当△ADE是等腰三角形时，求AE的长AD=AEAE=DEDE=AD如图,在等腰△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合〕，在AC上取一点E，使∠ADE=45°1ABCDE分类讨论(3)如图，在△ABC中，DE∥AB，自D、C、E分别向AB作垂线，垂足分别为G、H、F，CH交DE于P，CH=6，AB=8.①假设EF=x,DE=y，写出y与x的函数关系式.②设EF为x，S矩形DEFG=S,写出S与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围？③当x为何值时，矩形DEFG的面积最大，最大面积为多少？PGHFEABCD这节课你有什么收获？应用提高2.如图，在△ABC中，CA=6，CB=4，AB=8，当DE∥AB，D点在BC上〔与B、C不重合〕，E点在AC上.(1)当△CED的面积与四边形EABD的面积相等时，求CD的长.EABCD(2)当△CED的周长与四边形EABD的周长相等时，求CD的长.EABCD自主探究

练习．如图，先把一矩形纸片ABCD对折，设折痕为ＭＮ，再把Ｂ点叠在折痕线上，得到△ABE，过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕ＰＱ。1、求证:△PBE∽△QAB;

2、你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明,如不相似请说明理由;

3、如果沿直线EB折叠纸片,点A是否能叠在直线EC上？为什么？ＢＣＡＤＭＮＭＮＡＤＣＰＱＥＢ提示:1、PQ是折痕与AD、CE垂直吗，∠ABE是什么角？2、要证△PBE和△BAE相似能用AA吗，有成比例线段吗？3、沿直线EB折叠纸片，点A要在EC上，只要什么成立？1.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°.求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2.

ABCDP例题讲解例2、如图，：AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说明理由。4614ADCB解〔1〕假设存在这样的点P，使△ABP∽△CDP设PD=x，那么PB=14―x，∴6：4=〔14―x〕:x那么有AB:CD=PB:PD∴x=5.6P6x14―x4ADCBP〔2〕假设存在这样的点P,使△ABP∽△PDC,那么那么有AB:PD=PB:CD设PD=x，那么PB=14―x，∴6：x=〔14―x〕:4∴x=2或x=12∴x=2或x=12或x=5.6时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似46x14―xDBCAp〔2〕如果点P在AD边上移动〔点P与点A、D不重合〕，且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．〔1〕如图，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．2.画一画:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=700,∠B=500,∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线b,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据)300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab2002001.如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°.求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵AC·BD=CD2.

ABCDP例题讲解分析：〔1〕此题只有角和等边三角形的条件，要证∽，可以从找两个角对应相等入手.〔2〕欲证，只须证，但图中找不到能直接得出这个比例式的相似三角形.由于相比的两条线段处在同一直线上，故可考虑通过等量代换，使相比的两条线段不在同一直线上，然后利用第〔1〕小题结论来解决.评注：一道题有几个小题时，或者后面小题的解决要用到前面小题的结论，或者这几个小题解决方法类似。此题的第⑴小题也可先证∽，同理可得∽，那么有∽。应用提高1.如